第三篇第2讲思想方法 2022版高考数学复习讲义



第三篇 第2讲　思想方法
(一)　函数与方程
题型特点
常用方法
函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立各变量之间固有的函数关系，通过函数形式，利用函数的有关性质，使问题得到解决．
方程思想的实质就是将所求的量设成未知数，根据题中的等量关系，列方程(组)，通过解方程(组)或者运用方程的性质进行分析、转化问题，以求得问题的解决．
函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的，函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求解，研究运动中的等量关系．
一、函数与方程思想在不等式中的应用
【典例1】已知函数f(x)＝ax2＋x＋2－4a(a≠0)，且对任意的x∈R，f(x)≥2x恒成立．
(1)若g(x)＝，x>0，求函数g(x)的最小值；
(2)若对任意的x∈[－1，1]，不等式f(x＋t)0，
又x＋≥2＝1(当且仅当＝，即x＝2时取等号)，
所以g(x)min＝1＋1＝2.
(2)由f(x＋t)mf(x)成立，求实数m的取值范围．
【解析】(1)因为f(x)＝x2－3x，Sn＝f(n)，所以Sn＝n2－3n，
当n≥2时，Sn－1＝(n－1)2－3(n－1)，an＝Sn－Sn－1＝2n－4，
当n＝1时，a1＝S1＝－2，
也满足an＝2n－4，
故an＝2n－4.
(2)因为an＝2n－4，bn＝，
所以bn＝＝，b1＝－0，
故T1＝T2，为Tn的最小值，Tn的最小值为－，
因为对于任意n∈N*，总存在x∈[4，6]，
使得Tn>mf(x)成立，
所以－>[mf(x)]min，
因为x∈[4，6]，f(x)＝x2－3x＝－，
所以f(x)∈[4，18]，
当m≥0时，显然－>[mf(x)]min不成立；
当m[mf(x)]min，即－>18m，
解得m