人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用第三课时学案

第三课时　空间中直线、平面的垂直

观察图片，都知道图中旗杆所在直线和地面垂直．

[问题]　如何证明旗杆与地面垂直？

知识点　空间中直线、平面垂直的向量表示

1．线线垂直的向量表示

设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0．

2．线面垂直的向量表示

设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn．

3．面面垂直的向量表示

设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0．

若直线l的方向向量与平面α内两条相交直线的方向向量都垂直，那么l与α垂直吗？

提示：垂直．

1．(多选)下列命题中，正确的命题为(　　)

A．若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2⇔α∥β

B．若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n1·n2＝0

C．若n是平面α的法向量，a是直线l的方向向量，若l与平面α垂直，则n∥a

D．若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面不垂直

解析：选BCD　A中平面α，β可能平行，也可能重合，结合平面法向量的概念，可知B、C、D正确．

2．若直线l的方向向量a＝(1，0，2)，平面α的法向量为n＝(－2，0，－4)，则(　　)

A．l∥α　　　　　　 B．l⊥α

C．l⊂α  D．l与α斜交

解析：选B　∵n＝－2a，∴a∥n，即l⊥α.

3．已知两不重合直线l1和l2的方向向量分别为a＝(3λ＋1，0，2λ)，b＝(1，λ－1，λ)，若l1⊥l2，则λ的值为________．

解析：由题意知，a⊥b，∴3λ＋1＋2λ2＝0，

∴λ＝－1或－.

答案：－1或－

4．平面α与平面β垂直，平面α与平面β的法向量分别为u＝(－1，0，5)，v＝(t，5，1)，则t的值为________．

解析：∵平面α与平面β垂直，

∴平面α的法向量u与平面β的法向量v垂直，

∴u·v＝0，即－1×t＋0×5＋5×1＝0，

解得t＝5.

答案：5

[例1]　如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F分别为AC，DC的中点．求证：EF⊥BC.

[证明]　由题意，以点B为坐标原点，在平面DBC内过点B作垂直于BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，

在平面ABC内过点B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

易得B(0，0，0)，A(0，－1，)，

D(，－1，0)，C(0，2，0)，

因而E，F，

所以＝，＝(0，2，0)，

因此·＝0.从而⊥，

所以EF⊥BC.

利用空间向量证明两直线垂直的常用方法及步骤

(1)基向量法：①选取三个不共面的已知向量(通常是它们的模及其两两夹角为已知)为空间的一个基底；②把两直线的方向向量用基底表示；③利用向量的数量积运算，计算出两直线的方向向量的数量积为0；④由方向向量垂直得到两直线垂直；

(2)坐标法：①根据已知条件和图形特征，建立适当的空间直角坐标系，正确地写出各点的坐标；②根据所求出点的坐标求出两直线方向向量的坐标；③计算两直线方向向量的数量积为0；④由方向向量垂直得到两直线垂直．　　　　

[跟踪训练]

如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为AC的中点．

求证：(1)BD1⊥AC；(2)BD1⊥EB1.

证明：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.设正方体的棱长为1，则B(1，1，0)，D1(0，0，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E，B1(1，1，1)．

(1)＝(－1，－1，1)，＝(－1，1，0)，

∴·＝(－1)×(－1)＋(－1)×1＋1×0＝0，

∴⊥，∴BD1⊥AC.

(2) ＝(－1，－1，1)，

＝，

∴·＝(－1)×＋(－1)×＋1×1＝0，

∴⊥，∴BD1⊥EB1.

[例2]　(链接教科书第32页例4)如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．求证：EF⊥平面B1AC.

[证明]　设正方体的棱长为2a，建立如图所示的空间直角坐标系．

则A(2a，0，0)，C(0，2a，0)，B1(2a，2a，2a)，E(2a，2a，a)，F(a，a，2a)．

∴＝(a，a，2a)－(2a，2a，a)＝(－a，－a，a)，

＝(2a，2a，2a)－(2a，0，0)＝(0，2a，2a)，

＝(0，2a，0)－(2a，0，0)＝(－2a，2a，0)．

∵·＝(－a，－a，a)·(0，2a，2a)＝(－a)×0＋(－a)×2a＋a×2a＝0，·＝(－a，－a，a)·(－2a，2a，0)＝2a2－2a2＋0＝0，

∴EF⊥AB1，EF⊥AC.

