高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.2 直线的方程导学案及答案

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直线的两点式方程新课程标准解读核心素养根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(两点式、截距式)数学运算 斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足．若以桥面所在直线为x轴，桥塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上一点与桥面上一点的直线．[问题]　(1)怎样表示斜拉索所在的直线方程呢？(2)能否用直线上两个已知点的坐标来表示直线的方程？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　知识点　直线的两点式与截距式方程 两点式截距式条件经过两点P1(x1，y1) 和P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2在x轴上截距a，在y轴上截距b图形方程＝＋＝1适用范围不表示垂直于坐标轴的直线不表示垂直于坐标轴的直线及过原点的直线1．截距式方程能否表示过原点的直线？提示：不能，因为ab≠0，即有两个非零截距．2．所有的直线都可以用两点式方程来表示吗？提示：与x轴平行或与y轴平行的直线无法用两点式方程来表示．1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)不经过原点的直线都可以用方程＋＝1表示．(　　)(2)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(　　)答案：(1)×　(2)√2．过点A(5，6)和点B(－1，2)的直线的两点式方程是(　　)A.＝　　　　　　 B.＝C.＝  D.＝答案：B3．在x轴、y轴上的截距分别为2，－3的直线方程为(　　)A.－＝1  B.＋＝1C.－＝1  D.＋＝0答案：A4．直线x－2y＝4的截距式方程是____________．解析：求直线的截距式方程，必须把方程化为＋＝1的形式，即右边为1，左边是和的形式．答案：＋＝1直线的两点式方程[例1]　(链接教科书第63页例4)已知A(－3，2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中：(1)求BC边的方程；(2)求BC边上的中线所在直线的方程．[解]　(1)∵BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)，∴由两点式得＝，即2x＋5y＋10＝0.故BC边的方程为2x＋5y＋10＝0(0≤x≤5)．(2)设BC的中点为M(x0，y0)，则x0＝＝，y0＝＝－3.∴M，又BC边上的中线经过点A(－3，2)．∴由两点式得＝，即10x＋11y＋8＝0.故BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0.求直线的两点式方程的策略以及注意点(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程；(2)由于减法的顺序性，在使用两点式求直线方程时易将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．　　　　 [跟踪训练]已知直线经过点A(1，0)，B(m，1)，求这条直线的方程．解：由直线经过点A(1，0)，B(m，1)，因此该直线斜率不可能为零，但有可能不存在．①当直线斜率不存在，即m＝1时，直线方程为x＝1；②当直线斜率存在，即m≠1时，利用两点式，可得直线方程为＝，即x－(m－1)y－1＝0.综上可得：当m＝1时，直线方程为x＝1；当m≠1时，直线方程为x－(m－1)y－1＝0.直线的截距式方程[例2]　求过点A(5，2)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程．[解]　法一：①当直线l在坐标轴上的截距均为0时，方程为y＝x，即2x－5y＝0；②当直线l在坐标轴上的截距不为0时，可设方程为＋＝1，即x－y＝a，又∵l过点A(5，2)，∴5－2＝a，a＝3，∴l的方程为x－y－3＝0，综上所述，直线l的方程是2x－5y＝0或x－y－3＝0.法二：由题意知直线的斜率一定存在．设直线的点斜式方程为y－2＝k(x－5)，x＝0时，y＝2－5k，y＝0时，x＝5－.根据题意得2－5k＝－，解得k＝或k＝1.当k＝时，直线方程为y－2＝(x－5)，即2x－5y＝0；当k＝1时，直线方程为y－2＝1×(x－5)，即x－y－3＝0.[母题探究](变条件)若将本例中的条件“在坐标轴上的截距互为相反数”变为“在x轴上的截距是y轴上截距的2倍”，其它条件不变，如何求解？