第二篇专题二等差数列、等比数列 2022版高考数学复习讲义

  　　　等差数列、等比数列等差、等比数列的基本量计算1．(2021·烟台一模)某校数学兴趣小组设计了一种螺线，作法如下：在水平直线l上取长度为2的线段AB，并作等边三角形ABC，第一次画线：以点B为圆心、BA为半径逆时针画圆弧，交线段CB的延长线于点D；第二次画线：以点C为圆心、CD为半径逆时针画圆弧，交线段AC的延长线于点E；以此类推，得到的螺线如图所示，则下列说法正确的是(　　)A．第二次画线的圆弧长度为B．前三次画线的圆弧总长度为4πC．在螺线与直线l恰有4个交点(不含A点)时停止画线，此时螺线的总长度为30πD．在螺线与直线l恰有6个交点(不含A点)时停止画线，此时螺线的总长度为60π【解析】选D.第一次画线时，半径为BA＝2，圆心角为，所以圆弧长度为2×π＝π；第二次画线时，半径为CB＋BD＝4，圆心角为，所以圆弧长度为4×＝，A选项错误；第三次画线时，以A为圆心，AE为半径，AE＝6，圆心角为，所以圆弧长度为6×＝4π，所以前三次画线的圆弧总长度为8π，B选项错误；螺线与直线l恰有四个交点(不含A点)时，一共画了6段圆弧，这6段圆弧组成了一个首项是，公差d＝的等差数列，所以S6＝＝28π，C选项错误；当恰有6个交点时(不含A点)时，一共画了9段圆弧，S9＝＝60π，D选项正确．　(1)若初始图形为正方形，你能否作出对应的螺旋线？(2)其对应的弧线长度构成的数列，能否写出通项公式？(3)前n段弧长之和等于多少？【解析】(1)作法如下：如图所示，水平直线l上取长度为2的线段AB，并作正方形ABCD.第一次画线：以点B为圆心、BA为半径逆时针画圆弧，交线段CB的延长线于点E；第二次画线：以点C为圆心、CE为半径逆时针画圆弧，交线段DC的延长线于点F；第三次画线：以点D为圆心、DF为半径逆时针画圆弧，交线段AD的延长线于点H；…，以此类推，就可以得到螺线．(2)由作图过程可知，第一次画线时，半径为R1＝BA＝2，圆心角为，所以圆弧长度为l1＝×2＝π；第二次画线时，半径为R2＝CB＋BE＝2R1＝4，圆心角为，所以圆弧长度为l2＝×4＝2π；第三次画线时，半径为R3＝DC＋CF＝3R1＝6，圆心角为，所以圆弧长度为l3＝×6＝3π.…，第n次画线时，半径为Rn＝nR1＝2n，圆心角为，所以圆弧长度为ln＝×2n＝nπ.(3)前n段弧长构成一个等差数列，其前n段弧长之和Sn＝＝＝.2．(2020·全国卷Ⅱ)数列中，a1＝2，am＋n＝aman，若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，则k＝(　　)A．2    B．3    C．4    D．5【解析】选C.取m＝1，则an＋1＝a1an，又a1＝2，所以＝2，所以是等比数列，则an＝2n，所以ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝＝2k＋11－2k＋1＝215－25，所以k＝4.3.(2021·菏泽一模)在等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＋a4＝ln (a1＋a2＋a3).若a1＞1，则下列结论正确的是(　　)A．a1＜a2     B．a2＜a3C．a3＜a4     D．a1＜a4【思维通关】关键点整体代换：把“a1＋a2＋a3”看作整体，从而确定a4的取值范围；活用通项：根据通项公式，判断公比的取值范围障碍点无法构建关于a4的方程易错点忽视a1的符号【解析】选B.方法一(分类讨论法)当q＞0时，a1＋a2＋a3＋a4＞a1＋a2＋a3＞ln (a1＋a2＋a3)，不符合题意；当q＜－1时，a1＋a2＋a3＋a4＜0，a1＋a2＋a3＞a1，所以ln (a1＋a2＋a3)＞ln a1＞0，不符合题意；故－1＜q＜0，所以a2＜a3.方法二：(函数法)设t＝a1＋a2＋a3.由已知可得，所以a4＝ln t－t.记f(t)＝ln t－t，则f′(t)＝－1＝.当0<t<1时，f′(t)>0，函数单调递增；当t>1时，f′(t)<0，函数单调递减．所以f(t)≤f(1)＝ln 1－1＝－1.故a4<－1.又a1>1，所以q3＝<0，即q<0.所以a2<0，a3>0，a4<0.所以B正确，A，C，D都不正确．4．(2020·新高考全国Ⅰ卷)将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．【解析】由题意知数列{2n－1}为1，3，5，7，9，11，13，…，{3n－2}为1，4，7，10，13，16，19，…，所以数列为1，7，13，19，…，即an＝1＋6(n－1)＝6n－5，所以数列的前n项和为＝3n2－2n.答案：3n2－2n等差、等比数列基本运算的关注点　(1)基本量：在等差(比)数列中，首项a1和公差d(公比q)是两个基本元素；(2)解题思路：①设基本量a1和d(q)；②列、解方程(组)，把条件转化为关于a1和d(q)的方程(组)，然后求解，注意整体计算，减少计算量．等差、等比数列性质综合1.