又AB1∩AC＝A，∴EF⊥平面B1AC.

用向量法证明线面垂直的方法及步骤

(1)利用线线垂直：①将直线的方向向量用坐标表示；②找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；③判断直线的方向向量与平面内两条直线的方向向量垂直；

(2)利用平面的法向量：①将直线的方向向量用坐标表示；②求出平面的法向量；③判断直线的方向向量与平面的法向量平行．　　　　

[跟踪训练]

如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E为PC的中点，EF⊥BP于点F.求证：PB⊥平面EFD.

证明：由题意得，DA，DC，DP两两垂直，

所以以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz，如图，

设DC＝PD＝1，则P(0，0，1)，A(1，0，0)，D(0，0，0)，B(1，1，0)，E.

所以＝(1，1，－1)，＝，＝.

法一：因为·＝(1，1，－1)·＝0＋－＝0，

所以⊥，所以PB⊥DE，

因为PB⊥EF，又EF∩DE＝E，EF，DE⊂平面EFD.

所以PB⊥平面EFD.

法二：设F(x，y，z)，则＝(x，y，z－1)，

＝.

因为⊥，所以x＋－＝0，

即x＋y－z＝0.①

又因为∥，可设＝λ(0≤λ≤1)，

所以x＝λ，y＝λ，z－1＝－λ.②

由①②可知，x＝，y＝，z＝，

所以＝.

设n＝(x1，y1，z1)为平面EFD的法向量，

则有

即

所以取z1＝1，则n＝(－1，－1，1)．

所以∥n，所以PB⊥平面EFD.

[例3]　在四棱锥S­ABCD中，底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点．求证：平面BDE⊥平面ABCD.

[证明]　设AS＝AB＝1，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(1，0，0)，D(0，1，0)，A(0，0，0)，C(1，1，0)，

S(0，0，1)，E.

法一：连接AC，交BD于点O，连接OE，则点O的坐标为.易知＝(0，0，1)，

＝，∴＝，∴OE∥AS.

又AS⊥底面ABCD，∴OE⊥平面ABCD.

又OE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABCD.

法二：设平面BDE的法向量为n1＝(x，y，z)．

易知＝(－1，1，0)，＝，

∴即

取x＝1，可得平面BDE的一个法向量为n1＝(1，1，0)．∵AS⊥平面ABCD，

∴平面ABCD的一个法向量为n2＝＝(0，0，1)．

∵n1·n2＝0，∴平面BDE⊥平面ABCD.

证明面面垂直的两种方法

(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明；

(2)向量法：证明两个平面的法向量互相垂直．　　　　

[跟踪训练]

如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.证明：平面PQC⊥平面DCQ.

证明：如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，DA，DP，DC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz.

则D(0，0，0)，Q(1，1，0)，C(0，0，1)，P(0，2，0)，则＝(1，1，0)，＝(0，0，1)，＝(1，－1，0)，∴·＝0，·＝0，即PQ⊥DQ，PQ⊥DC，又DQ∩DC＝D，DQ，DC⊂平面DCQ，∴PQ⊥平面DCQ，又PQ⊂平面PQC，∴平面PQC⊥平面DCQ.

[例4]　如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在的平面互相垂直，已知BC＝4，AB＝AD＝2.

(1)求证：AC⊥BF；

(2)在线段BE上是否存在一点P，使得平面PAC⊥平面BCEF？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

[解]　(1)证明：∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AF⊥AD，AF⊂平面ADEF，∴AF⊥平面ABCD.∵AC⊂平面ABCD，∴AF⊥AC.过A作AH⊥BC于H(图略)，则BH＝1，AH＝，CH＝3，

∴AC＝2，∴AB2＋AC2＝BC2，∴AC⊥AB.∵AB∩AF＝A，AB，AF⊂平面FAB，∴AC⊥平面FAB.∵BF⊂平面FAB，∴AC⊥BF.

