16.函数与导数（D组） 2022版高考数学大题专项练含解析

  16．函数与导数(D组)大题专项练，练就慧眼和规范，筑牢高考满分根基！1.已知函数f(x)＝x2ex－1，g(x)＝ex－ax，a∈R.(1)讨论g(x)的单调性；(2)设函数F(x)＝f(x)－g(x)，当a≥1时，求F(x)在区间[0，＋∞)上的最小值．【解析】(1)由题知g′(x)＝ex－a，当a≤0时，g′(x)>0对于x∈R恒成立，此时g(x)在R上单调递增；当a>0时，令g′(x)＝0得x＝ln a，当x<ln a时，g′(x)<0；当x>ln a时，g′(x)>0，所以g(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增；综上所述：当a≤0时，g(x)在R上单调递增，当a>0时，g(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增；(2)F(x)＝f(x)－g(x)＝(x2－1)ex＋ax－1，则F′(x)＝(x2＋2x－1)ex＋a，令h(x)＝F′(x)，则h′(x)＝(x2＋4x＋1)ex，因为h′(x)在区间[0，＋∞)上恒大于0，所以h(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，即F′(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，所以F′(x)≥F′(0)＝－1＋a，因为a≥1，所以F′(x)≥0，所以F(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，所以F(x)≥F(0)＝－2，所以当a≥1时，F(x)在区间[0，＋∞)上的最小值是－2.2．在①f′(3)＝5，②f(x)在(0，2)与(2，＋∞)上单调性不同，③y＝过点这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．已知函数f(x)＝x3－ax＋1(x∈R)，f′(x)是f(x)的导函数，________．(1)求a的值；(2)求函数f(x)在区间[－4，3]上的最值．【解析】(1)选①：因为f(x)＝x3－ax＋1(x∈R)，所以f′(x)＝x2－a，因为f′(3)＝9－a＝5，所以a＝4选②：因为f(x)在(0，2)与(2，＋∞)上单调性不同所以x＝2是f(x)的一个极值点，所以f′(2)＝0又因为f(x)＝x3－ax＋1(x∈R)，所以f′(x)＝x2－a，由f′(2)＝0，解得a＝4 当a＝4时，x∈(0，2)，f′(x)<0；x∈(2，＋∞)，f′(x)>0f(x)在(0，2)上是单调减函数，在(2，＋∞)上是单调增函数，所以a＝4.选③：因为y＝，所以y＝＋－a又因为y＝过点，所以a＝4.(2)由(1)可得：f(x)＝x3－4x＋1，f′(x)＝x2－4，令f′(x)＝x2－4＝0，解得x＝±2.列出表格如下：x－4(－4，－2)－2(－2，2)2(2，3)3f′(x) ＋0－0＋ f(x)－单调递增极大值单调递减极小值－单调递增－2又因为f(－4)＝－＝f(2)，f(3)＝－2<.所以函数f(x)在区间[－4，3]上的最大值为，最小值为－.