第一篇考点二复数 2022版高考数学复习讲义

  考点二　复　　数　1.复数的概念与复数的几何意义；2．复数的基本运算与复数概念、几何意义等交汇考查．1．(2021·宣城二模)若复数(4＋ai)(1＋i)(i为虚数单位，a∈R)为纯虚数，则a的值为(　　)A．－4    B．3    C．4    D．5【解析】选C.因为(4＋ai)(1＋i)＝4＋ai＋4i＋ai2＝4－a＋(a＋4)i，所以则a＝4.　该题中：(1)若复数(4＋ai)(1＋i)为实数呢？(2)若复数(4＋ai)(1＋i)为虚数呢？【解析】(1)若复数(4＋ai)(1＋i)为实数，则有a＋4＝0，解得a＝－4.(2)若复数(4＋ai)(1＋i)为虚数，则a＋4≠0，解得a≠－4.2．(2021·新高考Ⅰ卷)已知z＝2－i，则z(＋i)＝(　　)A．6－2i    B．4－2i    C．6＋2i    D．4＋2i【解析】选C.z＝2－i，＝2＋i，＋i＝2＋2i，z(＋i)＝(2－i)(2＋2i)＝6＋2i.3．若复数z＝的共轭复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的值可以是(　　)A．1    B．0    C．－1    D．－2【解析】选D.依题意z＝＝，＝，由于在复平面内对应的点在第二象限，所以解得a＜－1，故a的值可以是－2.　该题中：(1)若复数z在复平面内对应的点在第二象限，求实数a的取值范围；(2)复数z在复平面内对应的点能否在直线y＝x上？若能，求出a的值；若不能，说明理由．【解析】由原题可知z＝.(1)若复数z在复平面内对应的点在第二象限，则解得－1＜a＜1.(2)若复数z在复平面内对应的点在直线y＝x上，则＝，显然该方程无解．所以复数z在复平面内对应的点不可能在直线y＝x上.4．(2021·烟台一模)若复数z＝，则|z|＝(　　)A．    B．2    C．    D．【解析】选D.z＝＝＝＝2＋i，故|z|＝＝.5．(2021·新高考Ⅱ卷)在复平面内，复数对应的点位于(　　)A．第一象限    B．第二象限C．第三象限    D．第四象限【解析】选A.因为＝＝＝＋i，所以复数对应的点位于第一象限．6．(2021·潍坊一模)已知复数z＝cos θ＋isin θ(i为虚数单位)，则|z－1|的最大值为(　　)A．1    B．    C．2    D．4【解析】选C.方法一：代数法由题意知：|z－1|＝|cos θ－1＋isin θ|＝＝，所以当cos θ＝－1时，|z－1|的最大值为2.方法二：数形结合法因为|z|＝＝1，所以复平面内与复数z对应的点Z在以坐标原点为圆心，半径r＝1的圆上，如图所示．取点A(1，0).则|z－1|＝|ZA|.显然，|AO|＝1.所以|ZA|的最大值为|AO|＋r＝2.　(1)该题中，|z－(1＋i)|的最大值与最小值呢？(2)该题中，|z＋2i|的最大值与最小值呢？【解析】(1)记z1＝1＋i，在复平面内与复数z1对应的点为B(1，1)，由原题知，复平面内与复数z对应的点Z在以坐标原点为圆心，半径r＝1的圆上，则|z－(1＋i)|＝|ZB|.显然|BO|＝＝.所以|ZB|的最小值为|BO|－r＝－1；|ZB|的最大值为|BO|＋r＝＋1.(2)记z2＝－2i，在复平面内与复数z2对应的点为C(0，－2)，复平面内与复数z对应的点Z在以坐标原点为圆心，半径r＝1的圆上，则|z＋2i|＝|z－(－2i)|＝|ZC|.显然|CO|＝2.所以|ZC|的最小值为|CO|－r＝2－1＝1；|ZC|的最大值为|CO|＋r＝2＋1＝3.7．(多选题)已知复数z＝，其中i是虚数单位，则下列结论正确的是(　　)A．z的模等于13B．z在复平面内对应的点位于第四象限C．z的共轭复数为－2－3iD．若z(m＋4i)是纯虚数，则m＝－6【解析】选BD.因为z＝＝2－3i，所以|z|＝，因此A项错误；复数z在复平面内对应的点为(2，－3)，位于第四象限，B项正确；z的共轭复数＝2＋3i，C项错误；因为z(m＋4i)＝(2－3i)(m＋4i)＝(2m＋12)＋(8－3m)i为纯虚数，所以2m＋12＝0，8－3m≠0，得m＝－6，故D项正确．8．若虚数z同时满足下列两个条件：①z＋是实数；②z＋3的实部与虚部互为相反数．则z＝________，|z|＝________．【解析】设z＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，z＋＝a＋bi＋＝a＋bi＋＝＋i.因为z＋是实数，所以b－＝0.又因为b≠0，所以a2＋b2＝5.①又z＋3＝(a＋3)＋bi的实部与虚部互为相反数，所以a＋3＋b＝0.②由①②解得或故存在虚数z，z＝－1－2i或z＝－2－i，|z|＝.答案：－1－2i或－2－i　1．技法点拨复数相关概念与运算技巧(1)实数化：与复数的基本概念和性质有关的问题，抓住复数的实部和虚部，即可把复数问题转化为实数问题求解；(2)法则化：复数的乘法实质就是多项式的乘法，然后根据虚数单位i的幂值，合并同类项即可；复数的除法的本质就是分母实数化，利用复数与其共轭复数之积等于模的平方．(3)几何化：求解复数模的最值问题，利用复数的几何意义转化为平面图形中的最值问题求解．2．易错提醒(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的虚部是实数b；注意区分虚数与纯虚数．如小题1.(2)求复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，不要忘记开方．如小题4.