高中人教版新课标A3.1空间向量及其运算练习

这是一份高中人教版新课标A3.1空间向量及其运算练习，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
A学习达标
一、选择题(每小题6分，共36分)
1．在以下三个命题中，真命题的个数是( )
①三个非零向量a、b、c不能构成空间的一个基底，则a、b、c共面；
②若两个非零向量a、b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a、b共线；
③若a、b是两个不共线的向量，而c＝λa＋μb(λ、μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底．
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：①正确．基底的量必须不共面；②正确；③不对，a，b不共线．当c＝λa＋μb时，a、b、c共面，故只有①②正确．
答案：C
2．正方体ABCD—A′B′C′D′，O1，O2，O3分别是AC，AB′，AD′的中点，以{eq \(AO1,\s\up6(→))，eq \(AO2,\s\up6(→))，eq \(AO3,\s\up6(→))}为基底，eq \(AC′,\s\up6(→))＝xeq \(AO1,\s\up6(→))＋yeq \(AO2,\s\up6(→))＋zeq \(AO3,\s\up6(→))，则x，y，z的值是( )
A．x＝y＝z＝1 B．x＝y＝z＝eq \f(1,2)
C．x＝y＝z＝eq \f(\r(2),2) D．x＝y＝z＝2
解析：eq \(AC′,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC′,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BB′,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AA′,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＋eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AA′,\s\up6(→)))＋eq \f(1,2)(eq \(AA′,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AB′,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD′,\s\up6(→))＝eq \(AO1,\s\up6(→))＋eq \(AO2,\s\up6(→))＋eq \(AO3,\s\up6(→))，对比eq \(AC′,\s\up6(→))＝xeq \(AO1,\s\up6(→))＋yeq \(AO2,\s\up6(→))＋zeq \(AO3,\s\up6(→))得x＝y＝z＝1.
答案：A
3．若{e1，e2，e3}是空间的一个基底，又a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，d＝xa＋yb＋zc，则x，y，z分别为( )
A.eq \f(5,2)，－1，－eq \f(1,2) B.eq \f(5,2)，1，eq \f(1,2)
C．－eq \f(5,2)，1，－eq \f(1,2) D.eq \f(5,2)，1，－eq \f(1,2)
解析：xa＋yb＋zc＝x(e1＋e2＋e3)＋y(e1＋e2－e3)＋z(e1－e2＋e3)＝(x＋y＋z)e1＋(x＋y－z)e2＋(x－y＋z)e3＝e1＋2e2＋3e3，
由空间向量基本定理，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＋z＝1，,x＋y－z＝2，,x－y＋z＝3，))∴x＝eq \f(5,2)，
y＝－1，z＝－eq \f(1,2).
答案：A
4．点M(－1,3，－4)在坐标平面xOy、xOz、yOz内的射影的坐标分别是( )
A．(－1,3,0)、(－1,0，－4)、(0,3，－4)
B．(0,3，－4)、(－1,0，－4)、(0,3，－4)
C．(－1,3,0)、(－1,3，－4)、(0,3，－4)
D．(0,0,0)、(－1,0,0)、(0,3,0)
答案：A
5．若向量eq \(MA,\s\up6(→))、eq \(MB,\s\up6(→))、eq \(MC,\s\up6(→))的起点与终点M、A、B、C互不重合且无三点共线，且满足下列关系(O是空间任一点)，则能使向量eq \(MA,\s\up6(→))、eq \(MB,\s\up6(→))、eq \(MC,\s\up6(→))成为空间一组基底的关系是( )
A.eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up6(→))
B.eq \(MA,\s\up6(→))≠eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(MC,\s\up6(→))
C.eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))
D.eq \(MA,\s\up6(→))＝2eq \(MB,\s\up6(→))－eq \(MC,\s\up6(→))
解析：A中M、A、B、C共面，因eq \f(1,3)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,3)＝1；B中可能共面，eq \(MA,\s\up6(→))≠eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(MC,\s\up6(→))，但可能eq \(MA,\s\up6(→))＝λeq \(MB,\s\up6(→))＋μeq \(MC,\s\up6(→))；D不对，∵eq \(MA,\s\up6(→))＝2eq \(MB,\s\up6(→))－eq \(MC,\s\up6(→))，∴四点共面，故选C.
答案：C
6．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基底{i，j，k}下的坐标是( )
A．(12,14,10) B．(10,12,14)
C．(14,12,10) D．(4,3,2)
解析：eq \(OA,\s\up6(→))＝8a＋6b＋4c＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k.
答案：A
二、填空题(每小题8分，共24分)
7．设a，b，c是三个不共面向量，现从①a－b，②a＋b－c中选出一个使其与a，b构成空间的一个基底，则可以选择的向量为________(填写代号)．
解析：①∵a－b与a，b共面
∴a－b与a，b不能构成空间的一个基底
②∵a＋b－c与a，b不共面
∴a＋b－c与a，b构成空间的一个基底．
答案：②
8．{a，b，c}为空间的一个基底，且存在实数x，y，z使得xa＋yb＋zc＝0，则x＝________，y＝________，z＝________.
