情境创新微专题（二） 高考喊你来折纸. 2022版高考数学复习

  情境创新微专题(二)　高考喊你来折纸【典例】(2021·新高考Ⅰ卷) 某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20 dm×12 dm的长方形纸，对折1次共可以得到10 dm×12 dm，20 dm×6 dm两种规格的图形，它们的面积之和S1＝240 dm2，对折2次共可以得到5 dm×12 dm，10 dm×6 dm，20 dm×3 dm三种规格的图形，它们的面积之和S2＝180 dm2，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为__________；如果对折n次，那么k＝__________ dm2.【思路分析】(1)按要求对折，以两边长度分类逐个列举即可；(2)根据(1)中对折的规律求出Sn，再根据其结构特征利用相应的求和方法求解．【解析】(1)由题意可知，每次对折，只能把其中一边的长度变为原来的一半．找规律　由对折2次共可以得到5 dm×12 dm，10 dm×6 dm，20 dm×3 dm三种规格的图形；所以对折三次的结果有：×12，5×6，10×3；20×，共4种不同规格(单位： dm2).按照两边长度逐类列举故对折4次可得到如下规格：×12，×6，5×3，10×，20×，共5种不同规格．(2)由于每次对折后的图形的面积都减小为原来的一半，找规律　故各次对折后的图形，不论规格如何，其面积成公比为的等比数列，首项为120，建数列模型　第n次对折后的图形面积为120×n－1，对于第n次对折后的图形的规格形状种数，根据(1)的过程和结论，猜想为n＋1种(证明略)注意Sn的意义　故得猜想Sn＝.设S＝k＝＋＋＋…＋，则S＝＋＋…＋＋，两式作差得：S＝240＋120(＋＋…＋)－＝240＋－＝360－－＝360－，因此S＝720－＝720－.答案：5　720－该题以“民间剪纸艺术”为背景研究纸片对折后的边长与面积的变化规律，突出文化传统教育和劳动教育，以及数学建模与数学计算的学科素养等．解决此类问题的关键是“弄清生活情景，萃取数学问题”！利用对折后边长的变化，通过其中一边对折的次数进行分类，列出不同的结果，从而构建等比数列的模型，最后又考查了错位相减法求和问题，综合性比较强．　1967年，法国数学家蒙德尔布罗的文章《英国的海岸线有多长？》标志着几何概念从整数维到分数维的飞跃.1977年他正式将具有分数维的图形称为“分形”，并建立了以这类图形为对象的数学分支——分形几何．分形几何不只是扮演着计算机艺术家的角色，事实表明它们是描述和探索自然界大量存在的不规则现象的工具．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段AB的长度为1，在线段AB上取两个点C，D，使得AC＝DB＝AB，以CD为一边在线段AB的上方作一个正三角形，然后去掉线段CD，得到图2中的图形；对图2中的线段EC，ED作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：记第n个图形(图1为第一个图形)中的所有线段长的和为Sn，对任意的正整数n，都有Sn＜a，则a的最小值为__________.【解析】设第n个图形中新出现的等边三角形的边长为an，则当n≥2时，an＝n－2＝n－1，设第n个图形中新增加的等边三角形的个数为bn，则当n≥2时，bn＝2n－2，故Sn－Sn－1＝n－1×2n－2，其中n≥2，由累加法可得Sn＝1＋＝1＋××＝2－n－1，n＝1时，S1＝1也符合该式，故Sn＝2－n－1，故Sn<2对任意的n≥1恒成立，故a≥2，即a的最小值为2.答案：2