2020-2021学年3.1空间向量及其运算当堂检测题

空间向量的数乘运算

一、基础过关

1．已知空间四边形ABCD，连接AC、BD，设M、G分别是BC、CD的中点，则－＋等于                                                                                                                                                                                       (　　)

A.       B．3

C．3      D．2

2．设M是△ABC的重心，记＝a，＝b，＝c，则等于   (　　)

A.       B.

C.       D.

3．已知向量a、b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是                                                                                                                                                                                                                   (　　)

A．A、B、D     B．A、B、C

C．B、C、D     D．A、C、D

4．下列条件，能说明空间不重合的A、B、C三点共线的是     (　　)

A.＋＝     B.－＝

C.＝      D．||＝||

5．在下列等式中，使点M与点A，B，C一定共面的是     (　　)

A.＝－－

B.＝＋＋

C.＋＋＝0

D.＋＋＋＝0

6.如图所示，空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M

在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，则等于  (　　)

A.a－b＋c

B．－a＋b＋c

C.a＋b－c

D．－a＋b－c

7．已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任一点，若由＝＋＋λ确定的一点P与A，B，C三点共面，则λ＝________.

8．在四面体O—ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝________(用a，b，c表示)．

9.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，＝，若＝x＋y(

＋)，则x＝________，y＝________.

二、能力提升

10．设e1，e2是平面上不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，试求实数k的值．

11．已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外一点O，有＝＋＋.求证：P、A、B、C四点共面．

12．已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外一点O，当＝2－－时，点P是否与A、B、C共面？

三、探究与拓展

13.如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，O是B1D1的

中点，求证：，，是共面向量．

答案

1．B　2.D　3.A　4.C　5.C　6.B　

7.　8.a＋b＋c

9．1　

10．解　因为＝－＝e1－4e2，

＝2e1＋ke2，又A，B，D三点共线，

由共线向量定理得＝，

所以k＝－8.

11．证明　∵＝＋＋，

∴＝＋＋

＝＋(－)＋(－)

＝＋＋，

∴－＝＋，

∴＝＋，

∴向量、、共面，而线段AP、AB、AC有公共点，

∴P、A、B、C四点共面．

12．证明　若P与A、B、C共面，则存在惟一的实数对(x，y)使＝x＋y，于是对平面ABC外一点O，有－＝x(－)＋y(－)，

∴＝(1－x－y)＋x＋y，

比较原式得，此方程组无解，这样的x，y不存在，所以A、B、C、P四点不共面．

13．证明　设＝a，＝b，＝c，

∵四边形B1BCC1为平行四边形，

∴＝c－a，又O是B1D1的中点，

∴＝(a＋b)，

∴＝－(a＋b)，

＝－＝b－(a＋b)

＝(b－a)．

∵D1D綊C1C，所以＝c，

∴＝＋＝(b－a)＋c.

若存在实数x、y，使＝x＋y (x，y∈R)成立，则

c－a＝x＋

y

＝－(x＋y)a＋(x－y)b＋xc.

∵a、b、c不共线，∴

得

∴＝＋，∴、、是共面向量．