第二篇专题三空间几何体、表面积与体积 2022版高考数学复习讲义

  空间几何体、表面积与体积空间几何体1．下列命题中正确的是(　　)A．有两个平面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．B．各个面都是三角形的几何体是三棱锥．C．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体．D．圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线．【解析】选D.如图所示的几何体满足两个平面平行，其余各面都是平行四边形，但它不是棱柱，A错；正八面体的各面都是三角形，不是三棱锥，B错；如果两个平行截面与圆柱的底面平行，则是旋转体，如果这两个平行截面与圆柱的底面不平行，则不是旋转体．C错；根据圆锥的定义，D正确．2.(2021·新高考Ⅰ卷)已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为(　　)A．2    B．2    C．4    D．4【解析】选B.设母线长为l，则底面周长为2π，其侧面展开图半周长为πl，故πl＝2π，所以l＝2.3．(多选题)若四棱锥P­ABCD的底面为矩形，则下列说法正确的是(　　)A．四个侧面可能都是直角三角形B．平面PAB与平面PCD的交线与直线AB，CD都平行C．该四棱锥一定存在内切球D．该四棱锥一定存在外接球【解析】选ABD.如图，在长方体中构造四棱锥P­ABCD，其四个侧面都是直角三角形，故A正确；因为底面ABCD是矩形，所以AB∥CD，因为AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以AB∥平面PCD，设平面PAB与平面PCD的交线为l，所以l∥AB，同理可得l∥CD，故B正确；只有正四棱锥才有内切球，故C错误；该四棱锥一定存在外接球，其球心在过矩形的对角线交点作与矩形所在平面垂直的直线上，故D正确．　下列结论正确的是(　　)A．不存在这样的四面体ABCD，四个面都是直角三角形B．存在这样的四面体ABCD，∠BAC＝∠CAD＝∠DAB＝∠BCD＝90°C．存在不共面的四点A，B，C，D，使∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°D．存在不共面的四点A，B，C，D，使∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°【解析】选C.选项A.在正方体中，如图，四面体ABCD的四个面都是直角三角形，故A不正确．选项B，如图2，三个直角以A为顶点，设AB＝x，AC＝y，AD＝z，则BC2＝x2＋y2，CD2＝z2＋y2，BD2＝x2＋z2，由余弦定理可得cos ∠CBD＝＝>0，所以∠CBD为锐角，同理∠CDB，∠DCB为锐角，所以△BCD为锐角三角形，故B错误；选项C.如图3，在正方体中，满足∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°，故C正确．选项D.如图4，在正方体中， ∠BCD＝90°，△BCD为直角三角形．∠ABC＝90°，则AB在过点B且与BC垂直的平面内，∠ADC＝90°，则AD在过点D且与CD垂直的平面内，当点A与O不重合时，AB2＋AD2>BO2＋OD2＝BD2，所以此时∠BAD为锐角．当点A与O重合时，∠BAD为直角．即∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°时，此时A，B，C，D四点共面，故D错误．4．数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中之一，所谓等腰四面体，就是指三组对棱分别相等的四面体．关于“等腰四面体”，以下结论正确的序号是________．①“等腰四面体”每个顶点出发的三条棱一定可以构成三角形；②“等腰四面体”的四个面均为全等的锐角三角形；③三组对棱长度分别为5，6，7的“等腰四面体”的体积为2；④三组对棱长度分别为a，b，c的“等腰四面体”的外接球直径为.【解析】将等腰四面体补成长方体，设等腰四面体的对棱棱长分别为a，b，c，与之对应的长方体的长宽高分别为x，y，z则，故x2＝，y2＝，z2＝，结合图象易得①②正确；三组对棱长度分别为a＝5，b＝6，c＝7，则x＝，y＝，z＝，因为等腰四面体的体积是对应长方体体积减去四个小三棱锥的体积，所以等腰四面体的体积为xyz－4××xyz＝xyz＝2，③正确；三组对棱长度分别为a，b，c的“等腰四面体”的外接球直径2R＝≠，④错误．答案：①②③　空间几何体概念辨析题的常用方法(1)定义法：紧扣定义，由已知条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，根据定义进行判定．(2)反例法：通过反例对结构特征进行辨析．几何体的表面积、体积　1．一个圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，在该圆锥中有一个内接圆柱(下底面在圆锥底面上，上底面的圆周在圆锥侧面上)，则当该圆柱侧面积取最大值时，该圆柱的高为(　　)A．1    B．2    C．3    D．【解析】选D.