高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.2 直线的方程学案

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射击手在进行射击训练时，要掌握两个动作要领：一是托枪的手要非常稳，二是眼睛要瞄准目标的方向．若把子弹飞行的轨迹看作一条直线，并且射击手达到了上述的两个动作要求．
[问题] (1)托枪的手的位置相当于直线中哪个几何要素？
(2)试从数学角度分析子弹是否会命中目标？




知识点 直线方程的点斜式、斜截式
1．若直线的倾斜角为0°，且经过点P0(x0，y0)，能用点斜式表示吗？
提示：能．
2．直线与y轴的交点到原点的距离和直线在y轴上的截距是同一概念吗？
提示：不是同一概念，距离非负，而截距可正，可负，可为0.
3．直线方程的斜截式等同于一次函数的解析式吗？
提示：不一定．当k≠0时，y＝kx＋b即为一次函数，k＝0时，y＝b不是一次函数．
1．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则( )
A．直线经过点(2，－1)，斜率为－1
B．直线经过点(1，－2)，斜率为－1
C．直线经过点(－2，－1)，斜率为1
D．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1
解析：选D 直线方程y＋2＝－x－1可化为y－(－2)＝－[x－(－1)]，所以过定点(－1，－2)，斜率为－1.
2．在y轴上的截距为2，且与直线y＝－3x－4平行的直线的斜截式方程为________．
解析：∵直线y＝－3x－4的斜率为－3，
所求直线与此直线平行，∴斜率为－3，
又截距为2，∴由斜截式方程可得y＝－3x＋2.
答案：y＝－3x＋2
3．已知直线l的方程为y＋eq \f(27,4)＝eq \f(9,4)(x－1)，则l在y轴上的截距为________．
解析：由y＋eq \f(27,4)＝eq \f(9,4)(x－1)，
得y＝eq \f(9,4)x－9，
∴l在y轴上的截距为－9.
答案：－9
[例1] (链接教科书第60页例1)若直线l过点(2，1)，分别求l满足下列条件时的直线方程：
(1)倾斜角为150°；
(2)平行于x轴；
(3)垂直直线m：y＝eq \f(1,3)x＋2.
[解] (1)直线的斜率为k＝tan 150°＝－eq \f(\r(3),3)，
所以由点斜式方程得y－1＝－eq \f(\r(3),3)(x－2)，
即方程为y－1＝－eq \f(\r(3),3)(x－2)．
(2)平行于x轴的直线的斜率k＝0，故所求的直线方程为y＝1.
(3)km＝eq \f(1,3)，则kl＝－3.
即直线l的方程为y－1＝－3(x－2)．
eq \a\vs4\al()
求直线的点斜式方程的思路
[注意] 只有在斜率存在的情况下才可以使用点斜式方程．
[跟踪训练]
根据条件写出下列直线的点斜式方程：
(1)经过点A(－4，3)，斜率k＝3；
(2)经过点B(－1，4)，倾斜角为135°；
(3)经过点C(－1，2)，且与y轴平行；
(4)经过点D(2，1)和E(3，－4)．
解：(1)由点斜式方程可知，所求直线的点斜式方程为y－3＝3[x－(－4)]．
(2)由题意知，直线的斜率k＝tan 135°＝－1，故所求直线的点斜式方程为y－4＝－[x－(－1)]．
(3)∵直线与y轴平行，∴斜率不存在，∴直线的方程不能用点斜式表示．由于直线上所有点的横坐标都是－1，
故这条直线的方程为x＝－1.
(4)∵直线过点D(2，1)和E(3，－4)，
∴斜率k＝eq \f(－4－1,3－2)＝－5.
故所求直线的点斜式方程为y－1＝－5(x－2).
[例2] (链接教科书第62页练习3题)根据条件写出下列直线的斜截式方程：
(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；
(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；
(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.
[解] (1)由直线方程的斜截式可知，所求直线方程为y＝2x＋5.
(2)由于直线的倾斜角为150°，所以斜率k＝tan 150°＝－eq \f(\r(3),3)，由斜截式可得方程为y＝－eq \f(\r(3),3)x－2.
