高考数学考前必备第一篇高考前沿把握趋势(领航篇)讲义

第一篇高考前沿　把握趋势(领航篇)热点一　开放创新　重视关键能力命|题|分|析2021年2月19日，教育部发布了《教育部关于做好2021年普通高校招生工作的通知》。通知指出2021年高考要优化情境设计，加强试题的开放性、灵活性，充分发挥高考命题的育人功能和积极的导向作用，引导减少死记硬背和“机械刷题”现象。这意味着高考中开放性试题的比例将增加，将更考验学生对知识的灵活运用！所谓开放性试题，就是参考答案不唯一，允许学生发表不同的看法，鼓励创造性思维，引导学生去思考、去拓展。开放性试题因为没有固定答案，只要解答合理即可，在一定程度上比较好得分，但得高分并不容易。下面我们通过开放性问题的几种考向进行说明。考向一  结论开放型结论开放型问题常见于含参的代数问题，参数的存在可能会导致表达式有不同的含义，另外，参数的不同取值也可能会带来不同的结果，因此结论开放，考查考生对概念深层次的理解。【例1】　(2021·全国乙卷)以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为________(写出符合要求的一组答案即可)。【思路分析】　由图①为正视图，根据“长对正，高平齐，宽相等”的原则知②或③只能是侧视图，④或⑤只能是俯视图，再结合相关数据写出结果。解析　根据“长对正、高平齐、宽相等”及图中数据，可知图②③只能是侧视图，图④⑤只能是俯视图，则组成某个三棱锥的三视图，所选侧视图和俯视图的编号依次是③④或②⑤。若是③④，则原几何体如图甲所示；若是②⑤，则原几何体如图乙所示。答案　③④(答案不唯一，②⑤也可)本题答案不唯一，结论开放。本题解题的关键是通过正视图，排除部分组合情况，减少讨论的种类。本题考查了考生的逻辑思维能力、空间想象能力、创新探究能力。 考向二  条件选择型条件选择型问题常见于从多个条件中选取一个或几个条件作答，选择的条件不同得到的结论可能相同也可能不相同。【例2】　(2021·全国甲卷)已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立。①数列{an}是等差数列；②数列{}是等差数列；③a2＝3a1。【思路分析】　对于①③⇒②，找到{an}的首项和公差间的关系，表示出Sn，再利用等差数列的定义进行判断即可；对于①②⇒③，利用数列{an}的前n项和公式、等差数列通项公式的特征，得出数列{an}的首项和公差间的关系即可；对于②③⇒①，利用{}是等差数列求出Sn，再利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)结合等差数列通项公式的特征判断即可。解　①③⇒②。已知{an}是等差数列，a2＝3a1。设数列{an}的公差为d，则a2＝3a1＝a1＋d，得d＝2a1，所以Sn＝na1＋d＝n2a1。因为数列{an}的各项均为正数，所以＝n，所以－＝(n＋1)－n＝(常数)，所以数列{}是等差数列。①②⇒③。已知{an}是等差数列，{}是等差数列。设数列{an}的公差为d，则Sn＝na1＋d＝n2d＋n。因为数列{}是等差数列，所以数列{}的通项公式是关于n的一次函数，则a1－＝0，即d＝2a1，所以a2＝a1＋d＝3a1。②③⇒①。已知数列{}是等差数列，a2＝3a1，所以S1＝a1，S2＝a1＋a2＝4a1。设数列{}的公差为d，d>0，则－＝－＝d，得a1＝d2，所以＝＋(n－1)d＝nd，所以Sn＝n2d2，所以an＝Sn－Sn－1＝n2d2－(n－1)2d2＝2d2n－d2(n≥2)，又a1＝d2符合上式，所以an＝2d2n－d2，因为an＋1－an＝2d2为常数，所以数列{an}是等差数列。解决等差数列问题时常用的思想方法：一是方程思想，即设出首项和公差，然后根据已知列出方程(组)求解；二是整体思想，即当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用首项和公差表示出来，寻求两者的联系，整体代换即可求解；三是利用性质，即运用等差数列的性质，化繁为简，优化解题过程。 