(2021·鹤岗模拟)已知等比数列的各项均为正数，且a3＝9，则log3a1＋log3a2＋log3a3＋log3a4＋log3a5＝(　　)A．    B．    C．10    D．15【思维通关】关键点根据等比数列的性质及对数运算化简障碍点对数运算性质：同底对数和转化为真数积的对数易错点幂的对数运算【解析】选C.因为等比数列的各项均为正数，且a3＝9，所以log3a1＋log3a2＋log3a3＋log3a4＋log3a5＝log3(a1·a2·a3·a4·a5)＝log3(a)＝log3(95)＝log3(310)＝10.2.已知两个等差数列和的前n项和分别为Sn和Tn，且＝，则使得为整数的正整数n的值可以为(　　)A．1    B．3    C．4    D．5【思维通关】关键点由等差中项的性质和等差数列的求和公式得出＝＝3＋，进而可得出n＋1为15的正约数障碍点无法建立与的关系易错点直接把3n＋39看作Sn计算【解析】选C.由等差数列的求和公式可得S2n－1＝＝(2n－1)an，T2n－1＝＝(2n－1)bn.所以＝，即＝＝＝＝3＋，则当n＝2，4，14时，为整数．3．(2021·新高考II卷)设正整数n＝a0·20＋a1·21＋…＋ak－1·2k－1＋ak·2k，其中ai∈{0，1}，记ω(n)＝a0＋a1＋…＋ak，则(　　)A．ω(2n)＝ω(n)B．ω(2n＋3)＝ω(n)＋1C．ω(8n＋5)＝ω(4n＋3)D．ω(2n－1)＝n【解析】选ACD.对于A选项，ω(n)＝a0＋a1＋…＋ak，2n＝a0·21＋a1·22＋…＋ak－1·2k＋ak·2k＋1，所以，ω(2n)＝a0＋a1＋…＋ak＝ω(n)，A选项正确；对于B选项，取n＝2，2n＋3＝7＝1·20＋1·21＋1·22，所以ω(7)＝3，而2＝0·20＋1·21，则ω(2)＝1，即ω(7)≠ω(2)＋1，B选项错误；对于C选项，8n＋5＝a0·23＋a1·24＋…＋ak·2k＋3＋5＝1·20＋1·22＋a0·23＋a1·24＋…＋ak·2k＋3，所以，ω(8n＋5)＝2＋a0＋a1＋…＋ak，4n＋3＝a0·22＋a1·23＋…＋ak·2k＋2＋3＝1·20＋1·21＋a0·22＋a1·23＋…＋ak·2k＋2所以，ω(4n＋3)＝2＋a0＋a1＋…＋ak，因此，ω(8n＋5)＝ω(4n＋3)，C选项正确；对于D选项，2n－1＝20＋21＋…＋2n－1，故ω(2n－1)＝n，D选项正确．等差、等比数列性质问题的求解策略　(1)抓住项与项之间的关系及项与序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解．(2)数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题．(3)利用数列性质进行运算时，要利用整体思想，可以减少计算量，此方法还适用于求函数值、求函数的解析式等问题．1．已知数列的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝an＋1－3，若Sk≥125，则k的最小值为(　　)A．5       B．6C．7       D．8【解析】选B.S1＝a1＝1，Sn＝an＋1－3＝Sn＋1－Sn－3，Sn＋1＋3＝2(Sn＋3)，S1＋3＝4，所以{Sn＋3}是等比数列，公比为2，所以Sn＋3＝4×2n－1＝2n＋1，Sn＝2n＋1－3，Sk＝2k＋1－3≥125，k≥6，所以k的最小值为6.2．1904年，瑞典数学家科赫构造了一种曲线．如图，取一个边长为1的正三角形，在每个边上以中间的为一边，向外侧凸出作一个正三角形，再把原来边上中间的擦掉，得到第2个图形，重复上面的步骤，得到第3个图形．这样无限地作下去，得到的图形的轮廓线称为科赫曲线．云层的边缘，山脉的轮廓，海岸线等自然界里的不规则曲线都可用“科赫曲线”的方式来研究，这门学科叫“分形几何学”，下列说法不正确的是(　　)A．第4个图形的边长为B．记第n个图形的边数为an，则an＋1＝4anC．记第n个图形的周长为bn，则bn＝3·D．记第n个图形的面积为S，则对任意的n∈N＋，存在正实数M，使得Sn<M【解析】选A.易知，各个图形的边长成等比数列，且q＝，因此可设边长为cn＝()n－1，则c4＝3＝，A错误；易知，各个图形的边数也成等比数列且q＝4，所以an＝3·4n－1，B正确；周长为bn＝ancn＝3×n－1，C正确；由极限思想易知，当n→＋∞时，图形无限接近于圆，故Sn<S圆＝M，D正确．3．(2021·淄博一模)已知在等比数列{an}中，首项a1＝2，公比q＞1，a2，a3是函数f(x)＝x3－6x2＋32x的两个极值点，则数列{an}的前9项和是______．【解析】函数f(x)＝x3－6x2＋32x，则f′(x)＝x2－12x＋32，因为a2，a3是函数f(x)＝x3－6x2＋32x的两个极值点，所以a2，a3是方程x2－12x＋32＝0的两个根，则，解得或，又在等比数列{an}中，公比q＞1，所以，所以q＝＝2，又首项a1＝2，所以S9＝＝1 022.答案：1 022