(3)由于直线的倾斜角为60°，所以斜率k＝tan 60°＝eq \r(3).由于直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，所以直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3，故所求直线方程为y＝eq \r(3)x＋3或y＝eq \r(3)x－3.
eq \a\vs4\al()
直线的斜截式方程的求解策略
(1)用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，同时要特别注意截距和距离的区别；
(2)直线的斜截式方程y＝kx＋b不仅形式简单，而且特点明显，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的值，直线的图象就一目了然．因此，在解决一次函数的图象问题时，常通过把一次函数解析式化为直线的斜截式方程，利用k，b的几何意义进行判断．
[跟踪训练]
求倾斜角是直线y＝－eq \r(3)x＋1的倾斜角的eq \f(1,4)，且在y轴上的截距是－5的直线方程．
解：∵直线y＝－eq \r(3)x＋1的斜率k＝－eq \r(3)，∴其倾斜角α＝120°，由题意，得所求直线的倾斜角α1＝eq \f(1,4)α＝30°，故所求直线的斜率k1＝tan 30°＝eq \f(\r(3),3).
∵所求直线的斜率是eq \f(\r(3),3)，在y轴上的截距为－5，
∴所求直线的方程为y＝eq \f(\r(3),3)x－5.
角度一 利用直线方程求平行与垂直的条件
[例3] (链接教科书第61页例2)(1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？
(2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？
[解] (1)由题意可知，keq \a\vs4\al(l1)＝－1，keq \a\vs4\al(l2)＝a2－2，
∵l1∥l2，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2－2＝－1，,2a≠2，))
解得a＝－1.
故当a＝－1时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行．
(2)由题意可知，keq \a\vs4\al(l1)＝2a－1，keq \a\vs4\al(l2)＝4，
∵l1⊥l2，∴4(2a－1)＝－1，解得a＝eq \f(3,8).
故当a＝eq \f(3,8)时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直．
角度二 直线过定点问题
[例4] 求证：不论m为何值，直线l：y＝(m－1)x＋2m＋1总过第二象限．
[证明] 法一：直线l的方程可化为y－3＝(m－1)(x＋2)，
∴直线l过定点(－2，3)．
由于点(－2，3)在第二象限，故直线l总过第二象限．
法二：直线l的方程可化为m(x＋2)－(x＋y－1)＝0.
令eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋2＝0，,x＋y－1＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝3.))
∴无论m取何值，直线l总经过点(－2，3)．
∵点(－2，3)在第二象限，∴直线l总过第二象限．
eq \a\vs4\al()
1．若l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2；l1⊥l2⇔k1k2＝－1.
2．证明直线过定点的基本方法：
(1)直接法：将已知的方程转化为点斜式、斜截式方程，进而得定点；
(2)方程法：将已知方程整理成关于参数的方程，由于直线恒过定点，则关于参数的方程恒成立，进而求出定点．如整理成f(x，y)＋a·g(x，y)＝0，而该方程关于a恒成立，则有f(x，y)＝0且g(x，y)＝0，其解就是所有直线都恒过的定点．
[注意] 若已知含参数的两条直线平行或垂直，求参数的值时，要注意讨论斜率是否存在，若是平行关系注意考虑b1≠b2这个条件．
[跟踪训练]
求证：不论a为何值，直线y＝ax－3a＋2(a∈R)恒过定点．
证明：将直线方程变形为y－2＝a(x－3)，
由直线方程的点斜式可知，直线过定点(3，2)．
1．若直线l的倾斜角为45°，且经过点(2，0)，则直线l的方程是( )
A．y＝x＋2 B．y＝x－2
C．y＝eq \f(\r(3),3)x－eq \f(2\r(3),3) D．y＝eq \r(3)x－2eq \r(3)
解析：选B 由题得直线l的斜率为1，由点斜式求得直线l的方程为y－0＝x－2，即y＝x－2.故选B.
2．方程y＝k(x－2)表示( )
A．通过点(－2，0)的所有直线
B．通过点(2，0)的所有直线
C．通过点(2，0)且不垂直于x轴的所有直线
D．通过点(2，0)且除去x轴的所有直线
解析：选C 易验证直线通过点(2，0)，又直线斜率存在，故直线不垂直于x轴．
3．已知直线的倾斜角为60°，在y轴上的截距为－2，则此直线的方程为( )
A．y＝eq \r(3)x＋2 B．y＝－eq \r(3)x＋2
C．y＝－eq \r(3)x－2 D．y＝eq \r(3)x－2
解析：选D ∵α＝60°，∴k＝tan 60°＝eq \r(3)，
∴直线l的方程为y＝eq \r(3)x－2.
4．已知直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则a＝________．
解析：由题意可知a·(a＋2)＝－1，解得a＝－1.
答案：－1
新课程标准解读
核心素养
1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的点斜式方程与斜截式方程
数学抽象、数学运算
2.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关问题
数学抽象、数学运算
名称
条件
方程
图形
点斜式
直线l过定点P0(x0，y0)，斜率为k
y－y0＝k(x－x0)
斜截式
直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)(直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距)
y＝kx＋b
直线的点斜式方程
直线的斜截式方程
两直线平行与垂直的应用