第二篇专题一第2课时三角恒等变换与解三角形 2022版高考数学复习讲义

  第2课时　三角恒等变换与解三角形利用三角恒等变换求值1．(2021·新高考I卷)若tan θ＝－2，则＝(　　)A．－    B．－    C．    D．【解析】选C.由tan θ＝－2，得sin2θ＝，sinθcos θ＝－，故＝＝ sin2θ＋sin θcos θ＝.2.若sin (－α)＝，则sin (＋2α)＝(　　)A．    B．    C．    D．【思维通关】关键点利用诱导公式对sin (＋2α)进行变形是关键障碍点公式变形和二倍角的应用易错点利用诱导公式将sin (＋2α)变形为cos (－2α)容易出错【解析】选D.由题意，根据诱导公式可得sin (＋2α)＝cos ＝cos (－2α)，又由余弦的倍角公式，可得cos (－2α)＝1－2sin2(－α)＝1－2×()2＝，即sin(＋2α)＝.若把本题条件改为sin (－α)＝，则2cos2(＋)－1＝(　　)A．    B．－    C．    D．－【解析】选A.2cos2(＋)－1＝cos(＋α)＝cos (－＋α)＝sin (－α)＝.3．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝，则cos 2α＝(　　)A．－    B．－C．    D．【解析】选A.方法一：因为sin α＋cos α＝，所以sin 2α＝－，又α为第二象限角且sin α＋cos α＝＞0，所以2kπ＋＜α＜2kπ＋(k∈Z)，所以4kπ＋π＜2α＜4kπ＋(k∈Z)，所以2α为第三象限角，所以cos 2α＝－＝－.方法二：因为sin α＋cos α＝，所以sin 2α＝－，因为α为第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以sin α－cos α＝＝＝＝，由解得所以cos 2α＝2cos2α－1＝－.4．(2021·长春二模)已知cos α＝，cos (α＋β)＝－，且α，β∈(0，)，则cos (α－β)＝(　　)A．－    B．    C．－    D．【解析】选D.因为α∈(0，)，所以2α∈(0，π).因为cos α＝，所以cos 2α＝2cos2α－1＝－，所以sin2α＝＝，而α，β∈(0，)，所以α＋β∈(0，π)，所以sin (α＋β)＝＝，所以cos (α－β)＝cos [2α－(α＋β)]＝cos 2αcos (α＋β)＋sin 2αsin (α＋β)＝(－)×(－)＋×＝.给值求值问题的求解思路(1)化简所求式子．(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手).(3)将已知条件代入所求式子，化简求值．利用三角恒等变换求角1．(2021·乌鲁木齐二调)已知tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且α，β∈(－，)，则α＋β＝(　　)A．        B．或－C．－或      D．－【解析】选D.由题意得tan α＋tan β＝－3＜0，tan αtan β＝4＞0，所以tan (α＋β)＝＝，且tan α＜0，tan β＜0.又由α，β∈(－，)，得α，β∈(－，0)，所以α＋β∈(－π，0)，所以α＋β＝－.2．设α∈(0，)，β∈(0，)，且tan α＝，则(　　)A．3α－β＝      B．2α－β＝C．3α＋β＝      D．2α＋β＝【解析】选B.由tan α＝，得＝，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，所以sin (α－β)＝cos α＝sin (－α).因为α∈(0，)，β∈(0，)，所以α－β∈(－，)，－α∈(0，)，由sin (α－β)＝sin (－α)，得α－β＝－α，所以2α－β＝.3.(2021·银川模拟)已知cos (2α－β)＝－，sin (α－2β)＝，0＜β＜＜α＜，则α＋β＝________．【思维通关】关键点角α＋β用(2α－β)和(α－2β)表示障碍点根据0＜β＜＜α＜判断2α－β及α－2β的范围易错点利用求α＋β的正弦值来判断角α＋β的值容易出错【解析】因为0<β<<α<，所以<2α<π，－<－β<0所以<2α－β<π.又因为cos (2α－β)＝－，所以sin (2α－β)＝.因为0<β<<α<，所以－<－2β<0，所以－<α－2β<.又因为sin (α－2β)＝，所以cos (α－2β)＝.所以cos (α＋β)＝cos [(2α－β)－(α－2β)]＝cos (2α－β)cos (α－2β)＋sin (2α－β)sin (α－2β)＝－×＋×＝.又因为＜α＋β＜，所以α＋β＝.答案：4．已知cos α＝，cos (α－β)＝，且0<β<α<，则β＝________．【解析】因为0<β<α<，所以0<α－β<.又因为cos (α－β)＝，所以sin (α－β)＝＝.因为cosα＝，0<α<，所以sin α＝.所以cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos α·cos (α－β)＋sin αsin (α－β)＝×＋×＝.因为0<β<，所以β＝.答案：　已知三角函数值求角的解题步骤(1)根据条件确定所求角的范围．(2)确定待求角的某种三角函数值，为防止增解，最好选取在上述范围内单调的三角函数．(3)结合三角函数值及角的范围求角．利用正弦定理、余弦定理解三角形　1.(2021·洛阳三模)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若c cos B＋b cos C＝，且b2＋c2－a2＝bc，则三角形ABC的外接圆半径的长为　　(　　)A．    B．    C．2    D．1【思维通关】关键点余弦定理的应用障碍点容易忘记利用公式＝2R求半径易错点根据b2＋c2－a2＝bc求角A【解析】选D.把余弦定理代入c cos B＋b cos C＝，得a＝，由b2＋c2－a2＝bc得2bc cos A＝bc，所以cos A＝，所以A＝，所以＝＝2R.所以R＝1.2.(2021·朝阳二模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝2A，a＝1，b＝，则c＝(　　)A．1或2       B．2C．        D．