如图，设圆柱底面半径为r(0＜r＜2)，高为h，则＝，即h＝(2－r)，其侧面积为S＝2πr(2－r)＝2π(－r2＋2r)，根据二次函数性质，当r＝1时，侧面积取得最大值，此时h＝.2．(2021·新高考Ⅱ卷)正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为(　　)A．20＋12     B．28C．       D．【思维通关】关键点正确画出正四棱台的图形，求正四棱台的高障碍点求正四棱台的高易错点正四棱台的体积公式用错【解析】选D.作出图形，连接该正四棱台上、下底面的中心，如图，因为该四棱台上、下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，所以该棱台的高h＝＝，下底面面积S1＝16，上底面面积S2＝4，所以该棱台的体积V＝h(S1＋S2＋)＝××(16＋4＋)＝.3.我国古代数学名著《九章算术》卷五“商功”中有这样一题：今有堤下广二丈，上广八尺，高四尺，袤一十二丈七尺．问积几何？其意思是现有堤坝，下底长为2丈，上底长为8尺，高4尺，纵长12丈7尺，问这段堤坝的体积是多少？在这个问题中，若某施工队的日工作量不少于350立方尺，但不超过400立方尺，则该施工队完成这段堤坝的天数不可能为(注：一丈＝十尺)(　　)A．20天    B．19天    C．18天    D．16天【思维通关】关键点根据棱柱的体积公式求得堤坝的体积．障碍点无法读懂题目情境易错点没统一长度单位导致出错．【解析】选D.根据棱柱的体积公式，可得堤坝的体积V＝×127＝7112(立方尺)，设该施工队完成这段堤坝需x天，因为日工作量不少于350立方尺，但不超过400立方尺，所以350≤≤400，解得17.78≤x≤20.32，结合选项，只有D不符合．4．已知正四棱锥P­ABCD的底面正方形的中心为O，若高PO＝，∠PAO＝45°，则该四棱锥的表面积是(　　)A．4＋2       B．4＋4C．4＋2       D．4＋4【解析】选D.依题意，正四棱锥的高PO⊥底面ABCD，且∠PAO＝45°，知△PAO为等腰直角三角形，则侧棱PA＝＝＝2，且AO＝PO＝，则底面正方形ABCD的对角线AC＝2AO＝2＝AB，得正方形的边长AB＝2，从而知正四棱锥的4个侧面均是边长为2的正三角形；所以底面积为|AB|2＝4 ；侧面积为4S△PAB＝4××2×2×sin 60°＝4，故该正四棱锥的表面积为4＋4.　几何体面积体积问题的求解策略(1)由几何体的三视图求其表面积①关键是分析三视图，确定几何体中各元素之间的位置关系及度量大小．②还原几何体的直观图，套用相应的面积公式．(2)求三棱锥的体积等体积转化是常用的方法，转换原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上．(3)求不规则几何体的体积常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解．1．如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝2，∠ACB＝120°.若△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的表面积是(　　)A．(6＋2)π    B．2πC．(9＋2)π    D．2π【解析】选A.△ABC绕直线 BC旋转一周，所形成的几何体是一个大圆锥去掉一个小圆锥．因为AC＝2，BC＝2，∠ACB＝120°，所以OA＝，AB＝2，所以所形成的几何体的表面积是π××(2＋2)＝(6＋2)π.2．如图，在正四棱锥P­ABCD中，B1为PB的中点，D1为PD的中点，则棱锥A­B1CD1与棱锥P­ABCD的体积之比是(　　)A．1∶4    B．3∶8    C．1∶2    D．2∶3【解析】选A.如题图，棱锥A­B1CD1的体积可以看成是正四棱锥P­ABCD的体积减去角上的四个小棱锥的体积得到．因为B1为PB的中点，D1为PD的中点，所以棱锥B1­ABC的体积和棱锥D1­ACD的体积都是正四棱锥P­ABCD的体积的，棱锥C­PB1D1的体积与棱锥A­PB1D1的体积之和是正四棱锥P­ABCD的体积的，则中间剩下的棱锥A­B1CD1的体积VA­B1CD1＝VP­ABCD－3×VP­ABCD＝VP­ABCD，则VA­B1CD1∶VP­ABCD＝1∶4.3．一件刚出土的珍贵文物要在博物馆大厅中央展出，如图，需要设计各面是玻璃平面的无底正四棱柱将其罩住，罩内充满保护文物的无色气体．已知文物近似于塔形，高1.8米，体积0.5立方米，其底部是直径为0.9米的圆形，要求文物底部与玻璃罩底边至少间隔0.3米，文物顶部与玻璃罩上底面至少间隔0.2米，气体每立方米1 000元，则气体的费用最少为(　　)A．4 500元    B．4 000元C．2 880元    D．2 380元【解析】选B.因为文物底部是直径为0.9米的圆形，文物底部与玻璃罩底边至少间隔0.3米，所以由正方形与圆的位置关系可知，底面正方形的边长为0.9＋2×0.3＝1.5(米).又文物高1.8米，文物顶部与玻璃罩上底面至少间隔0.2米，所以正四棱柱的高为1.8＋0.2＝2(米)，则正四棱柱的体积V＝1.52×2＝4.5(立方米).因为文物的体积为0.5立方米，所以罩内空气的体积为4.5－0.5＝4(立方米).因为气体每立方米1 000元，所以气体的费用最少为4×1 000＝4 000(元).