考向三  方案设计型方案设计型问题一般指有多种处理方式的问题或其中一个量有多种解的形式的问题，需要考生根据试题的特点，合理分析，选取最适当的方案进行解答，要求考生有较强的逻辑思维能力。【例3】　(2021·南京六校联考)垃圾是人类日常生活和生产中产生的废弃物，由于排出量大，成分复杂多样，且具有污染性，所以需要无害化、减量化处理。某市为调查产生的垃圾数量，采用简单随机抽样的方法抽取20个县城进行了分析，得到样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，20)，其中xi和yi分别表示第i个县城的人口(单位：万人)和该县城年垃圾产生总量(单位：吨)，并计算得i＝80，i＝4 000，(xi－)2＝80，(yi－)2＝8 000，(xi－)·(yi－)＝700。(1)请用相关系数r说明该组数据中y与x之间的关系可用线性回归模型进行拟合(如果|r|∈[0.75,1]，那么变量间线性相关性很强)；(2)求y关于x的线性回归方程；(3)某科研机构研发了两款垃圾处理机器，下表是以往这两款垃圾处理机器的使用年限统计表：1年2年3年4年合计甲款520151050乙款152010550某环保机构考虑购买其中一款垃圾处理机器，以使用年限的频率估计概率，根据以往经验估计，该机构选择购买哪一款垃圾处理机器才能使用更长久？参考公式：相关系数r＝。对于一组具有线性相关关系的数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，其回归直线＝x＋的斜率和截距的最小二乘估计分别为：＝，＝－。【思路分析】　(1)利用公式求出相关系数，即可判断y与x之间的关系可用线性回归模型拟合；(2)利用公式求出，，即可得到线性回归方程；(3)以频率估计概率，分别求出甲款垃圾处理机器的使用年限X(单位：年)与乙款垃圾处理机器的使用年限Y(单位：年)的分布列与期望，进行比较，即可作出判断。解　(1)由题意知相关系数r＝＝＝＝0.875。因为0.875∈[0.75,1]，所以y与x之间具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型进行拟合。(2)由题意可得＝＝＝8.75，＝－＝－8.75×＝200－8.75×4＝165，所以＝8.75x＋165。(3)以频率估计概率，设甲款垃圾处理机器的使用年限为X年，则X的分布列为X1234P0.10.40.30.2E(X)＝1×0.1＋2×0.4＋3×0.3＋4×0.2＝2.6。设乙款垃圾处理机器的使用年限为Y年，则Y的分布列为Y1234P0.30.40.20.1E(Y)＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.2＋4×0.1＝2.1。因为E(X)>E(Y)，所以该机构应购买甲款垃圾处理机器才能使用更长久。利用期望值或方差值进行比较是常用的方法。 考向四  存在探索型存在探索型问题中都会提出一个探索目标，需要考生根据试题条件得出关于探索目标的关系式，最后再对关系式进行定量分析。一般来说，这类问题计算量较大，需要考生具备较好的运算求解能力。【例4】　(2021·河南省实验中学模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，长轴的长度为4，离心率为。(1)求椭圆C的方程；(2)设P(1,0)，过点P作两条直线l1，l2，直线l1与椭圆C交于A，B两点，直线l2与椭圆C交于D，E两点，AB的中点为M，DE的中点为N。若直线l1与直线l2的斜率之积为，判断直线MN是否过定点，若过定点，求出此定点的坐标；若不过定点，请说明理由。【思路分析】　将直线MN的直线方程表示出来，找出定点。解　(1)由题意知2a＝4，e＝＝，所以a＝2，c＝，由a2＝b2＋c2可得b2＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1。