人教版新课标A选修2-13.1空间向量及其运算课时练习

这是一份人教版新课标A选修2-13.1空间向量及其运算课时练习，共4页。试卷主要包含了基础过关，能力提升，探究与拓展等内容，欢迎下载使用。

1．以下四个命题中正确的是( )
A．空间的任何一个向量都可用其它三个向量表示
B．若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则a，b，c全不是零向量
C．△ABC为直角三角形的充要条件是eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝0
D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底
2．下列说法中不正确的是( )
A．只要空间的三个向量的模为1，那么它们就能构成空间的一个单位正交基底
B．竖坐标为0的向量平行于x轴与y轴所确定的平面
C．纵坐标为0的向量都共面
D．横坐标为0的向量都与x轴上的基向量垂直
3．设O—ABC是四面体，G是△ABC的重心，若eq \(OG,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))＋zeq \(OC,\s\up6(→))，则(x，y，z)为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,3)，\f(1,3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(1,4)，\f(1,4)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(2,3)，\f(2,3))) D．(1,1,1)
4．在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法正确的是( )
A．向量eq \(AB,\s\up6(→))与点B的坐标相同
B．向量eq \(AB,\s\up6(→))与点A的坐标相同
C．向量eq \(AB,\s\up6(→))与向量eq \(OB,\s\up6(→))的坐标相同
D．向量eq \(AB,\s\up6(→))与向量eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))的坐标相同
5.如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M，
设eq \(A1B1,\s\up6(→))＝a，eq \(A1D1,\s\up6(→))＝b，eq \(A1A,\s\up6(→))＝c，则下列向量中与eq \(B1M,\s\up6(→))相等的
向量是( )
A．－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c B.eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c
C.eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b＋c D．－eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b＋c
6.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中建立空间直角坐标系，
若正方体的棱长为1，则eq \(AB,\s\up6(→))的坐标为__________，eq \(DC1,\s\up6(→))的坐标
为__________，eq \(B1D,\s\up6(→))的坐标为__________．
7．一个向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(1,2,3)，则p在{a＋b，a－b，c}下的坐标为__________．
8．正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E、F分别是底面A1C1和侧面CD1的中心，若eq \(EF,\s\up6(→))＋λeq \(A1D,\s\up6(→))＝0 (λ∈R)，则λ＝______.
二、能力提升
9.如图所示，在正方体AC1中，取eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，eq \(AA1,\s\up6(→))＝c作为基
底．
(1)求eq \(BD1,\s\up6(→))；
(2)若M，N分别为边AD，CC1的中点，求eq \(MN,\s\up6(→)).
10.平行六面体OABC—O′A′B′C′，且eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OC,\s\up6(→))＝b，eq \(OO′,\s\up6(→))＝c.
(1)用a，b，c表示向量eq \(AC′,\s\up6(→))；
(2)设G，H分别是侧面BB′C′C和O′A′B′C′的中心，用a，b，c表示eq \(GH,\s\up6(→)).
11．已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的三等分点且PN＝2NC，AM＝2MB，PA＝AB＝1，求eq \(MN,\s\up6(→))的坐标．
三、探究与拓展
12.如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别在
B1B和D1D上，且BE＝eq \f(1,3)BB1，DF＝eq \f(2,3)DD1.
(1)证明：A、E、C1、F四点共面；
(2)若eq \(EF,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AD,\s\up6(→))＋zeq \(AA1,\s\up6(→))，求x＋y＋z.
答案
1．B 2.A 3.A 4.D 5.A
6．(1,0,0) (1,0,1) (－1,1，－1)
7.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，－\f(1,2)，3))
8．－eq \f(1,2)
9．解 (1)eq \(BD1,\s\up6(→))＝eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(DD1,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DD1,\s\up6(→))＝－a＋b＋c.
(2)eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(MC,\s\up6(→))＋eq \(CN,\s\up6(→))＝eq \(MD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(CC1,\s\up6(→))
＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AA1,\s\up6(→))＝a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c.
10.解 (1)eq \(AC′,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CC′,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OO′,\s\up6(→))＝b＋c－a.
(2)eq \(GH,\s\up6(→))＝eq \(GO,\s\up6(→))＋eq \(OH,\s\up6(→))＝－eq \(OG,\s\up6(→))＋eq \(OH,\s\up6(→))
＝－eq \f(1,2)(eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC′,\s\up6(→)))＋eq \f(1,2)(eq \(OB′,\s\up6(→))＋eq \(OO′,\s\up6(→)))
＝－eq \f(1,2)(a＋b＋c＋b)＋eq \f(1,2)(a＋b＋c＋c)
＝eq \f(1,2)(c－b)．
11.解 ∵PA＝AB＝AD＝1，且PA垂直于平面ABCD，
AD⊥AB，
∴可设eq \(AD,\s\up6(→))＝i，eq \(AB,\s\up6(→))＝j，eq \(AP,\s\up6(→))＝k.
以i，j，k为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系．
∵eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(AP,\s\up6(→))＋eq \(PN,\s\up6(→))
＝－eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AP,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(PC,\s\up6(→))
＝－eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AP,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)(－eq \(AP,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,3)eq \(AP,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)i＋eq \f(1,3)k，
∴eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，0，\f(1,3))).
12．(1)证明 因为eq \(AC1,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(→))
＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AA1,\s\up6(→))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))＋\f(1,3)\(AA1,\s\up6(→))))＋(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AA1,\s\up6(→)))
＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \(AE,\s\up6(→))＋eq \(AF,\s\up6(→))，
所以A、E、C1、F四点共面．
(2)解 因为eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(AF,\s\up6(→))－eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))－(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→)))
＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(DD1,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,3)eq \(BB1,\s\up6(→))
＝－eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AA1,\s\up6(→)).
所以x＝－1，y＝1，z＝eq \f(1,3).
所以x＋y＋z＝eq \f(1,3).