高中数学人教版新课标A选修2-12.1曲线与方程习题

这是一份高中数学人教版新课标A选修2-12.1曲线与方程习题，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．方程(2x－y＋2)·eq \r(x2＋y2－1)＝0表示的曲线是( )
A．一个点与一条直线
B．两条射线和一个圆
C．两个点
D．两个点或一条直线或一个圆
[答案] B
[解析] 原方程等价于x2＋y2－1＝0，或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－y＋2＝0,x2＋y2－1≥0))，故选B.
2．若方程x－2y－2k＝0与2x－y－k＝0所表示的两条直线的交点在方程x2＋y2＝9的曲线上，则k等于( )
A．±3 B．0
C．±2 D. 一切实数
[答案] A
[解析] 两直线的交点为(0，－k)，由已知点(0，－k)在曲线x2＋y2＝9上，故可得k2＝9，∴k＝±3.
3．在直角坐标系中，方程|x|·y＝1的曲线是( )
[答案] C
[解析] 由|x|·y＝1知y>0，曲线位于x轴上方，故选C.
4．命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，下列命题中正确的是( )
A．方程f(x，y)＝0的曲线是C
B．方程f(x，y)＝0是曲线C的方程
C．方程f(x，y)＝0的曲线不一定是C
D．以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上
[答案] C
[解析] 不论方程f(x，y)＝0是曲线C的方程，还是曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线，都必须同时满足两层含义：(1)曲线上的点的坐标都是方程的解；(2)以方程的解为坐标的点都在曲线上，所以A、B、D错误．
5．已知A(－2,0)、B(2,0)，△ABC的面积为10，则顶点C的轨迹是( )
A．一个点B．两个点
C．一条直线D．两条直线
[答案] D
[解析] 设顶点C到边AB的距离为d，则eq \f(1,2)×4×d＝10，∴d＝5.∴顶点C到x轴的距离等于5.故顶点C的轨迹是直线y＝－5和y＝5.
6．动点在曲线x2＋y2＝1上移动时，它和定点B(3,0)连线的中点P的轨迹方程是( )
A．(x＋3)2＋y2＝4B．(x－3)2＋y2＝1
C．(2x－3)2＋4y2＝1D．(x＋eq \f(3,2))2＋y2＝1
[答案] C
[解析] 设P点为(x，y)，曲线上对应点为(x1，y1)，则有eq \f(x1＋3,2)＝x，eq \f(y1＋0,2)＝y.
∴x1＝2x－3，y1＝2y.
∵(x1，y1)在曲线x2＋y2＝1上，∴xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)＝1，
∴(2x－3)2＋(2y)2＝1即(2x－3)2＋4y2＝1.
二、填空题
7．方程y＝eq \r(x2－2x＋1)所表示的图形是__________________．
[答案] 两条射线x＋y－1＝0(x≤1)和x－y－1＝0(x≥1)
[解析] 原方程等价于y＝|x－1|⇔x＋y－1＝0(x≤1)和x－y－1＝0(x≥1)．
8．给出下列结论：
①方程eq \f(y,x－2)＝1表示斜率为1，在y轴上的截距为－2的直线；
②到x轴距离为2的点的轨迹方程为y＝－2；
③方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示四个点．正确的结论的序号是__________________．
[答案] ③
[解析] 方程eq \f(y,x－2)＝1表示斜率为1，在y轴上的截距为－2的直线且扣除点(2,0)，故①错；到x轴距离为2的点的轨迹方程为y＝－2或y＝2，故②错；方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示点(－2,2)，(－2，－2)，(2，－2)，(2,2)，故③正确．
三、解答题
9．画出方程(x＋y－1)eq \r(x－y－2)＝0所表示的曲线．
[解析] 方程(x＋y－1)eq \r(x－y－2)＝0可等价变形为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－1＝0，,x－y－2≥0.))或x－y－2＝0.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－1＝0，,x－y－2≥0.))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－1＝0，,x≥\f(3,2).))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－1＝0，,x－y－2≥0.))
表示射线x＋y－1＝0(x≥eq \f(3,2))．
∴原方程表示射线x＋y－1＝0(x≥eq \f(3,2))和直线x－y－2＝0，如下图所示．
10.设圆C：(x－1)2＋y2＝1，过原点O作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程．
[解析] 设所作弦的中点为P(x，y)，连接CP，则CP⊥OP，|OC|＝1，OC的中点M(eq \f(1,2)，0)，∴动点P的轨迹是以点M为圆心，以OC为直径的圆，∴轨迹方程为(x－eq \f(1,2))2＋y2＝eq \f(1,4).∵点P不能与点O重合，
∴0能力提升
一、选择题
1．方程x2＋xy＝x所表示的图形是( )
A．一个点B．一条直线
C．两条直线D．一个点和一条直线
[答案] C
[解析] 原方程等价于x(x＋y－1)＝0⇔x＝0或x＋y－1＝0，故原方程所表示的图形是两条直线．
2．设圆M的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝2，直线l的方程为x＋y－3＝0，点P的坐标为(2,1)，那么( )
A．点P在直线l上，但不在圆M上
B．点P在圆M上，但不在直线l上
C．点P既在圆M上，也在直线l上
D．点P既不在圆M上，也不在直线l上
[答案] C
[解析] 将P(2,1)代入圆M和直线l的方程得，(2－3)2＋(1－2)2＝2且2＋1－3＝0，
∴点P(1,2)既在圆(x－3)2＋(y－2)2＝2上也在直线l：x＋y－3＝0上，故选C.
