第二篇专题六第2课时导数与零点的综合问题 2022版高考数学复习讲义

  第二篇 专题六第2课时　导数与零点的综合问题利用导数研究函数的零点(方程的根)　【典例1】(2021·新高考II卷)已知函数f(x)＝(x－1)ex－ax2＋b.(1)讨论f(x)的单调性；(2)从下面两个条件中选一个，证明：f(x)有且只有一个零点．①＜a≤，b＞2a；　　②0＜a＜，b≤2a.【思维点拨】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论确定函数的单调性．(2)由题意结合(1)中函数的单调性和函数零点存在定理即可证得题中的结论．【规范解答】(1)由函数的解析式可得：f′(x)＝x(ex－2a).当a≤0时，若x∈(－∞，0)，则f′(x)＜0，f(x)单调递减，1分若x∈(0，＋∞)，则f′(x)＞0，f(x)单调递增； 2分当0＜a＜时，若x∈(－∞，ln (2a))，则f′(x)＞0，f(x)单调递增，3分若x∈(ln (2a)，0)，则f′(x)＜0，f(x)单调递减，若x∈(0，＋∞)，则f′(x)＞0，f(x)单调递增； 4分当a＝时，f′(x)≥0，f(x)在R上单调递增； 5分当a＞时，若x∈(－∞，0)，则f′(x)＞0，f(x)单调递增，若x∈(0，ln (2a))，则f′(x)＜0，f(x)单调递减，若x∈(ln (2a)，＋∞)，则f′(x)＞0，f(x)单调递增．6分(2)若选择条件①：由于＜a≤，故1<2a≤e2，则b＞2a＞1，f(0)＝b－1＞0，由(1)可知，f(x)在(－∞，0)上单调递增．(0，ln (2a))上单调递减，(ln (2a)，＋∞)上单调递增，而f(－)＝(－－1)e－＜0， 8分所以f(x)在(－，0]上有一个零点．f(ln (2a))＝2a[ln (2a)－1]－a[ln (2a)]2＋b＞2a[ln (2a)－1]－a[ln (2a)]2＋2a＝2a ln (2a)－a[ln (2a)]2＝a ln (2a)[2－ln (2a)]，由于1＜2a≤e2，故a ln (2a)[2－ln (2a)]≥0， 11分结合函数的单调性可知，函数在区间(0，＋∞)上没有零点．综上可得，题中的结论成立． 12分若选择条件②：由于0＜a＜，故0＜2a＜1，则f(0)＝b－1≤2a－1＜0.当b≥0时，e2＞4，4a＜2，f(2)＝e2－4a＋b＞0，而函数在区间(0，＋∞)上单调递增，故函数在区间(0，＋∞)上有一个零点；  7分当b＜0时，构造函数H(x)＝ex－x－1，则H′(x)＝ex－1，当x∈(－∞，0)时，H′(x)＜0，H(x)单调递减，当x∈(0，＋∞)时，H′(x)＞0，H(x)单调递增，注意到H(0)＝0，故H(x)≥0恒成立，从而有ex≥x＋1，此时，f(x)＝(x－1)ex－ax2＋b≥(x－1)(x＋1)－ax2＋b＝(1－a)x2＋(b－1)，当x＞时，(1－a)x2＋(b－1)＞0，取x0＝＋1，则f(x0)＞0，即f(0)＜0，f＞0，而函数在区间(0，＋∞)上单调递增，故函数在区间(0，＋∞)上有一个零点． 11分f(ln (2a))＝2a[ln (2a)－1]－a[ln (2a)]2＋b≤2a[ln (2a)－1]－a[ln (2a)]2＋2a＝2a ln (2a)－a[ln (2a)]2＝a ln (2a)[2－ln (2a)]，由于0＜2a＜1，故a ln (2a)[2－ln (2a)]＜0，结合函数的单调性可知，函数在区间(－∞，0)上没有零点．综上可得，题中的结论成立．  12分易错点分类讨论不全或重复障碍点确定f(ln (2a))值的符号，不会应用放缩法或放缩不合理．学科素养逻辑推理、数学运算评分细则(1)求导正确得1分，讨论四种情况各得1分，其中0＜a＜再加1分；(2)选①得出f(－)＜0得2分，得出f(ln (2a))≥0得3分，得出结论得1分．选②当b≥0时，得出结论得1分；当b＜0时，得出函数在区间(0，＋∞)上有一个零点得4分，得出函数在区间(－∞，0)上没有零点得1分．利用导数求函数的零点(1)构建函数g(x)(要求g′(x)易求，g′(x)＝0可解)，转化确定g(x)的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出g(x)的图象草图，数形结合求解．