15.函数与导数（Ｃ组） 2022版高考数学大题专项练含解析

  15．函数与导数(C组)大题专项练，练就慧眼和规范，筑牢高考满分根基！1.为优先发展农村经济，丰富村民精神生活，全面推进乡村振兴，某村在2021年新农村建设规划中，计划在一半径为r的半圆形区域(O为圆心)上，修建一个矩形名人文化广场和一个矩形停车场(如图)，剩余区域进行绿化，现要求CD＝r，∠AOB＝x.(1)设f(x)为名人文化广场和停车场用地总面积，求f(x)的表达式；(2)当f(x)取最大值时，求cos x的值．【解析】(1)依题得，OA＝r cos x，AB＝r sin x，取DC的中点F，所以CF＝，连接OF，则DC⊥OF，则DE＝r－r sin x，由DE>0得，x∈，所以f(x)＝r·r＋2r cos x·r sin x＝r2，x∈(0，).(2)f′(x)＝r2(2cos 2x－cos x)＝r2(4cos2x－cosx－2)，令f′(x)＝0，得4cos2x－cosx－2＝0，解得cos x＝或cos x＝(不合题意，舍去)，设cos x0＝，则x0∈，①当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增；②当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以当x＝x0时，即cos x＝时，f(x)取得最大值．2．已知函数f(x)＝x2－ax＋2ln x－3.(1)讨论f(x)的单调性．(2)若对任意的a∈，总存在x1，x2，使得f(x1)＋f(x2)＝0，证明：x1＋x2≥4.【解析】(1)f′(x)＝2x－a＋＝.当Δ＝a2－16≤0，即－4≤a≤4时，f′(x)≥0，所以f(x)在上单调递增．当Δ＝a2－16>0，即a<－4或a>4时，令2x2－ax＋2＝0，得x＝.当a<－4时，两根均为负数，则f′(x)>0，所以f(x)在上单调递增；当a>4时，两根均为正数，所以f(x)在(0，)，上单调递增，在上单调递减．综上所述，当a≤4时，f(x)在上单调递增；当a>4时，f(x)在(0，)，(，＋∞)上单调递增，在上单调递减．(2)因为f＋f＝0，所以x－ax1＋2ln x1－3＋x－ax2＋2ln x2－3＝0，整理得x＋x－a＋2ln x1＋2ln x2－6＝0，即2－a－6＝2x1x2－2ln (x1x2).令g(x)＝2x－2ln x，则g′(x)＝2－＝，所以g(x)在上单调递减，在上单调递增，所以g(x)≥g＝2，即2x1x2－2ln (x1x2)≥2.所以2－a－6≥2，所以2－a－8≥0.因为h(a)＝2－a－8在a∈上单调递减，所以h(2)＝2－2－8≥0，即≥0.因为x1，x2>0，所以x1＋x2≥4.