(2)由题意知l1，l2斜率必存在且不为零，设l1的斜率为k1，l2的斜率为k2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)，N(xN，yN)，则k2＝。设l1的方程为y＝k1(x－1)，由消y可得(1＋4k)x2－8kx＋4k－4＝0，易知Δ>0恒成立，由根与系数的关系得x1＋x2＝，x1x2＝，所以xM＝，yM＝k1(xM－1)＝。同理可得xN＝＝＝，yN＝＝＝，易知直线MN的斜率kMN存在，kMN＝＝＝，所以直线MN的方程为y－＝，即y＝·(x－4)。所以直线MN过定点，且定点坐标是(4,0)。直线过定点问题的判断一般是先设定参数，将直线方程表示出来，利用直线恒过定点的方法，比如本题x＝4时，y值与参数k1无关，求出定点。 热点二　情境问题　突出素养导向命|题|分|析新情境试题重视数学本质，突出理性思维、数学应用、数学探究、数学文化的引领作用，是近年高考考查的热点内容。试题往往使用贴近时代、贴近社会、贴近生活的素材，以日常生活、工业生产、国家发展、社会进步中的实际问题为背景，考查学生运用数学知识解决实际问题的能力，让学生充分感受数学的应用价值，强调以素养为导向，深受命题专家的青睐。试题多以图、表、文并用的方式呈现，各种题型都有可能出现。考向一  五育并举　立德树人【例1】　(2021·新高考全国Ⅰ卷)某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折。规格为20 dm×12 dm的长方形纸，对折1次共可以得到10 dm×12 dm,20 dm×6 dm两种规格的图形，它们的面积之和S1＝240 dm2，对折2次共可以得到5 dm×12 dm,10 dm×6 dm,20 dm×3 dm三种规格的图形，它们的面积之和S2＝180 dm2，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为________；如果对折n次，那么k＝________dm2。【思路分析】　列出对折3次、4次相应的各种规格的图形S3、S4的值，归纳出对折n次的图形面积，用错位相减法求k的值。解析　依题意得，S1＝120×2＝240；S2＝60×3＝180；当n＝3时，共可以得到5 dm×6 dm， dm×12 dm，10 dm×3 dm,20 dm× dm四种规格的图形，且5×6＝30，×12＝30,10×3＝30,20×＝30，所以S3＝30×4＝120；当n＝4时，共可以得到5 dm×3 dm， dm×6 dm， dm×12 dm,10 dm× dm,20 dm× dm五种规格的图形，所以对折4次共可以得到不同规格图形的种数为5，且5×3＝15，×6＝15，×12＝15,10×＝15,20×＝15，所以S4＝15×5＝75；……，所以可归纳Sk＝×(k＋1)＝。所以k＝240　①，所以×k＝240　②，由①－②得，×k＝240＝240＝240，所以k＝240dm2。答案　5　240本题以中国古代民间剪纸艺术为背景，考查了数列型问题的“归纳、猜想、证明”策略的灵活运用，体现了美育教育的导向。本题是最具有特色的创新型试题，全面考查了数学学科素养中的理性思维、数学应用、数学文化、数学探索，考查了数学建模能力和运算求解能力。 考向二  聚焦热点　责任担当【例2】　(2021·全国乙卷)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有(　　)A．60种   B．120种C．240种   D．480种【思路分析】　本题依照“先选后排”的原则求解，即第1步先进行分组，第2步再进行排列的方法进行。解析　根据题设中的要求，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，可分两步进行安排：第一步，将5名志愿者分成4组，其中1组2人，其余每组1人，共有C种分法；第二步，将分好的4组安排到4个项目中，有A种安排方法。故满足题意的分配方案共有C·A＝240(种)。答案　C本题以北京冬奥会为背景设计试题，体现了冬奥会志愿者的社会担当精神。解决本题的关键是先分组后分配，考查了解决排列组合问题的一般方法。 