1【思维通关】关键点正弦定理、余弦定理的应用障碍点求得c＝2或c＝1未检验c＝1是否符合题意易错点求得cos A后求角A容易出错【解析】选B.因为B＝2A，a＝1，b＝，所以由正弦定理＝，得＝＝＝，所以cos A＝.又由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A，即1＝3＋c2－3c，解得c＝2或c＝1(经检验不合题意，舍去)，所以c＝2.3．(2021·全国甲卷)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A′，B′，C′满足∠A′C′B′＝45°，∠A′B′C′＝60°由C点测得B点的仰角为15°，BB′与CC′的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A′B′C′的高度差AA′－CC′约为(≈1.732)(　　)A．346    B．373    C．446    D．473【解析】选B.作CM⊥BB′，BN⊥AA′，CQ⊥AA′，其中M，N，Q为相应的垂足，由题意得，BM＝100，∠BCM＝15°，∠ABN＝45°，即CM＝＝B′C′，所以BN＝B′A′＝＝＝＝100＋100≈273，所以AN＝BN＝273，AQ＝AA′－CC′＝AN＋QN＝AN＋(BB′－CC′)＝273＋100＝373.4.在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且b cos C＝3a cos B－c cos B，·＝2，则△ABC的面积为________．【思维通关】关键点正弦定理、三角恒等变换公式及向量数量积公式的应用障碍点由·转化为边的关系易错点不能正确逆用三角恒等变换公式【解析】因为b cos C＝3a cos B－c cos B，由正弦定理得sin B cos C＝3sin A cos B－sin C cos B，即sin B cos C＋sin C cos B＝3sin A cos B，所以sin (B＋C)＝3sin A cos B.又sin (B＋C)＝sin(π－A)＝sin A，所以sin A＝3sin A cos B，又sin A≠0，解得cos B＝，所以sin B＝＝＝.由·＝2，可得ca cos B＝2，解得ac＝6.所以S△ABC＝ac·sin B＝×6×＝2.答案：2　　　【加练备选】 1.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2b cos B＝a cos C＋c cos A，则B＝________．【解析】方法一：由2b cos B＝a cos C＋c cos A及正弦定理，得2sin B cos B＝sin A cos C＋sin C cos A．所以2sin B cos B＝sin (A＋C).又A＋B＋C＝π，所以A＋C＝π－B.所以2sin B cos B＝sin(π－B)＝sin B.又sin B≠0，所以cos B＝.所以B＝.方法二：因为在△ABC中，a cos C＋c cos A＝b，所以条件等式变为2b cos B＝b，所以cos B＝.又0＜B＜π，所以B＝.答案：2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则b＝______．【解析】在△ABC中，因为cos A＝，cos C＝，所以sin A＝，sin C＝，所以sin B＝sin (A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C＝×＋×＝.又因为＝，所以b＝＝＝.答案：1．正、余弦定理的适用条件(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理．(2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理．注意：应用定理要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”．2．三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A，一般是已知哪一个角就使用含该角的公式．(2)与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化．1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin A－b sin B＝4c sin C，cos A＝－，则＝(　　)A．6    B．5    C．4    D．3【解析】选A.因为a sin A－b sin B＝4c sin C，所以由正弦定理得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2.由余弦定理得cos A＝＝＝＝－，所以＝6.2．(2021·晋城二模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0，a＝2，c＝，则C＝(　　)A．    B．    C．    D．【解析】选B.因为a＝2，c＝，所以由正弦定理可知，＝，故sin A＝sin C．又B＝π－(A＋C)，故sin B＋sin A(sin C－cos C)＝sin (A＋C)＋sin A sin C－sin A cos C＝sin A cos C＋cos A sin C＋sin A sin C－sin A cos C＝(sin A＋cos A)sin C＝0.又C为△ABC的内角，故sin C≠0，则sin A＋cos A＝0，即tan A＝－1.又A∈(0，π)，所以A＝.从而sin C＝sin A＝×＝.由A＝知C为锐角，故C＝.3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b sin C＋c sin B＝4a sin B sin C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________．【解析】由b sin C＋c sin B＝4a sin B sin C，得sin B sin C＋sin C sin B＝4sin A sin B sin C，因为sin B sin C≠0，所以sin A＝.因为b2＋c2－a2＝8，cos A＝，所以bc＝，所以S△ABC＝bc sin A＝××＝.答案：