第二篇 专题五 第2课时 圆锥曲线的方程与性质 2022版高考数学复习

  专题五 第2课时　圆锥曲线的方程与性质圆锥曲线的定义及标准方程1．(2021·烟台一模)已知F为抛物线C：y2＝8x的焦点，直线l与C交于A，B两点，若AB中点的横坐标为4，则|AF|＋|BF|＝(　　)A．8    B．10    C．12    D．16【解析】选C.F为抛物线C：y2＝8x的焦点(2，0)，准线方程x＝－2，由题设知线段AB的中点到准线的距离为：4＋2＝6，设A，B两点到准线的距离分别为d1，d2，由抛物线的定义知：|AB|＝|AF|＋|BF|＝d1＋d2＝2×6＝12.2．(2021·滨州一模)如图，斜线段AB与平面α所成的角为，B为斜足．平面α上的动点P满足∠PAB＝，则点P的轨迹为(　　)A．圆        B．椭圆C．双曲线的一部分    D．抛物线的一部分【解析】选B.用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线．参考如图：此题中平面α上的动点P满足∠PAB＝，可理解为P在以AB为轴的圆锥的侧面上，再由斜线段AB与平面α所成的角为，可知P的轨迹符合圆锥曲线中椭圆定义，故可知动点P的轨迹是椭圆．3.(2021·惠州一模)希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明．他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线；当0＜e＜1时，轨迹为椭圆；当e＝1时，轨迹为抛物线；当e＞1时，轨迹为双曲线．现有方程m(x2＋y2＋2y＋1)＝(x－2y＋3)2表示的曲线是双曲线，则m的取值范围为(　　)A．(0，1)     B．(1，＋∞)C．(0，5)      D．(5，＋∞)【思维通关】关键点根据叙述，弄懂圆锥曲线的统一定义障碍点把所给方程变形为统一定义描述的形式，即到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e易错点方程变形错误【解析】选C.方程m(x2＋y2＋2y＋1)＝(x－2y＋3)2，m＞0，即为m[x2＋(y＋1)2]＝(x－2y＋3)2，可得·＝|x－2y＋3|，则＝，可得动点P(x，y)到定点(0，－1)和定直线x－2y＋3＝0的距离的比为常数，由双曲线的定义，可得＞1，解得0＜m＜5.　本题题意不变，若所给方程表示的曲线是椭圆，求m的取值范围．【解析】方程m(x2＋y2＋2y＋1)＝(x－2y＋3)2，m＞0，即为m[x2＋(y＋1)2]＝(x－2y＋3)2，可得·＝|x－2y＋3|，则＝，可得动点P(x，y)到定点(0，－1)和定直线x－2y＋3＝0的距离的比为常数，由椭圆的定义，可得0＜＜1，解得m＞5.1．关于圆锥曲线定义的应用对于椭圆、双曲线如果涉及曲线上的点与焦点的距离，一般要利用定义进行转化．对应抛物线涉及曲线上点到焦点的距离、到准线的距离时需要相互转化．2．关于圆锥曲线方程的求法定型确定曲线类型计算利用待定系数法，根据条件求出系数a，b，c，p圆锥曲线的几何性质1．(2021·全国甲卷)点(3，0)到双曲线－＝1的一条渐近线的距离为(　　)A．    B．    C．    D．【解析】选A. 显然双曲线－＝1的一条渐近线方程为3x－4y＝0，所以点(3，0)到直线3x－4y＝0的距离为＝.2．(2021·全国乙卷)设B是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是(　　)A．     B．C．     D．【解析】选C.B点坐标为(0，b)，由题意知，以B为圆心，2b为半径的圆与椭圆至多只有一个交点，即至多有一个解，消去x得y2－2by＋a2－3b2＝0，令Δ＝0，即(a2－2b2)2＝0，得e＝，所以e∈.3.已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率等于2，F1，F2分别是C的左、右焦点，A为C的右顶点，P在C的渐近线上，且PF1⊥PF2，若△PAF1的面积为3a，则C的虚轴长等于(　　)A．      B．2C．2      D．4【思维通关】关键点根据题设建立关于a，b，c的方程组障碍点不能确定点P的坐标，进而无法使用条件“△PAF1的面积为3a”易错点求点P的坐标【解析】选D.双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率等于2，e＝＝2，…①F1，F2分别是C的左、右焦点，双曲线一三象限的渐近线的斜率为：＝＝＝，…②A为C的右顶点，P在C的渐近线上，且PF1⊥PF2，所以P(a，b)，由于△PAF1的面积为3a，所以(a＋c)·b＝3a，…③解①②③可得b＝2，所以C的虚轴长等于4.4．(2021·新高考I卷)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为__________.【解析】由已知可设P，所以kOP＝2，kPQ＝－，因此直线PQ的方程为：y－p＝－，令y＝0得x＝，因此|FQ|＝－＝2p＝6，则p＝3，所以C的准线方程为x＝－＝－.