人教版新课标A选修2-13.1空间向量及其运算达标测试

这是一份人教版新课标A选修2-13.1空间向量及其运算达标测试，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

A学习达标
一、选择题(每小题6分，共36分)
1．设a、b为空间的非零向量，下列各式：①a2＝|a|2；②eq \f(a·b,a2)＝eq \f(b,a)；③(a·b)2＝a2·b2；④(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，其中正确的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：由数量积的性质和运算律可知①④是正确的，故选B.
答案：B
2．已知a、b是异面直线，且a⊥b，e1、e2分别为取自直线a、b上的单位向量，且a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为( )
A．－6 B．6
C．3 D．－3
解析：由a⊥b，得a·b＝0，
∴(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，
∴2k－12＝0，∴k＝6.故选B.
答案：B
3．设ABCD－A′B′C′D′是棱长为a的正方体，AC′和BD′相交于点O，则有( )
A.eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(A′C,\s\up6(→))＝2a2 B.eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \r(2)a2
C.eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)a2 D.eq \(BC′,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝a2
解析：由eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC′,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝
eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CC′,\s\up6(→)))·eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)a2.
答案：C
4．已知空间四边形ABCD各条边的长度相等，E是BC边的中点，那么( )
A.eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))B.eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))
C.eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))>eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))
D.eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))与eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))不能比较大小
答案：A
5．设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝0，eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝0，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝0，则△BCD是( )
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．不确定
解析：eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝(eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))·(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AB2,\s\up6(→))＝eq \(AB2,\s\up6(→))>0，
∴cs∠DBC>0，∠DBC为锐角，同理∠BDC，∠BCD为锐角．∴△BCD为锐角三角形．
答案：B
6．已知a、b是异面直线，A、B∈a，C、D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角是( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：设〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))〉＝θ，
eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＝(eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(DB,\s\up6(→)))·eq \(CD,\s\up6(→))＝|eq \(CD,\s\up6(→))|2＝1，
∴csθ＝eq \f(\(AB,\s\up6(→))·\(CD,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))||\(CD,\s\up6(→))|)＝eq \f(1,2)，
又∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝60°，故选C.
答案：C
二、填空题(每小题8分，共24分)
7．已知空间向量a、b、c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为________．
解析：∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，
∴a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，
∴a·b＋b·c＋c·a＝－eq \f(32＋12＋42,2)＝－13.
答案：－13
8．若eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))，则eq \(AB,\s\up6(→))________eq \(CE,\s\up6(→)).
解析：eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))，则eq \(AB,\s\up6(→))·(eq \(BE,\s\up6(→))－eq \(BC,\s\up6(→)))＝eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CE,\s\up6(→))＝0.∴eq \(AB,\s\up6(→))⊥eq \(CE,\s\up6(→)).
答案：⊥
9．已知|eq \(OA,\s\up6(→))|＝5，|eq \(OB,\s\up6(→))|＝2，〈eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))〉＝60°，eq \(OC,\s\up6(→))＝2eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))－2eq \(OB,\s\up6(→))，则以OC、OD为邻边的平行四边形OCED的对角线OE的长为__________．
解析：∵eq \(OE,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→))，
∴eq \(OE,\s\up6(→))2＝(eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(OD,\s\up6(→)))2
＝(2eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OA,\s\up6(→))－2eq \(OB,\s\up6(→)))2
＝(3eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)))2
＝9eq \(OA,\s\up6(→))2＋eq \(OB,\s\up6(→))2－6eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))
＝9×25＋4－6×5×2×cs60°＝199.
∴OE＝eq \r(199).
答案：eq \r(199)
三、解答题(共40分)
图1
10．(10分)已知空间四边形ABCD，求eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))的值．
解：eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))
＝eq \(AB,\s\up6(→))·(eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))＋(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))·eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))·(eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))
＝eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0.
11．(15分)BB1⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形，▱ABB1A1、▱BB1C1C的对角线都分别相互垂直且相等，若AB＝a，求异面直线BA1与AC所成的角．
图2
解：如图2所示．
∵eq \(BA1,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(BB1,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))，
∴eq \(BA1,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝(eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(BB1,\s\up6(→)))·(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))＝eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(BB1,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BB1,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→)).
因为AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC，
∴eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，eq \(BB1,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0，
eq \(BB1,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝－a2.
∴eq \(BA1,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝－a2.
又eq \(BA1,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝|eq \(BA1,\s\up6(→))|·|eq \(AC,\s\up6(→))|cs〈eq \(BA1,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))〉，
∴cs〈eq \(BA1,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))〉＝eq \f(－a2,\r(2)a·\r(2)a)＝－eq \f(1,2).
∴〈eq \(BA1,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))〉＝120°，
∴异面直线BA1与AC成60°角．
B创新探究
图3
12．(15分)如图3所示，已知P是△ABC所在平面外一点，PA⊥PC，PB⊥PC，PA⊥PB，求证：P在面ABC上的射影H是△ABC的垂心．
证明：∵PA⊥PC，PB⊥PC，PA⊥PB，
∴eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))＝0，eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))＝0，eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝0，eq \(PA,\s\up6(→))⊥平面PBC.
∴eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0.
由题意可知，PH⊥面ABC，
∴eq \(PH,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，eq \(PH,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0，eq \(PH,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝0.
∴eq \(AH,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝(eq \(PH,\s\up6(→))－eq \(PA,\s\up6(→)))·eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(PH,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0.
∴AH⊥BC.同理可证BH⊥AC，CH⊥AB.
∴H为△ABC的垂心．