考向三  融入生活　关注应用【例3】　(2021·山东日照模拟)2020年是中国传统的农历鼠年，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图，Q(0，－3)是圆Q的圆心，圆Q过坐标原点O，点L，S均在x轴上，圆L与圆S的半径都等于2，圆S，圆L均与圆Q外切。已知直线l过点O。若直线l截圆L、圆S、圆Q所得弦长均等于d，则d＝________。【思路分析】　设出l的方程，分别求出圆L、圆S、圆Q的圆心到直线l的距离d1，d2，d3，结合弦长公式求出l的斜率k的平方，从而求出d的值。解析　设l的方程为y＝kx(k≠0)，三个圆心L，S，Q到l的距离分别为d1，d2，d3，易知L(－4,0)，S(4,0)，则d1＝，d2＝，d3＝，d＝2＝2＝2，所以4－2＝9－2，解得k2＝，则d2＝4×＝，解得d＝。答案　本题以“卡通鼠”为背景，考查点到直线的距离、弦长公式等知识。破解此类题的关键是“方程引路，几何法破题”，对于有关圆的弦长的问题，常利用几何法，即先求出圆心到直线的距离d，再利用弦长等于2(其中r为圆的半径)，即可破解。在此过程中，有时需用到方程思想，如本题，利用方程思想，求出直线l的斜率的平方，为求弦长d做准备。 考向四  关注科技　助力强国【例4】　神舟十二号载人飞船发射成功，三名航天员于2021年6月17日进入核心舱，标志着中国人首次进入了自己的空间站。为庆祝神舟十二号载人飞船发射成功，某手机公司计划先在公司进行“抽奖免费送手机”优惠活动的内部测试，测试成功后将在全市进行推广。(1)公司内部测试的活动方案设置了第i(i∈N*)次抽奖中奖的名额为3i＋2，抽中的用户退出活动，同时补充新的用户，补充新用户的名额比上一次中奖用户的名额少2个。若某次抽奖，剩余用户均中奖，则活动结束。参加本次内部测试第一次抽奖的有15人，甲、乙均在其中。①甲在第一次抽奖时中奖和乙在第二次抽奖时中奖的概率分别是多少？②求甲参加抽奖活动的次数X的分布列和期望。(2)由于该活动方案在公司内部的测试非常顺利，现将在全市进行推广。报名参加第一次抽奖活动的有20万用户，该公司设置了第i(i∈N*)次抽奖中奖的概率为pi＝，每次中奖的用户退出活动，同时补充相同人数的新用户，抽奖活动共进行2n(n∈N*)次。已知用户丙参加了第一次抽奖，并在这2n次抽奖活动中中奖了，在此条件下，求证：用户丙参加抽奖活动次数的均值小于。【思路分析】　本题的难点是第(2)问，丙在第奇数次和第偶数次中奖的概率分别为和。丙中奖的概率用间接法比较简单，并且求中奖的分布列时要分奇数次与偶数次讨论。根据均值的定义列出均值的表达式，最后用错位相减法求值，可证明结论。注意本题的另一个难点是在丙中奖的条件下，属于条件概率。解　(1)①甲在第一次抽奖时中奖的概率为P1＝＝，乙在第二次抽奖时中奖的概率为P2＝×＝。②由题意知，X的所有可能取值为1,2,3，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝×＝，P(X＝3)＝××＝，故X的分布列为X123PE(X)＝1×＋2×＋3×＝。(2)证明：易知丙在第奇数次抽奖时中奖的概率为，在第偶数次抽奖时中奖的概率为。设丙参加抽奖活动的次数为Y，“丙中奖”为事件A，则P(A)＝1－n＝1－n，令m≤n，m∈N*，则丙在第2m－1次抽奖时中奖的概率P(Y＝2m－1)＝m－1×。在第2m次抽奖时中奖的概率P(Y＝2m)＝m－1××＝m－1×，即P(Y＝2m－1)＝P(Y＝2m)＝m－1×。在丙中奖的条件下，其第2m－1次，第2m次抽奖时中奖的概率为，则丙参加抽奖活动次数的均值为E(Y)＝。设S＝3＋7×＋11×2＋…＋(4n－1)×n－1，则S＝3×＋7×2＋…＋(4n－5)×n－1＋(4n－1)×n，所以S＝3＋4×－(4n－1)×n，所以S＝－·n－1，所以E(Y)＝＝＝－<，问题得证。本题以“神舟十二号载人飞船”为背景，考查古典概型的概率、离散型随机变量的分布列与期望，用错位相减法求和等知识。求解此类题的关键是活用公式，再结合放缩法等，即可破解。