(2)利用零点存在性定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数．　设函数f(x)＝e2x－a ln x.(1)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数；(2)证明：当a＞0时，f(x)≥2a＋a ln .【解析】(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2e2x－(x＞0).当a≤0时，f′(x)＞0，f′(x)没有零点．当a＞0时，设u(x)＝e2x，v(x)＝－，因为u(x)＝e2x在(0，＋∞)上单调递增，v(x)＝－在(0，＋∞)上单调递增，所以f′(x)在(0，＋∞)上单调递增．又f′(a)＞0，当b满足0＜b＜且b＜时，f′(b)＜0(讨论a≥1或a＜1来检验)，①当a≥1时，则0<b<，f′(b)＝2e2b－<2e－4a＝2(e－2a)<0；②当0<a<1时，则0<b<，f′(b)＝2e2b－<2e－4<0.故当a＞0时，f′(x)存在唯一零点．(2)由(1)，可设f′(x)在(0，＋∞)上的唯一零点为x0，当x∈(0，x0)时，f′(x)＜0；当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)＞0.故f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，所以当x＝x0时，f(x)取得最小值，最小值为f(x0).由于2e2x0－＝0，所以f(x0)＝＋2ax0＋a ln ≥2a＋a ln .当且仅当x0＝时取等号．故当a＞0时，f(x)≥2a＋a ln .根据函数零点存在情况求参数取值范围　【典例2】函数f(x)＝ax＋x ln x在x＝1处取得极值．(1)求f(x)的单调区间；(2)若y＝f(x)－m－1在定义域内有两个不同的零点，求实数m的取值范围．【思维点拨】(1)由f(x)在x＝1处取得极值可求出a的值，然后再判断f(x)的单调区间．(2)y＝f(x)－m－1在定义域内有两个不同的零点，可转化为两个函数图象有两个交点．【规范解答】(1)由题意知，f′(x)＝a＋ln x＋1(x>0)，f′(1)＝a＋1＝0，解得a＝－1，当a＝－1时，f(x)＝－x＋x ln x，即f′(x)＝ln x，令f′(x)>0，解得x>1；令f′(x)<0，解得0<x<1.所以f(x)在x＝1处取得极小值，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0，1).(2)y＝f(x)－m－1在(0，＋∞)上有两个不同的零点，可转化为f(x)＝m＋1在(0，＋∞)上有两个不同的根，也可转化为y＝f(x)与y＝m＋1的图象有两个不同的交点，由(1)知，f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，f(x)min＝f(1)＝－1，由题意得，m＋1>－1，即m>－2，①当0<x<1时，f(x)＝x(－1＋ln x)<0；当x>0且x→0时，f(x)→0；当x→＋∞时，显然f(x)→＋∞.如图，由图象可知，m＋1<0，即m<－1，②由①②可得－2<m<－1.故实数m的取值范围为(－2，－1).1．根据函数零点个数确定参数取值范围的基本思路(1)根据函数的单调性、极值、函数值的变化趋势大致得出函数y＝f(x)的图象；(2)根据零点个数确定函数y＝f(x)的图象交点的个数，得出参数满足的不等式；(3)解不等式得参数的取值范围．2．根据函数零点个数确定参数取值范围的技巧把f(x)＝0化为g(x)＝h(x)，(f(x)＝g(x)－h(x))据f(x)零点个数确定函数y＝g(x)，y＝h(x)图象的交点个数，得出参数满足的不等式，求得参数的取值范围．　(2021·张家口模拟)已知函数f(x)＝(eax－1)ln x(a>0).(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)若关于x的方程f(x)＝ax2－ax在[1，＋∞)上恰有三个不同的实数解，求a的取值范围．【解析】(1)当a＝1时，f(x)＝(ex－1)ln x，所以f(1)＝0.又f′(x)＝ex ln x＋，所以切线的斜率k＝f′(1)＝e－1，则切线方程为y＝(e－1)(x－1).