选修2-13.1空间向量及其运算随堂练习题

这是一份选修2-13.1空间向量及其运算随堂练习题，共4页。试卷主要包含了基础过关，能力提升，探究与拓展等内容，欢迎下载使用。
1．若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的( )
A．充分不必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
2．在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是BC，AD的中点，则eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(CF,\s\up6(→))等于( )
A．0 B.eq \f(1,2) C．－eq \f(3,4) D．－eq \f(1,2)
3．已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，则|2a－3b|等于 ( )
A.eq \r(97) B．97 C.eq \r(61) D．61
4．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
5．如果e1，e2是两个夹角为60°的单位向量，则a＝e1＋e2与b＝e1－2e2的夹角为________．
6．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且a与b的夹角为eq \f(π,3)，则|a＋b|＝________.
7．在平行四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝6，求PC的长．
二、能力提升
8．已知a、b是异面直线，A、B∈a，C、D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角是( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
9．正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长都为2，E、F分别是AB、A1C1的中点，则EF的长是( )
A．2 B.eq \r(3) C.eq \r(5) D.eq \r(7)
10．向量(a＋3b)⊥(7a－5b)，(a－4b)⊥(7a－2b)，则a与b的夹角是________．
11.如图所示，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥BC，
AB⊥AD，且PA＝AB＝BC＝eq \f(1,2)AD＝1，求PB与CD所成的角．
12.已知在空间四边形OACB中，OB＝OC，AB＝AC，求证：OA⊥BC.
三、探究与拓展
13.如图所示，如果直线AB与平面α交于点B，且与平面α内的经
过点B的三条直线BC、BD、BE所成的角相等．求证：AB⊥平
面α.
答案
1．A 2.D 3.C 4.C
5．120° 6.eq \r(7)
7．解 ∵eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))，
∴|eq \(PC,\s\up6(→))|2＝eq \(PC,\s\up6(→))2＝(eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→)))2
＝|eq \(PA,\s\up6(→))|2＋|eq \(AD,\s\up6(→))|2＋|eq \(DC,\s\up6(→))|2＋2eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＋2eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＋2eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))
＝62＋42＋32＋2|eq \(AD,\s\up6(→))||eq \(DC,\s\up6(→))|cs 120°＝61－12＝49，∴|eq \(PC,\s\up6(→))|＝7，即PC＝7.
8．C 9．C
10．60°
11．解 由题意知|eq \(PB,\s\up6(→))|＝eq \r(2)，
|eq \(CD,\s\up6(→))|＝eq \r(2)，eq \(PB,\s\up6(→))＝eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))，
eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))，
∵PA⊥平面ABCD，
∴eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(DA,\s\up6(→))＝eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，
∵AB⊥AD，∴eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(DA,\s\up6(→))＝0，
∵AB⊥BC，∴eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，
∴eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＝(eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))·(eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))＝eq \(AB,\s\up6(→))2＝|eq \(AB,\s\up6(→))|2＝1，
又∵|eq \(PB,\s\up6(→))|＝eq \r(2)，|eq \(CD,\s\up6(→))|＝eq \r(2)，
∴cs〈eq \(PB,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(PB,\s\up6(→))·\(DC,\s\up6(→)),|\(PB,\s\up6(→))||\(DC,\s\up6(→))|)＝eq \f(1,\r(2)×\r(2))＝eq \f(1,2)，
∴〈eq \(PB,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))〉＝60°，
∴PB与CD所成的角为60°.
12．证明 ∵OB＝OC，AB＝AC，OA＝OA，
∴△OAC≌△OAB.
∴∠AOC＝∠AOB.
∵eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))·(eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)))
＝eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))
＝|eq \(OA,\s\up6(→))||eq \(OC,\s\up6(→))|cs∠AOC－|eq \(OA,\s\up6(→))||eq \(OB,\s\up6(→))|·
cs∠AOB＝0，
∴eq \(OA,\s\up6(→))⊥eq \(BC,\s\up6(→))，∴OA⊥BC.
13．证明 如图所示，在直线BC、BD、BE上取|eq \(BC,\s\up6(→))|＝|eq \(BD,\s\up6(→))|＝|eq \(BE,\s\up6(→))|.
∵eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(BC,\s\up6(→))、eq \(BD,\s\up6(→))、eq \(BE,\s\up6(→))所成的角相等，
∴eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BE,\s\up6(→))，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))·\(BC,\s\up6(→))－\(BD,\s\up6(→))＝0，,\(AB,\s\up6(→))·\(BE,\s\up6(→))－\(BD,\s\up6(→))＝0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))·\(DC,\s\up6(→))＝0，,\(AB,\s\up6(→))·\(DE,\s\up6(→))＝0，))
∴AB⊥DC，AB⊥DE.
又DC∩DE＝D，∴AB⊥平面α.