3．平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(OA,\s\up6(→))＝4，则点P的轨迹方程是( )
A．x＋y＝4B．2x＋y＝4
C．x＋2y＝4D．x＋2y＝1
[答案] C
[解析] 由eq \(OP,\s\up6(→))＝(x，y)，eq \(OA,\s\up6(→))＝(1,2)得eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(OA,\s\up6(→))＝(x，y)·(1,2)＝x＋2y＝4，x＋2y＝4即为所求轨迹方程，故选C.
4．平行四边形ABCD的顶点A、C的坐标分别为(3，－1)、(2，－3)，顶点D在直线3x－y＋1＝0上移动，则顶点B的轨迹方程为( )
A．3x－y－20＝0B．3x－y－10＝0
C．3x－y－12＝0D．3x－y－9＝0
[答案] A
[解析] 设AC、BD交于点O，
∵A、C分别为(3，－1)、(2，－3)，
∴O点坐标为(eq \f(5,2)，－2)，设B点坐标为(x，y)，
∴D点坐标为(5－x，－4－y)，
∵D在直线3x－y＋1＝0上，∴15－3x＋4＋y＋1＝0，
即3x－y－20＝0，故选A.
二、填空题
5．由动点P向圆x2＋y2＝1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB＝60°，则动点P的轨迹方程为________________．
[答案] x2＋y2＝4
[解析] 设P(x，y)，x2＋y2＝1的圆心为O，
∵∠APB＝60°，OP平分∠APB，∴∠OPB＝30°，
∵|OB|＝1，∠OBP为直角，∴|OP|＝2，∴x2＋y2＝4.
6．M为直线l：2x－y＋3＝0上的一动点，A(4,2)为一定点，又点P在直线AM上运动，且|AP||PM|＝3，则动点P的轨迹方程为__________________．
[答案] 8x－4y＋3＝0或4x－2y＋15＝0
[解析] 设点M、P的坐标分别为M(x0，y0)，P(x，y)，由题设可得eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(AM,\s\up6(→))或eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(3,2)eq \(AM,\s\up6(→))，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝\f(4x－4,3),y0＝\f(4y－2,3)))，或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝\f(2x＋4,3),y0＝\f(2y＋2,3)))，
因为点M(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上，
所以2×eq \f(4x－4,3)－eq \f(4y－2,3)＋3＝0或2×eq \f(2x＋4,3)－eq \f(2y＋2,3)＋3＝0，即8x－4y＋3＝0或4x－2y＋15＝0.
从而点P的轨迹方程为8x－4y＋3＝0或4x－2y＋15＝0.
三、解答题
7．设△ABC的两顶点分别是B(1,1)、C(3,6)，求第三个顶点A的轨迹方程，使|AB|＝|BC|.
[解析] 设A(x，y)为轨迹上任一点，那么
eq \r(x－12＋y－12)＝eq \r(3－12＋6－12)，
整理，得(x－1)2＋(y－1)2＝29.
因为A点不在直线BC上，虽然点C(3,6)及点C关于点B的对称点C′(－1，－4)的坐标是这个方程的解，但不在已知曲线上，所以所求轨迹方程为(x－1)2＋(y－1)2＝29(去掉(3,6)和(－1，－4)两个点)．
8．已知△ABC的两个顶点坐标为A(－2,0)、B(0，－2)，第三个点C在曲线y＝3x2－1上移动，求△ABC重心的轨迹方程．(注：设△ABC顶点A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)，则△ABC重心坐标为G(eq \f(x1＋x2＋x3,3)，eq \f(y1＋y2＋y3,3))．)
[解析] 设C(x1，y1)，重心G(x，y)，由重心坐标公式得3x＝－2＋0＋x1,3y＝0－2＋y1，
即x1＝3x＋2，y1＝3y＋2，
∵C(x1，y1)在曲线y＝3x2－1上，
∴3y＋2＝3(3x＋2)2－1.
化简得y＝9x2＋12x＋3.
故△ABC的重心的轨迹方程为y＝9x2＋12x＋3.(不包括和直线AB的交点)