6.立体几何（B组） 2022版高考数学大题专项（含解析）

  6．立体几何(B组)大题专项练，练就慧眼和规范，筑牢高考满分根基！1.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC是边长为2的等边三角形，BC⊥BB1，CC1＝，且有AC1＝.(1)证明：平面ABC⊥平面BB1C1C；(2)M，N分别是BC，B1C1的中点，P是线段AC1上的动点，若二面角P－MN－C的平面角的大小为30°，求线段PC1的长度．【解析】(1)因为AC＝2，CC1＝，AC1＝，所以AC2＋CC＝AC，即AC⊥CC1，又因为BC⊥BB1，BB1∥CC1，所以BC⊥CC1，AC∩BC＝C，所以CC1⊥平面ABC.因为CC1⊂平面BB1C1C，所以平面ABC⊥平面BB1C1C.(2)连接AM，因为AB＝AC＝2，M是BC的中点，所以AM⊥BC.由(1)知，平面ABC⊥平面BB1C1C，所以AM⊥平面BB1C1C.以M为原点建立如图所示的空间直角坐标系M－xyz，则平面BB1C1C的一个法向量取m＝(0，0，1)，A(0，0，)，N(0，，0)，C1(－1，，0).设＝t (0≤t≤1)，P(x，y，z)，＝(x，y，z－)，＝(－1，，－)，代入上式得x＝－t，y＝t，z＝(1－t)，所以P(－t，t，－t).设平面MNP的一个法向量为n＝(x1，y1，z1)，＝(0，，0)，＝(－t，t，－t)，由，得，令z1＝t，得n＝(－t，0，t).因为二面角P－MN－C的平面角的大小为30°，所以＝，即＝，解得t＝.所以点P为线段AC1上靠近点C1的四等分点，故PC1＝.2．如图1，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝3，CD＝6，过A，B分别作CD的垂线，垂足分别为E，F，已知DE＝1，AE＝3，将梯形ABCD沿AE，BF同侧折起，使得平面ADE⊥平面ABFE，平面ADE∥平面BCF，得到图2.(1)证明：BE∥平面ACD；(2)求二面角C－AD－F的余弦值．【解析】(1)设AF∩BE＝O，取AC中点M，连接OM，DM，因为四边形ABFE为正方形，所以O为AF中点，因为M为AC中点，所以OMCF.因为平面ADE⊥平面ABFE，平面ADE∩平面ABFE＝AE，DE⊂平面ADE，DE⊥AE，所以DE⊥平面ABFE，又因为平面ADE∥平面BCF，所以平面BCF⊥平面ABFE，同理，CF⊥平面ABFE，又因为DE＝1，FC＝2，所以DECF，所以OMDE，所以四边形DEOM为平行四边形，所以DM∥OE，因为DM⊂平面ADC，BE⊄平面ADC，所以BE∥平面ADC；(2)由题意EA，EF，ED两两垂直，以EA为x轴，EF为y轴，ED为z轴建立空间直角坐标系E－xyz，所以D(0，0，1)，A(3，0，0)，F(0，3，0)，C(0，3，2)，设平面ADF的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，因为＝(3，0，－1)，＝(0，3，－1)，所以，令x1＝1，则z1＝3，y1＝1，所以n1＝(1，1，3)，设平面ADC的法向量为n2＝(x2，y2，z2).因为＝(0，3，1)，所以，令x2＝1，则z2＝3，y2＝－1，所以n2＝(1，－1，3)，设二面角C­AD­F的平面角为θ，由图象得θ为锐角，所以cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝||＝.