答案：x＝－性质应用指南研究圆锥曲线的性质厘清圆锥曲线中a，b，c，e，p的关系是关键离心率根据条件建立关于a，b，c之间的方程，结合其自身的关系消元，构造方程求离心率双曲线的渐近线方程利用公式e＝，建立离心率与渐近线斜率的关系，知道一个可以求另一个圆锥曲线的综合交汇问题1.(2021·枣庄二模)已知椭圆C与双曲线x2－y2＝1有相同的左焦点F1、右焦点F2，点P是两曲线的一个交点，且PF1·PF2＝0.过F2作倾斜角为45°的直线交C于A，B两点(点A在x轴的上方)，且＝λAF2，则λ的值为(　　)A．3＋      B．3＋C．2＋       D．2＋【思维通关】关键点由题设求出椭圆方程障碍点点P是两曲线的公共点易错点混淆椭圆与双曲线中a，b，c的关系【解析】选A.设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，双曲线的方程为x2－y2＝1的焦点为F1(－，0)，F2(，0)，可得a2－b2＝2，由PF1·PF2＝0，可得PF1⊥PF2，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝2a，|m－n|＝2，且m2＋n2＝|F1F2|2＝(2)2＝8，所以mn＝2，则4a2＝m2＋n2＋2mn＝8＋4＝12，即a＝，b＝1，则椭圆的方程为＋y2＝1，过F2作倾斜角为45°的直线的方程为y＝x－，联立可得x2－2x＋1＝0，解得x1＝，x2＝，交点为A(，)，B(，)，|AB|＝，|AF2|＝，所以λ＝＝3＋.2．(2021·聊城一模)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A，B是抛物线C上的两点，O为坐标原点，若A，F，B三点共线，且·＝－3，则p＝________．【解析】由题可知，直线AB的斜率不为0，故可设直线方程为x＝my＋，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由可得y1y2＝－p2，x1x2＝＝，因为·＝－3，所以x1x2＋y1y2＝－3，即p2＝4，所以p＝2(负值舍去).答案：23．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)，以原点O为圆心、C的焦距为半径的圆交x轴于A，B两点，P是圆O与C的一个公共点．若|PA|＝|PB|，则C的离心率为________．【解析】如图，由题意可得，圆O的方程为x2＋y2＝4c2，与x轴的交点分别为A(－2c，0)，B(2c，0)，则|AB|＝4c，△APB为直角三角形，又|PA|＝|PB|，所以tan ∠ABP＝＝，即∠ABP＝60°，连接OP，△OBP为等边三角形，过P作PQ⊥AB，可得Q为OB的中点，因为|OB|＝2c，所以|OQ|＝c，|PQ|＝c，因此P的坐标为(c，c)，将P点坐标代入双曲线方程，可得－＝1，即－＝1，化简得：e4－5e2＋1＝0，解得e2＝，又e＞1，得e＝.答案：1．圆锥曲线及圆之间的综合问题解决圆锥曲线之间、圆锥曲线与圆之间的综合问题时，关键是抓住两种曲线之间的联系，再结合其自身的几何性质解题．2．圆锥曲线与其他知识点之间的交汇问题圆锥曲线与向量、三角函数、基本不等式等交汇，综合考查圆锥曲线的几何性质的应用，一般是利用圆锥曲线的几何性质转化条件，再利用其他的知识点解题，或者是其他的知识点转化为条件，再利用圆锥曲线的几何性质解题．1．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线过点(－，2)，且双曲线的一个焦点在抛物线y2＝4x的准线上，则双曲线的方程为(　　)A．－＝1     B．－＝1C．－＝1      D．－＝1【解析】选C.由题意双曲线的渐近线方程为y＝±x，双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线过点(－，2)，可得＝，因为抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－，双曲线的一个焦点在抛物线y2＝4x的准线上，所以c＝，所以a2＋b2＝c2＝7，所以a＝，b＝2，所以双曲线的方程为－＝1.2．(2021·青岛一模)2021年是中国传统的“牛”年，可以在平面坐标系中用抛物线与圆勾勒出牛的形象．已知抛物线Z：x2＝4y的焦点为F，圆F：x2＋(y－1)2＝4与抛物线Z在第一象限的交点为P(m，)，直线l：x＝t(0＜t＜m)与抛物线Z的交点为A，直线l与圆F在第一象限的交点为B，则m＝______；△FAB周长的取值范围为______．【解析】联立方程解得或又因为点P在第一象限，所以P(2，1)，即m＝2；由题意可知抛物线Z的焦点和圆F的圆心是同一个点(0，1)，所以|FB|＝2，|AF|＝yA＋1，|AB|＝yB－yA，所以△ABF的周长为2＋yA＋1＋yB－yA＝yB＋3，因为0＜t＜m＝2，所以1＜yB＜3，所以△ABF的周长取值范围是(4，6).答案：2　(4，6)