情境创新微专题（三） 大兴机场中的几何学 2022版高考数学复习

  情境创新微专题(三)　大兴机场中的几何学【典例】北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差(多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制)，多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为2π－3×＝π，故其总曲率为4π.(1)求四棱锥的总曲率；(2)若多面体满足：顶点数－棱数＋面数＝2，证明：这类多面体的总曲率是常数．【解题指南】(1)四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和，写出多边形表面的所有内角即可．(2)设顶点数、棱数、面数分别为n，l，m，设第i个面的棱数为xi，所以x1＋x2＋…＋xm＝2l，按照公式计算总曲率即可．【解析】(1)由题可知：四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和．可以从整个多面体的角度考虑，所有顶点相关的面角就是多面体的所有多边形表面的内角的集合．由图可知：四棱锥共有5个顶点，5个面，其中4个为三角形，1个为四边形．所以四棱锥的表面内角和由4个为三角形，1个为四边形组成，则其总曲率为2π×5－＝4π.(2)设顶点数、棱数、面数分别为n，l，m，所以有n－l＋m＝2，设第i个面的棱数为xi，所以x1＋x2＋…＋xm＝2l，所以总曲率为：2πn－π＝2πn－π＝2π＝4π，所以这类多面体的总曲率是常数．本题主要考查曲率，考查考生的创新能力、逻辑思维能力、运算求解能力、空间想象能力．试题结合新定义——曲率命制立体几何试题，角度新颖，要求考生充分理解曲率的定义，结合立体几何的结构特征求解，体现了数学探索、理性思维学科素养．　设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为1－(∠Q1PQ2＋∠Q2PQ3＋…＋∠Qk－1PQk＋∠QkPQ1)，其中Qi(i＝1，2，…，k，k≥3)为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面Q1PQ2，平面Q2PQ3，…，平面Qk－1PQk和平面QkPQ1为多面体M的所有以P为公共点的面．已知在直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，AA1＝AB，则下列结论正确的是(　　)A．直四棱柱ABCD­A1B1C1D1在其各顶点处的离散曲率都相等B．若AC＝BD，则直四棱柱ABCD­A1B1C1D1在顶点A处的离散曲率为C．若AB＝BD，则直四棱柱ABCD­A1B1C1D1在顶点A处的离散曲率为D．若四面体A1ABD在点A1处的离散曲率为，则AC1⊥平面A1BD【解析】选D.A项，当直四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面为正方形时，其在各顶点处的离散曲率都相等，当直四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面不为正方形时，其在同一底面且相邻的两个顶点处的离散曲率不相等，故选项A错误；B项，若AC＝BD，则菱形ABCD为正方形，因为AA1⊥平面ABCD，所以AA1⊥AB，AA1⊥AD，所以直四棱柱ABCD­A1B1C1D1在顶点A处的离散曲率为1－＝，选项B错误；C项，若AB＝BD，则∠BAD＝，又AA1⊥AB，AA1⊥AD，所以直四棱柱ABCD­A1B1C1D1在顶点A处的离散曲率为1－＝，选项C错误；D项，在四面体A1ABD中，AA1⊥AB，AA1⊥AD，AA1＝AB＝AD，所以∠AA1B＝∠AA1D＝，所以四面体A1ABD在点A1处的离散曲率为1－＝，解得∠BA1D＝，易知A1B＝A1D＝AB，所以BD＝AB，所以AB⊥AD，所以直四棱柱ABCD­A1B1C1D1为正方体，结合正方体的结构特征可知AC1⊥平面A1BD，选项D正确．