解析：若x，y，z中存在一个不为0的数，不妨设x≠0，则a＝－eq \f(y,x)b－eq \f(z,x)c，∴a，b，c共面．这与{a，b，c}是基底矛盾，故x＝y＝z＝0.
答案：0 0 0
9．已知四面体ABCD中，eq \(AB,\s\up6(→))＝a－2c，eq \(CD,\s\up6(→))＝5a＋6b－8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则eq \(EF,\s\up6(→))＝________.
图1
解析：如图1所示，取BC的中点G，连结EG，FG，则eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(GF,\s\up6(→))－eq \(GE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(CD,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(5a＋6b－8c)＋eq \f(1,2)(a－2c)＝3a＋3b－5c.
答案：3a＋3b－5c
三、解答题(共40分)
图2
10．(10分)如图2所示，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点，用向量eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))表示eq \(OP,\s\up6(→))和eq \(OQ,\s\up6(→)).
解：eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))＋eq \(MP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)(eq \(ON,\s\up6(→))－eq \(OM,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)(eq \(ON,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→)))＝eq \f(1,6)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)×eq \f(1,2)(eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,6)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up6(→))；eq \(OQ,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))＋eq \(MQ,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)(eq \(ON,\s\up6(→))－eq \(OM,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)(eq \(ON,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→)))＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)×eq \f(1,2)(eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,6)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,6)eq \(OC,\s\up6(→)).
11．(15分)如图3所示，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，O，O1分别为底面ABCD、底面A1B1C1D1的中心，AB＝6，AA1＝4，M为B1B的中点，N在C1C上，且C1NNC＝13.
图3
(1)若以O为原点，分别以OA，OB，OO1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求图3中各点的坐标．
(2)若以D为原点，分别以 DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求图3中各点的坐标．
解：(1)正方形ABCD中，AB＝6，∴AC＝BD＝6eq \r(2)，从而OA＝OC＝OB＝OD＝3eq \r(2)，
∴各点坐标分别为A(3eq \r(2)，0,0)，B(0,3eq \r(2)，0)，C(－3eq \r(2)，0,0)，D(0，－3eq \r(2)，0)，O(0,0,0)，O1(0,0,4)，A1(3eq \r(2)，0,4)，B1(0,3eq \r(2)，4)，C1(－3eq \r(2)，0,4)，D1(0，－3eq \r(2)，4)，M(0,3eq \r(2)，2)，N(－3eq \r(2)，0,3)．
(2)同理，A(6,0,0)，B(6,6,0)，C(0,6,0)，D(0,0,0)，A1(6,0,4)，B1(6,6,4)，C1(0,6,4)，D1(0,0,4)，O(3,3,0)，O1(3,3,4)，M(6,6,2)，N(0,6,3)．
B创新探究
12．(15分)已知{e1，e2，e3}为空间的一个基底，且eq \(OP,\s\up6(→))＝2e1－e2＋3e3，eq \(OA,\s\up6(→))＝e1＋2e2－e3，eq \(OB,\s\up6(→))＝－3e1＋e2＋2e3，eq \(OC,\s\up6(→))＝e1＋e2－e3.
(1)判断P、A、B、C四点是否共面；
(2)能否以{eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))}作为空间的一个基底？若不能，说明理由；若能，试以这一基底表示向量eq \(OP,\s\up6(→)).
解：(1)假设四点共面，则存在实数x、y、z使eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))＋zeq \(OC,\s\up6(→))，且x＋y＋z＝1，
即2e1－e2＋3e3＝x(e1＋2e2－e3)＋y(－3e1＋e2＋2e3)＋z(e1＋e2－e3)，比较对应项的系数，得到关于x、y、z的方程组
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－3y＋z＝2，,2x＋y＋z＝－1，,－x＋2y－z＝3，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝17，,y＝－5，,z＝－30，))
与x＋y＋z＝1矛盾，故四点不共面；
(2)若向量eq \(OA,\s\up6(→))、eq \(OB,\s\up6(→))、eq \(OC,\s\up6(→))共面，则存在实数m、n使eq \(OA,\s\up6(→))＝meq \(OB,\s\up6(→))＋neq \(OC,\s\up6(→))，同(1)可证，这不可能，因此{eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))}可以作为空间的一个基底．令eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，
由e1＋2e2－e3＝a，－3e1＋e2＋2e3＝b，e1＋e2－e3＝c，联立得到方程组，从中解得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(e1＝3a－b－5c，,e2＝a－c，,e3＝4a－b－7c.))所以eq \(OP,\s\up6(→))＝17eq \(OA,\s\up6(→))－5eq \(OB,\s\up6(→))－30eq \(OC,\s\up6(→))