2022版新教材高中数学第二章平面解析几何加练课5离心率的求解学案新人教B版选择性必修第一册

加练课5 离心率的求解

自主检测·必备知识

一、概念辨析，判断正误

1.椭圆越圆,椭圆的离心率越趋近于1.( × )

2.等轴双曲线的离心率为2.( √ )

3.椭圆的离心率和双曲线的离心率取值范围相同.( × )

二、夯实基础，自我检测

4.已知椭圆C：的一个焦点为（2,0）,则C的离心率为(     )

A.13B.12C.22D.223

答案：

解析：椭圆：的一个焦点为（2,0）,即 ,

由 ,解得 .

5.（2020重庆南开中学高二期中）已知双曲线的一条渐近线与直线平行,则双曲线的离心率为(     )

A.2B.5C.6D.5

答案：

解析：易知双曲线的渐近线方程为 ,

因为渐近线与直线平行,所以 ,

则 ,即双曲线的离心率为 .

6.（2020山东临沂卧龙中学高二月考）设椭圆上一点到其左焦点的距离为3,到右焦点的距离为1,则椭圆的离心率为(     )

A. B. C. D.

答案：

解析：设椭圆的半长轴长为 ,半短轴长为 ,半焦距为c,由题意知, ,故 ,即 ,故 ,则 .

互动探究·关键能力

探究点一直接求出a,c或求出a与b的比值,以求解e

精讲精练

例（1）（2020山东烟台高二期中）已知为椭圆的左、右顶点,为左焦点,点为椭圆上一点,且轴,过点的直线与线段交于点,与轴交于点,若直线经过的中点,则椭圆的离心率为(      )

A. B. C. D.

（2）圆：与双曲线C：的两条渐近线相切于两点,若 ,则的离心率为(     )

A.    B.  C.2     D.3

答案：（1）（2）

解析：（1）由题意可设 , ,直线的方程（由题知斜率存在）为 ,令 ,可得 ,令 ,可得 ,设的中点为 ,则 ,由三点共线,得 ,即 ,即 ,则 ,故选C.

（2）如图所示, ,所以是等边三角形,根据对称性可知两点关于轴对称,所以 ,因为 ,所以 ,

则渐近线的斜率 ,所以所以 .

解题感悟

（1）对于椭圆,根据题意求出a,b,c的值,再由求解；

（2）双曲线的离心率与渐近线方程之间有着密切的联系,可以借助求解.

迁移应用

1.已知直线经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆的离心率为(      )

A.   B.  C.    D.

答案：

解析：椭圆的右焦点为 ,上顶点为 ,将两点坐标分别代入直线的方程,得所以 ,故选D.

探究点二构造a,c的齐次式,解出e

精讲精练

例已知椭圆的方程为 ,焦距为 ,直线与椭圆相交于两点,若 ,则椭圆C的离心率为(     )

A.   B.  C.    D.

答案：

解析：设直线与椭圆在第一象限内的交点为

,即 ,

解得点在椭圆上,

又即或 .

解题感悟

本题考查离心率的求法,解题的关键是把题中的基本量表示出来,然后建立间的关系式,再根据离心率的定义求解即可.对待此类型的方程,常见的方法就是方程左、右两边同除以一个参数的最高次项,即可转化成一个一元二次方程,化简的运算能力是解决此题的关键.

迁移应用

1.（2020重庆八中高二月考）已知双曲线 ,点分别为其右顶点和右焦点,且 ,若 ,则双曲线的离心率为(     )

A. B. C. D.

答案：

解析：依题意知故即即两边同时除以得因为所以 .

2.已知为双曲线上的点,分别为的左、右焦点,且与轴交于点,为坐标原点,若四边形有内切圆,则的离心率为 .

答案：2

解析：设可得 ,则四边形的内切圆的圆心为 ,半径为 ,直线的方程为 ,易知圆心到直线的距离等于 ,

即 ,又 ,即解得或 .

探究点三利用焦点三角形求离心率

精讲精练

例（1）设分别是椭圆：的左、右焦点,点在椭圆上,若线段的中点在轴上, ,则椭圆的离心率为(     )

A. B. C. D.

（2）如图,和分别是双曲线的左、右焦点,和是以为圆心,为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且是等边三角形,则双曲线的离心率为 .

答案：（1）（2）

解析：（1）设的中点为 ,连接 (图略).

因为为的中点,所以为的中位线,

所以所以 .

因为所以

.

由椭圆的定义得 ,即 ,

即 ,则 .

（2）如图,连接 ,

由是等边三角形,知易知为直角三角形,则，

∴双曲线的离心率 .

解题感悟

涉及焦点三角形的题目一般都是利用圆锥曲线的定义找的关系求解.

迁移应用

1.（2020成都外国语学校高二月考）设分别是双曲线：的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点 ,使为坐标原点),且 ,则双曲线的离心率为(     )

A. B.

C. D.

答案：

解析：因为 ,所以 ,

所以

所以 .

因为所以

又因为所以

所以所以所以

所以离心率 .

探究点四求离心率的取值范围

精讲精练

例（1）已知是双曲线的右焦点,是双曲线的左顶点,过点且与轴垂直的直线交双曲线于两点,若 ,则双曲线的离心率的取值范围为(     )

A.(1,2)B.(1,2)C.(1,3)D.(1,3)

（2）已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为坐标原点,焦点在轴上,左、右焦点分别为 ,且它们在第一象限的交点为是以为底边的等腰三角形.若 ,双曲线的离心率的取值范围为(1,2),求椭圆的离心率的取值范围.

答案：（1）

解析：（1）由题可知为等腰三角形,若 ,只需 ,即 ,

因为 ,所以所以

所以即所以可得又所以 .即的取值范围为 .

答案：（2）设椭圆的半长轴长、半焦距分别为，双曲线的半实轴长、半焦距分别为 ,则由 ,知，即，

所以 ,即 ,所以 ,即 ,

故椭圆的离心率的取值范围为 .

解题感悟

求圆锥曲线离心率的取值范围的常用方法：

（1）利用题目条件所给的不等关系,转化为离心率的取值范围.

（2）利用焦半径的范围或椭圆、双曲线上点的坐标的范围,得到a与c的不等式,从而求得离心率的范围.

迁移应用

1.若直线与双曲线有交点,则双曲线的离心率的取值范围为(     )

A.(1,5)B.

C. D.

答案：

解析：双曲线的两条渐近线中,斜率为正的渐近线方程为 ,

由双曲线与直线有交点知, ,故 ,故选B.

2.已知分别为双曲线的左、右焦点,为双曲线右支上的任意一点,若的最小值为 ,则双曲线的离心率的取值范围为(     )

A. B.

C. D.

答案：

解析：设 ,则由双曲线的定义知 ,

所以 ,

当且仅当时,等号成立,所以 ,即 .所以 .

评价检测·素养提升

1.已知椭圆的短轴长是焦距的2倍,则椭圆的离心率为(     )

A. B.

C. D.

答案：

2.已知双曲线的左、右焦点分别为 ,点A在双曲线上,且轴,若 ,则双曲线的离心率等于(     )

A. B.

C.2D.3

答案：

3.已知分别是双曲线：的中心和右焦点,以为直径的圆与双曲线的两条渐近线分别交于两点 ,异于原点 ,若 ,则双曲线的离心率为(     )

A.2B.

C. D.

答案：

4.已知双曲线的左、右焦点分别为 ,点在双曲线的左支上,且 ,则双曲线的离心率的最大值为(     )

A. B.

C.2D.

答案：