5.立体几何（A组） 2022版高考数学大题专项（含解析）

  5．立体几何(A组)大题专项练，练就慧眼和规范，筑牢高考满分根基！1.如图，四棱锥S－ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD＝2，AD＝，点E是线段SD上的点，且DE＝a (0<a≤2).(1)求证：对任意的0<a≤2，都有AC⊥BE；(2)设二面角C－AE－D的大小为θ，直线BE与平面ACE所成角为φ，当a＝1时，求的值．【解析】(1)连接BD，由ABCD是正方形，可得AC⊥BD，又SD⊥平面ABCD，则AC⊥SD，又SD∩BD＝D，所以AC⊥面SBD，又BE⊂面SBD，所以AC⊥BE；(2)以D为原点，，，的方向为正方向建立空间直角坐标系D－xyz，则D(0，0，0)，E(0，0，1)，A(，0，0)，C(0，，0)，B，则＝(，－，0)，＝(0，－，1)，设面CAE的法向量为m＝(x，y，z)，则，设x＝1，则y＝1，z＝，得m＝(1，1，)，又由CD⊥平面ADE，所以＝(0，，0)可作为面ADE的一个法向量，所以cos θ＝＝，面CAE的法向量m＝(1，1，)，＝(，，－1)，所以sin φ＝＝，则＝.2．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC，延长BA到D，使AD＝AB，连接DC，DA1，DC1，得到多面体DBCC1B1A1(1)证明：B1C∥平面DA1C1；(2)若∠ABC＝30°，AB＝AA1，求平面DA1C1与平面CBB1C1所成锐二面角的余弦值．【解析】(1)连接AB1，在三棱柱ABC­A1B1C1中，有AC∥A1C1，AC⊄平面DA1C1，A1C1⊂平面DA1C1，所以AC∥平面DA1C1.因为AD＝AB＝ A1B1，AB∥A1B1，所以四边形A1B1AD是平行四边形，所以AB1∥DA1.又因为AB1⊄平面DA1C1，DA1 ⊂平面DA1C1，所以AB1∥平面DA1C1.因为AC∩AB1＝A，所以平面ACB1∥平面DA1C1，又B1C⊂平面ACB1，所以B1C∥平面DA1C1.(2)因为C1C⊥ DC，C1C⊥ BC，AB＝AC，AB＝AD，所以DC ⊥BC，以C为坐标原点，以CB，CD，CC1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，因为∠ABC＝30°，AB＝AA1设AB＝AA1＝2，则CD＝2，则A1(，1，2)，C1(0，0，2)，D(0，2，0)，＝(，1，0)，＝(0，－2，2).设平面DA1C1的法向量为m＝(x，y，z)，则m⊥，m⊥所以，令x＝－1，得m＝(－1，，)因为DC⊥平面CBB1C1，所以平面CBB1C1的法向量n＝(0，2，0)，cos <m，n>＝＝，所以平面DA1C1与平面CBB1C1所成锐二面角的余弦值为.