8.概率与统计（B组） 2022版高考数学大题专项（含解析）

  8．概率与统计(B组)大题专项练，练就慧眼和规范，筑牢高考满分根基！1.今年两会期间国家对学生学业与未来发展以及身体素质的重要性的阐述引起了全社会的共鸣．某大学学生发展中心对大一的400名男生做了单次引体向上的测试，得到了如图所示的直方图(引体向上个数只记整数).学生发展中心为进一步了解情况，组织了两个研究小组．(1)第一小组决定从单次完成1－15个的引体向上男生中，按照分层抽样抽取11人进行全面的体能测试，①单次完成11－15个引体向上的男生甲被抽到的概率是多少？②该小组又从这11人中抽取3人进行个别访谈，记抽到“单次完成引体向上1－5个”的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望；(2)第二小组从学校学生的成绩与体育锻炼相关性角度进行研究，得到了这400人的学业成绩与体育成绩之间的2×2列联表． 学业优秀学业不优秀总计体育成绩不优秀100200300体育成绩优秀5050100总计150250400请你根据联表判断是否有99.5%的把握认为体育锻炼与学业成绩有关？参考公式及数据：K2＝P(K2≥k0)0.500.400.250.150.100.050.0250.010.0050.001k00.460.711.322.072.713.845.0246.6357.87910.828【解析】(1)①因为0.02∶0.03∶0.06＝2∶3∶6，所以×11＝2，×11＝3，×11＝6，即从1－5个中选2个，6－10个中选3个，11－15个中选6个，又因为单次完成11－15个引体向上的人共有0.06×5×400＝120人，记“单次完成11－15个引体向上的甲被抽中”为事件A，则P(A)＝＝＝.②X的可能取值为0，1，2，则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，所以X的分布列为：X012P所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝.(2)因为K2＝＝＝＝8.889>7.879. 所以有99.5%的把握认为体育锻炼与学业成绩有关．2．公元1651年，法国一位著名的统计学家德梅赫(Demere)向另一位著名的数学家帕斯卡(B. Pascal)提出了一个问题，帕斯卡和费马(Fermat)讨论了这个问题，后来惠更斯(C. Huygens)也加入了讨论，这三位当时全欧洲乃至全世界最优秀的科学家都给出了正确的解答．该问题如下：设两名运动员约定谁先赢k局，谁便赢得全部奖金a元．每局甲赢的概率为p(0<p<1)，乙赢的概率为1－p，且每场比赛相互独立．在甲赢了m(m<k)局，乙赢了n(n<k)局时，比赛意外终止．奖金该怎么分才合理？这三位数学家给出的答案是：如果出现无人先赢k局则比赛意外终止的情况，甲、乙便按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比P甲∶P乙分配奖金．(1)规定如果出现无人先赢k局则比赛意外终止的情况，甲、乙便按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比P甲∶P乙分配奖金．若k＝4，m＝2，n＝1，p＝，求P甲∶P乙．(2)记事件A为“比赛继续进行下去乙赢得全部奖金”，试求当k＝4，m＝2，n＝1时比赛继续进行下去甲赢得全部奖金的概率f，并判断当p≥时，事件A是否为小概率事件，并说明理由．规定：若随机事件发生的概率小于0.05，则称该随机事件为小概率事件．【解析】(1)设比赛再继续进行X局甲赢得全部奖金，则最后一局必然甲赢．由题意知，最多再进行4局，甲、乙必然有人赢得全部奖金．当X＝2时，甲以4∶1赢，所以P(X＝2)＝×＝；当X＝3时，甲以4∶2赢，所以P(X＝3)＝C×××＝；当X＝4时，甲以4∶3赢，所以P＝C×2××＝.所以，甲赢的概率为＋＋＝.所以P甲∶P乙＝243∶13；(2)设比赛继续进行Y局乙赢得全部奖金，则最后一局必然乙赢．当Y＝3时，乙以4∶2赢，P(Y＝3)＝(1－p)3；当Y＝4时，乙以4∶3赢，P(Y＝4)＝Cp(1－p)3＝3p(1－p)3；所以，乙赢得全部奖金的概率为P(A)＝(1－p)3＋3p3＝3.于是甲赢得全部奖金的概率f(p)＝1－(1＋3p)(1－p)3.求导，f′＝－33－·3(1－p)2＝12p2.因为≤p<1，所以f′>0，所以f在上单调递增，于是fmin＝f＝.故乙赢的概率为1－＝＝0.027 2<0.05，故事件A是小概率事件．