第一篇考点三平面向量 2022版高考数学复习讲义

  考点三　平面向量　1.平面向量的线性运算；2．平面向量的数量积计算；3．平面向量与平面几何的交汇问题等．1．(2020·新高考全国Ⅱ卷)在△ABC中，D是AB边上的中点，则＝(　　)A．2＋    B．－2C．2－    D．＋2【解析】选C.＝＋＝＋2＝＋2＝2－.2．已知A，B，C三点共线(该直线不过原点O)，且＝m＋2n(m＞0，n＞0)，则＋的最小值为(　　)A．10    B．9    C．8    D．4【解析】选C.因为A，B，C三点共线(该直线不过原点O)，且＝m＋2n(m＞0，n＞0)，所以m＋2n＝1，所以＋＝(＋)(m＋2n)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即m＝，n＝时等号成立．3．(2021·淄博一模)已知等边三角形ABC的边长为6，点P满足＋2－＝0，则||＝(　　)A．    B．2    C．3    D．4【解析】选C.依题意＋2－＝0，－＝－2，＝－2，＝2，设D是AC中点，连接BD，由于三角形ABC是等边三角形，所以BD⊥AD，∠ABD＝∠CBD＝30°，由于＝2，所以＝，所以四边形BDAP是矩形，所以∠ABP＝90°－30°＝60°，在Rt△BAP中，AP＝AB·sin60°＝6×＝3，即||＝3.　该题中，若点P满足＋2＋＝0呢？【解析】如图，取AC的中点M，连接BM，则＋＝2.由已知可得2＋2＝0，即＋＝0.所以点P为线段BM的中点．在直角三角形PAM中，PM＝BM＝××6＝.又AM＝3，所以PA＝＝＝，即||＝.4．(2020·新高考全国Ⅰ卷)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则·的取值范围是(　　)A．(－2，6)    B．(－6，2)C．(－2，4)    D．(－4，6)【解析】选A.设P(x，y)，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，＝(x，y)，＝(2，0)，所以·＝2x，由题意可得点C的横坐标为3，点F的横坐标为－1，所以－1<x<3，所以－2<·<6.5．(多选题)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，点P1(cos α，sin α)，P2(cos β，－sin β)，P3(cos (α＋β)，sin (α＋β))，A(1，0)，则(　　)A．||＝||    B．||＝||C．·＝·D．·＝·【解析】选AC.对于A：||＝＝1， ||＝＝1，所以A对；因为||＝＝，||＝＝，所以B错；因为·＝(1，0)·(cos (α＋β)，sin (α＋β))＝cos (α＋β)，·＝cos αcos β－sin αsin β＝cos (α＋β)，·＝·，所以C对；而·＝(1，0)·(cos α，sin α)＝cos α，·＝(cos β，－sin β)·(cos (α＋β)，sin(α＋β))＝cos βcos (α＋β)－sin βsin (α＋β)＝cos (2β＋α)，所以D错．6．(2021·南京二模)如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，E，F分别是BC，CD的中点，若线段EF上有一点M满足＝m＋(m∈R)，则m＝________，·＝________．【解析】法一：设＝λ，在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，所以＝＋＋＝＋＋λ＝＋＋λ(－)＝(1－λ)＋.又＝m＋，所以1－λ＝m，＋λ＝，所以λ＝，m＝，所以＝＋，所以·＝·(－)＝2－2＋·.因为在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，所以·＝×4－×4＋×2×2×cos 60°＝－.法二：设AM与BD交于点P，则＝＝m＋，因为B，P，D三点共线，所以m＋＝1，所以m＝，所以＝＋，所以·＝·(－)＝2－2＋·.因为在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，所以·＝×4－×4＋×2×2×cos 60°＝－.答案：　－7．骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱．如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A(前轮)、圆D(后轮)的半径均为，△ABE，△BEC，△ECD均是边长为4的等边三角形．设点P为后轮上的一点，则在骑该自行车的过程中，·的最大值为(　　)A．18    B．24C．36    D．48【解题指南】以AD为x轴，E为坐标原点建立平面直角坐标系，由圆D的方程可设P(4＋cos α，sin α)，写出向量的坐标，由数量积的坐标表示求出数量积，利用三角函数知识得最大值．【解析】选C.骑行过程中，A，B，C，D，E相对不动，只有P点绕D点做圆周运动．如图，以AD为x轴，E为坐标原点建立平面直角坐标系，由题意得A(－4，0)，B(－2，2)，C(2，2)，圆D的方程为(x－4)2＋y2＝3，设P(4＋cos α，sin α)，则＝(6，2)，＝(6＋cos α，sin α－2)，·＝6(6＋cos α)＋2(sin α－2)＝6cos α＋6sin α＋24＝12(sin α＋cos α)＋24＝12sin (α＋)＋24，易知当sin (α＋)＝1时，·取得最大值36.8．正六角星是我们生活中比较常见的图形，很多吊饰品中就出现了正六角星图案(如图一).正六角星可由两个正三角形一上一下连锁组成(如图二).如图三所示的正六角星的中心为O，点A，B，C是该正六角星的顶点，若||＝2，则·＝________．【解题指南】根据正六角星的性质，结合平面向量加法的几何意义、平面向量数量积的定义和运算性质进行求解即可．【解析】延长CO至正六角星一个顶点D，如图所示：由题意可知∠AOB＝，则cos ∠AOB＝－，根据正六角星的性质和平面向量加法的几何意义可知：＝2＋，所以＝－＝－(2＋)，则·＝·(－2－)＝－2×4－2×2×(－)＝－6.答案：－61．技法点拨平面向量运算的基本方法(1)基底化：以两个不共线向量为基底，对目标向量进行线性表示，转化为基底运算求解；(2)坐标化：根据已知条件，建立平面直角坐标系，转化为坐标运算求解．(3)图形化：根据向量的几何意义，将向量运算转化到平面图形中，借助平面几何的知识求解．2．易错提醒(1)向量夹角与向量方向有关，注意其与三角形内角的关系；(2)处理两向量共线问题时，不要忽视零向量．