解：①当直线l在两坐标轴上的截距均为0时，方程为y＝x，即2x－5y＝0符合题意；②当直线l在两坐标轴上的截距均不为0时，可设方程为＋＝1，又l过点(5，2)，∴＋＝1，解得a＝.∴l的方程为x＋2y－9＝0.综上所述，直线l的方程是2x－5y＝0或x＋2y－9＝0.截距式方程应用的注意事项(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用直线的截距式方程，用待定系数法确定其系数即可；(2)选用直线的截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直；(3)要注意直线的截距式方程的逆向应用．　　　　 [跟踪训练]1．直线－＝1在两坐标轴上的截距之和为(　　)A．1　　　　　　　　　 B．－1C．7  D．－7解析：选B　直线在x轴上截距为3，在y轴上截距为－4，因此截距之和为－1.2．求过点P(6，－2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程．解：设直线的截距式方程为＋＝1.则＋＝1，解得a＝2或a＝1，则直线方程是＋＝1或＋＝1，即2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0.直线方程的综合应用[例3]　A是直线l：y＝3x上位于第一象限内的一点，B(3，2)为定点，直线AB交x轴正半轴于点C，求使△AOC面积最小的点A的坐标．[解]　如图，设点A的坐标为(m，3m)(m>0)．(1)当直线AB不垂直于x轴时，由两点式得直线AB的方程为＝.令y＝0，得xC＝.因为点C在x轴的正半轴上，所以>0，即m>.所以△AOC的面积S＝××3m＝＝×＝×≥×＝×8＝.当且仅当m＝时等号成立，此时点A的坐标为.(2)当直线AB与x轴垂直时，点A的坐标为(3，9)，此时S△AOC＝×3×9＝>.综上所述，△AOC的面积的最小值为，此时点A的坐标为.直线方程的选择技巧(1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取直线的点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率；(2)若已知直线的斜率，一般选用直线的点斜式或斜截式方程，再由其他条件确定直线的一个点或者截距；(3)若已知两点坐标，一般选用直线的两点式方程，若两点是与坐标轴的交点，就用直线的截距式方程．[注意]　不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限制条件，对特殊情况下的直线要单独讨论解决．　　　　 [跟踪训练]已知直线l过点P(3，2)，且与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于A，B两点(如图)．(1)求△AOB面积的最小值及此时l的方程；(2)求直线l在两坐标轴上截距之和的最小值．解：设点A，B的坐标依次为(a，0)，(0，b)(显然a>3，b>2)，则直线l的方程为＋＝1.把P(3，2)代入得＋＝1，∴b＝.(1)法一：S△AOB＝ab＝＝＝a－3＋＋6.令t＝a－3(t>0)，则S△AOB＝t＋＋6，故当t＝3时，S△AOB取到最小值12.∴当a－3＝3，即a＝6，b＝4时，△AOB面积的最小值是12，此时直线l的方程为＋＝1，即2x＋3y－12＝0.法二：由b＝，得S△AOB＝ab＝，去分母，得a2－S△AOBa＋3S△AOB＝0.①∵a为实数，∴Δ≥0，即S－12S△AOB≥0.又∵S△AOB>0，∴S△AOB≥12.将S△AOB的最小值12代入①，解得a＝6，故b＝4.此时直线l的方程为＋＝1，即2x＋3y－12＝0.(2)∵＋＝1，∴a＋b＝(a＋b)＝3＋＋＋2＝5＋＋.令t＝(t>0)，则a＋b＝5＋3t＋，故当t＝时，a＋b取到最小值．由＝，且＋＝1，得a＝3＋，b＝2＋，此时a＋b＝5＋2.1．过P1(2，0)，P2(0，3)两点的直线方程是(　　)A.＋＝0  B.＋＝0C.＋＝1  D.－＝1解析：选C　由截距式，得所求直线的方程为＋＝1.2．已知△ABC三顶点A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在的直线方程为(　　)A．2x＋y－8＝0  B．2x－y＋8＝0C．2x＋y－12＝0  D．2x－y－12＝0解析：选A　点M的坐标为(2，4)，点N的坐标为(3，2)，由两点式方程得＝，即2x＋y－8＝0.3．若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3，4)的直线上，则m＝________．解析：由两点式方程得，过A，B两点的直线方程为＝，即x＋y－1＝0.又点P(3，m)在直线AB上，所以3＋m－1＝0，得m＝－2.答案：－24．直线ax＋by＝1(ab≠0)与两坐标轴围成的三角形的面积是________．解析：直线在两坐标轴上的截距分别为与，所以直线与坐标轴围成的三角形面积为.答案：