4.数列（B组） 2022版高考数学大题专项（含解析）

  4．数列(B组)大题专项练，练就慧眼和规范，筑牢高考满分根基！1.在①a8＝2a4＋1，②4是a1，a3的等比中项，③S5＝4a1a2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．问题：已知各项均为正数的等差数列{an}的前n项和为Sn，S3＝a6－a1，且__________．(1)求an；(2)设数列的前n项和为Tn，试比较Tn与的大小，并说明理由．【解析】设等差数列{an}的公差为d(d>0)，则3a1＋d＝5d，所以3a1＝2d.方案一：选条件①(1)由，解得a1＝2，d＝3，所以an＝2＋3(n－1)＝3n－1，n∈N*.(2)Sn＝2n＋3＝n2＋，所以Sn＋n＝(n2＋n)＝，所以＝＝所以Tn＝(1－＋－＋…＋－)＝＝，又＝，所以－Tn＝－＝因为n∈N*，所以3n2＋2n－3≥3＋2－3＝2>0，所以－Tn>0，所以>Tn.方案二：选条件②(1)由解得a1＝2，d＝3，所以an＝2＋3(n－1)＝3n－1，n∈N*.(2)同方案一(2)方案三：选条件③(1)由，解得a1＝2，d＝3，所以an＝2＋3(n－1)＝3n－1，n∈N*.(2)同方案一(2)2．若数列满足a1＝1，且存在常数k>1，使得对任意的n∈N*都有an≤an＋1≤kan，则称数列为“k控数列”．(1)若公差为d的等差数列是“2控数列”，求d的取值范围；(2)已知公比为q的等比数列的前n项和为Sn，数列与都是“k控数列”，求q的取值范围(用k表示).【解析】(1)因为公差为d的等差数列是“2控数列”且a1＝1，所以an＝1＋d，an≤an＋1≤2an，即≤1＋nd≤2[1＋(n－1)d]，所以因为n∈N*，所以由d≥－1得d≥－，所以d≥0.当n＝1时，由d≥－1得d≤1.当n＝2时，由d≥－1得0×d≥－1，d∈R.当n≥3时，由d≥－1得d≥－，d≥0.所以d的取值范围是[0，1]；(2)因为数列是公比为q(q≠1)的等比数列且为“k控数列”，所以bn≤bn＋1≤kbn，若bn>0，则同除以bn得≤＝q≤k.若bn<0，则同除以bn得≥＝q≥k，与k>1矛盾．所以≤q≤k.又因为q≠1，所以≤q<1或1<q≤k.因为Sn＝，要使是“k控数列”，则×≤≤k×，①当≤q<1时，同除以得≤≤k，设f＝＝q＋，则f单调递减，所以1<f≤q＋1.所以要使得q存在，必须使得，解得k≥.②当1<q≤k时，同除以得≤≤k，令g(n)＝＝q＋，n∈N*，则g(n)递减，q<g≤q＋1，所以，又因为1<q≤k，所以1<q≤k－1.要使q存在，需1<k－1，得k>2.由①②得存在k≥.所以当k≥时，公比q的取值范围是∪(1，k－1].