该切线与x轴交于点A(1，0)，与y轴交于点B(0，1－e)，所以围成的三角形的面积为×1×(e－1)＝.(2)显然x＝1是方程f(x)＝ax2－ax的根，当x>0且x≠1时，方程f(x)＝ax2－ax等价于＝，则＝.记g(x)＝(x>0)，则g′(x)＝＝，令h(x)＝(x－1)ex＋1(x>0)，则h′(x)＝xex>0，故h(x)在(0，＋∞)上单调递增，故h(x)>h(0)＝0，即g′(x)>0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，又方程等价于g(ax)＝g(ln x)，故只需ax＝ln x在(1，＋∞)上有两个不同的根．a＝，令k(x)＝，则k′(x)＝，当x∈(1，e)时，k′(x)>0；当x∈(e，＋∞)时，k′(x)<0.所以k(x)在(1，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，故k(x)max＝k(e)＝.又k(1)＝0，可得a∈.利用导数求解最优化问题【典例3】某公司为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每年投入广告费t百万元，可增加销售额约为(－t2＋7t)百万元．(1)若该公司将一年的广告费控制在4百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此增加的收益最大？(2)现该公司准备共投入5百万元，分别用于广告促销和技术改造，经预测，每投入技术改造费x(1≤x≤5)百万元，可增加的销售额约为(x2＋4ln x)百万元，请设计一个资金分配方案，使该公司由此增加的收益最大．(注：收益＝销售额－投入，这里除了广告费和技术改造费，不考虑其他的投入)【解析】(1)设投入t百万元的广告费后增加的收益为f(t)百万元，则f(t)＝(－t2＋7t)－t＝－t2＋6t＝－(t－3)2＋9(0≤t≤4)，所以当t＝3时，f(t)取得最大值9，即投入3百万元的广告费时，该公司由此增加的收益最大．(2)用于技术改造的资金为x百万元，则用于广告促销的资金为(5－x)百万元，设由此增加的收益是g(x)百万元．则g(x)＝x2＋4ln x＋[－(5－x)2＋7(5－x)]－5＝－x2＋3x＋4ln x＋5.g′(x)＝－x＋3＋＝－＝－，1≤x≤5.则当1≤x<4时，g′(x)>0；当4<x≤5时，g′(x)<0；所以当x＝4时，g(x)取得最大值．即4百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，该公司由此增加的收益最大．　利用导数解决生活中优化问题的一般步骤(1)建模：分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x).(2)求导：求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0.(3)求最值：比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．(4)结论：回归实际问题作答．　某地环保部门跟踪调查一种有害昆虫的数量．根据调查数据，该昆虫的数量y(万只)与时间x(年)(其中x∈N*)的关系为y＝2ex.为有效控制有害昆虫数量、保护生态环境，环保部门通过实时监控比值M＝(其中a为常数，且a>0)来进行生态环境分析．(1)当a＝1时，求比值M取最小值时x的值；(2)经过调查，环保部门发现：当比值M不超过e4时不需要进行环境防护．为确保恰好3年不需要进行保护，求实数a的取值范围．(e为自然对数的底数，e＝2.718 28…)【解析】(1)当a＝1时，M＝(x≥1，x∈N*)，所以M′＝列表得：x[1，2)2(2，＋∞)f′(x)－0＋f(x)↘极小值↗所以M在上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以M在x＝2时取最小值．(2)因为M′＝(a>0)，根据(1)知：M在[1，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，因为确保恰好3年不需要进行保护，所以解得<a≤.答：实数a的取值范围为.