第二篇专题三第2课时立体几何中的向量方法 2022版高考数学复习讲义

  第2课时　立体几何中的向量方法直线与平面所成的角【典例1】如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，平面PBD⊥平面PAC，AD∥BC，BC＝2AD＝2PA＝4，AB＝CD＝.求直线CD与平面PBD所成角的正弦值．【思维点拨】方法一作角：找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；计算：要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．方法二建系：通过建立空间直角坐标系，求向量坐标；计算：代入公式求解．【解析】方法一：设AC∩BD＝O，连接PO，作AE⊥BC于E点．在△ABE中可得AE＝3，又CE＝3，所以AC＝3，由已知平面PBD⊥平面PAC，且平面PBD∩平面PAC＝PO，过C作PO延长线的垂线，垂足为H，则CH⊥平面PBD，故∠CDH即为所求的角．由于OC＝2OA＝2，OP＝，由等面积可得：CH＝＝，所以sin ∠CDH＝＝·＝，所以直线CD与平面PBD所成角的正弦值为.方法二：作AE⊥AD交BC于点E，因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AD，PA⊥AE，如图建立空间直角坐标系，由题意可得P(0，0，2)，D(0，2，0)，B(3，－1，0)，C(3，3，0)，所以＝(0，2，－2)，＝(－3，3，0)，＝(－3，－1，0)，设平面PBD的法向量为n＝(x，y，z)，则由 可得：，取x＝1，得n＝(1，1，1)，所以sin θ＝|cos 〈n，〉|＝＝＝，所以直线CD与平面PBD所成角的正弦值为.利用向量法求线面角的方法　(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的角(夹角为钝角时取其补角)，取其余角就是斜线和平面所成的角．　(2020·新高考全国Ⅰ卷)如图，四棱锥P­ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD，设平面PAD与平面PBC的交线为l.(1)证明：l⊥平面PDC；(2)已知PD＝AD＝1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．【解析】(1)因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥AD.又底面ABCD为正方形，所以AD⊥DC，又DC∩PD＝D，DC，PD⊂平面PDC，所以AD⊥平面PDC.因为AD∥BC，AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AD∥平面PBC，由平面PAD与平面PBC的交线为l，可得l∥AD.因此l⊥平面PDC.(2)以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．则D(0，0，0)，C(0，1，0)，B(1，1，0)，P(0，0，1)，＝(0，1，0)，＝(1，1，－1).由(1)可设Q(a，0，1)，则＝(a，0，1)，设n＝(x，y，z)是平面QCD的一个法向量，则即可取n＝(－1，0，a).所以cos n，＝＝.设PB与平面QCD所成角为θ，则sin θ＝×＝.因为≤，当且仅当a＝1时等号成立，所以PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为.平面与平面所成的角　【典例2】(2021·新高考全国Ⅰ卷)如图，在三棱锥A­BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O是BD的中点．(1)证明：OA⊥CD；(2)若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE＝2EA，且二面角E­BC­D的大小为45°，求三棱锥A­BCD的体积．【思维点拨】(1)证明OA⊥平面BCD(2)第一步建系，写出各点坐标；第二步求平面EBC的法向量与平面BCD的法向量；第三步结合二面角大小求出OA的长及△ABD的面积；第四步利用体积公式求解体积．【规范解答】(1)因为AB＝AD，O为BD中点，所以AO⊥BD，.……2分因为AO⊂平面ABD，平面ABD⊥平面BCD且平面ABD∩平面BCD＝BD，所以AO⊥平面BCD，又CD⊂平面BCD，所以AO⊥CD. .……4分(2)以O为坐标原点，OD为y轴，OA为z轴，垂直OD且过O的直线为x轴，设C，D(0，1，0)，B(0，－1，0)，A(0，0，m)，E，.……5分因为＝，＝(，，0)，设n1＝(x1，y1，z1)为面EBC法向量，所以，所以，令y1＝1，所以z1＝－，x1＝－，所以n1＝，.……7分平面BCD法向量为＝(0，0，m)，cos 〈n1，〉＝＝，解得m＝1，.……9分所以OA＝1，所以S△ABD＝×BD×OA＝×2×1＝1，VA­BCD＝·S△ABD·|xc|＝.……12分易错点漏掉条件 因为平面ABD∩平面BCD＝BD，平面ABD⊥平面BCD，AO⊂平面ABD障碍点没有探究出△BCD是直角三角形学科素养逻辑推理、数学运算、直观想象评分细则因为平面ABD∩平面BCD＝BD，平面ABD⊥平面BCD，AO⊂平面ABD漏掉条件要扣1分；用几何法求解要把二面角的平面角作出来，否则扣1分；用坐标法求解，到求出m的值得9分．利用向量法计算二面角大小的常用方法　(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小．(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．　(2021·新高考II卷)在四棱锥Q­ABCD中，底面ABCD是正方形，AD＝2，QD＝QA＝，QC＝3.(1)求证：平面QAD⊥平面ABCD；(2)求二面角B­QD­A的平面角的余弦值．【解析】(1)取AD的中点为O，连接QO，CO.因为QA＝QD，OA＝OD，则QO⊥AD，而AD＝2，QA＝，故QO＝＝2.在正方形ABCD中，因为AD＝2，故DO＝1，故CO＝，因为QC＝3，故QC2＝QO2＋OC2，故△QOC为直角三角形且QO⊥OC，因为OC∩AD＝O，故QO⊥平面ABCD，因为QO⊂平面QAD，故平面QAD⊥平面ABCD.(2)在平面ABCD内，过O作OT∥CD，交BC于T，则OT⊥AD，结合(1)中的QO⊥平面ABCD，故可建如图所示的空间坐标系．则D(0，1，0)，Q(0，0，2)，B(2，－1，0)，故＝(－2，1，2)，＝(－2，2，0).设平面QBD的法向量n＝(x，y，z).则即取x＝1，则y＝1，z＝，故n＝.而平面QAD的法向量为m＝(1，0，0)，故cos <m，n>＝＝.二面角B­QD­A的平面角为锐角，故其余弦值为.