(2)存在．理由：由(1)知，AF，AB，AC两两垂直．以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，

则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，E(－1，，2)．

假设在线段BE上存在一点P满足题意，则易知点P不与点B，E重合，设＝λ，则0<λ<1，P.设平面PAC的法向量为m＝(x，y，z)．

由＝，＝(0，2，0)，得

即

取x＝1，则z＝，

所以m＝为平面PAC的一个法向量．

同理，可求得n＝为平面BCEF的一个法向量．

当m·n＝0，即λ＝时，平面PAC⊥平面BCEF，故存在满足题意的点P，此时＝.

解决立体几何中探索性问题的基本方法

(1)通常假设题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理；

(2)探索性问题的关键是设点：①空间中的点可设为(x，y，z)；②坐标平面内的点其中一个坐标为0，如Oxy面上的点为(x，y，0)；③坐标轴上的点两个坐标为0，如z轴上的点为(0，0，z)；④直线(线段)AB上的点P，可设为＝λ，表示出点P的坐标，或直接利用向量运算．

[跟踪训练]

如图，在四棱锥P­ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点．

(1)求证：EF⊥CD.

(2)已知点G在平面PAD内，且GF⊥平面PCB，试确定点G的位置．

解：(1)证明：以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(如图)，

设AD＝a，则D(0，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，E，P(0，0，a)，F，∴＝，＝(0，a，0)，

∴·＝·(0，a，0)＝0，

∴EF⊥CD.

(2)∵G∈平面PAD，设G(x，0，z)，

∴＝.

由(1)，知＝(a，0，0)，＝(0，－a，a)．

∵GF⊥平面PCB，

∴·＝·(a，0，0)＝a＝0，

·＝·(0，－a，a)＝＋a＝0，

∴x＝，z＝0.

∴点G的坐标为，即点G为AD的中点．

1．若平面α，β的法向量分别为a＝(2，－1，0)，b＝(－1，－2，0)，则α与β的位置关系是(　　)

A．平行　　　　　　　 B．垂直

C．相交但不垂直  D．无法确定

解析：选B　a·b＝－2＋2＋0＝0，∴a⊥b，∴α⊥β.

2.如图，在空间直角坐标系中，正方体棱长为2，点E是棱AB的中点，点F(0，y，z)是正方体的面AA1D1D上一点，且CF⊥B1E，则点F(0，y，z)满足方程(　　)

A．y－z＝0

B．2y－z－1＝0

C．2y－z－2＝0

D．z－1＝0

解析：选D　E(1，0，0)，B1(2，0，2)，C(2，2，0)，

所以＝(－1，0，－2)，＝(－2，y－2，z)，

因为CF⊥B1E，所以·＝0，

即2－2z＝0，即z＝1.

3．已知平面α的法向量为a＝(1，2，－2)，平面β的法向量为b＝(－2，－4，k)，若α⊥β，则k＝________．

解析：∵α⊥β，∴a⊥b，∴a·b＝－2－8－2k＝0.

∴k＝－5.

答案：－5

4.如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝，AD＝2，P为C1D1的中点，M为BC的中点，则AM与PM的位置关系是________．

解析：以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，

依题意可得，D(0，0，0)，P(0，1，)，A(2，0，0)，M(，2，0)，

所以＝(，2，0)－(0，1，)＝(，1，－)，

＝(，2，0)－(2，0，0)＝(－，2，0)，

所以·＝(，1，－)·(－，2，0)＝0，

所以PM⊥AM.

答案：PM⊥AM

5．已知a＝(0，1，1)，b＝(1，1，0)，c＝(1，0，1)分别是平面α，β，γ的一个法向量，则α，β，γ三个平面中两两垂直的有________对．

解析：∵a·b＝(0，1，1)·(1，1，0)＝1≠0，a·c＝(0，1，1)·(1，0，1)＝1≠0，b·c＝(1，1，0)·(1，0，1)＝1≠0，∴a，b，c中任意两个都不垂直，∴α，β，γ三个平面中任意两个都不垂直．

答案：0