2022届甘肃省天水市一中高三上学期第三次考试数学（理）试题含答案

天水一中高三级2021-2022学年度第一学期第三次考试

数学试题（理科） 

（满分：150分　　时间：120分钟）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．

1．设集合，，则（    ）

A． B．（3，4] C．（3，4） D．（4，）

2．欧拉恒等式(为虚数单位，为自然对数的底数)被称为数学中最奇妙的公式，它是复分析中欧拉公式的特例：当自变量时，，得．根据欧拉公式，复数在复平面上所对应的点在第（    ）象限．

A．一 B．二 C．三 D．四

3．已知，，若，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．

4．使得成立的一个充分不必要条件是（    ）

A． B． C． D．

5．已知数列满足，，则数列的通项公式为（    ）

A．  B． C． D．

6．《掷铁饼者》取材于希腊现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为米，肩宽约为米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，则掷铁饼者双手之间的距离约为（    ）

A．1.012米 B．1.768米 

C．2.043米 D．2.945米

7．某几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是等腰直角三角形，俯视图是边长为2的正方形，则该几何体的体积等于（    ）

A．8 B． 

C． D．

8．已知是等比数列，是其前项积，若，则（    ）

A．1024 B．512 C．256 D．128

9．将函数的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像，则函数在的值域为（    ）

A．  B． C． D．

10．正三棱柱中，，是的中点，则异面直线与所成的角为（    ）

A． B． C． D．

11．已知函数．若，都有，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

12．已知，，且，则下列结论一定正确的是（    ）

A． B．

C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．观察下列数的特点1，2，－1，3，－4，7，x，18，－29，…，其中x为_____．

14．设实数满足约束条件，则的最大值是_____．

15．已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面平面SCB，，，三棱锥的体积为9，则球O的表面积为_____．

16．函数满足，当时，，若有个不同的实数解，则实数的取值范围是_____．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题:共60分．

17．（12分）

在中，内角的对边分别为，已知．

(1)求角；

(2)若，求的最小值．

18．（12分）

2021年秋，某市突发新冠疫情，随后经过各方的不懈努力，疫情得到全面控制，全市开始有序复工复产复学．该市某校高三年级为做好复学准备，对本年级的所有学生进行了问卷调查，其中一项为调查学生作业中的错题数量，为方便统计，现将调查结果分成了5组：[10,20)、[20,30)、[30,40)、[40,50) 、[50,60]，并得到如下频率分布直方图：

（1）请根据以上信息，求a的值，并求这组数据的中位数(结果保留两位小数)；

（2）为做进一步的了解，需从每组中抽取若干人进行电话专访．已知错题数在[30,40)和[50,60)的学生中利用分层抽样的方式共抽取了5人，再从5人中随机抽取3人进行电话专访，错题数在[30,40)的回答3个问题，错题数在[50,60)的回答5个问题，各个问题均不相同．用X表示抽取的3名学生回答问题的总个数，求X=13的概率．

19．（12分）

如图，在四棱锥中，底面为正方形，△是正三角形，侧面底面，是的中点．

（1）求证：平面；

（2）求二面角的正弦值．

20．（12分）

在① ，；② ，这两组条件中任选一组，补充在下面横线处，并解答下列问题．

已知数列的前项和是，数列的前项和是，________________________．

（1）求数列，的通项公式；

（2）设，证明：．

（注：条件①、②只能任选其一，若两个都选，则按第一个解答计分）

21．（12分）

已知函数．

（1）若，求函数的极值点；

（2）若函数存在两个不同的零点，，证明：．

（二）选考题:共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系中，点在倾斜角为的直线上，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的方程为．

（1）写出的参数方程及的直角坐标方程；

（2）设与相交于两点，求的最小值．

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知函数的最小值为．

（1）求的值；

（2）若，，，求证．

天水一中高三级2021-2022学年度第一学期第三次考试

数学答案（理科）

一、选择题(本题共12题，每小题5分，共60分)

二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

13.﹣11       14.7              15.36π           16.

四、解答题 ：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分

17．解：(1) ∵中，，∴由正弦定理知，，∵，∴，

∴，∴，∴，∴．

(2) 由 (1)及得，所以

当且仅当时取等号，所以的最小值为

18．解：（1）根据频率分布直方图可得，解得，因为，所以中位数位于[30,40)之间，设中位数为，则，解得，故中位数为

（2）因为[50,60)和[30,40)频率比为，按照分层抽样抽取5人，则[50,60)中抽2人，[30,40)中抽3人；因为从5人中随机抽取3人进行问卷调查，年龄在[50,60)的回答5道题，年龄[30,40)的回答3道题，回答题目总个数为个，则从[50,60)的2人中抽2人，从[30,40)的3人中抽1人，则概率

19．解：（1）因为底面为正方形，所以，

因为平面平面，平面平面，面，

所以平面，因为面，所以，

又因为是正三角形，是的中点，所以，所以平面.

因为，所以平面；

（2）过在平面内作的垂线，知与，两两垂直，

以为坐标原点，，，分别为轴，建立空间直角坐标系，设，

有，，，，，

设平面的法向量为，

则，即，令，，，所以；

设平面的法向量为，，，

则，即，所以，令，可得，

所以；设二面角的平面角为，，

所以，所以，

所以二面角的正弦值为.

20．解：选条件①：

（1）由可得，两式相减可得：，所以，

在中令，可得，所以，

所以是以为首项，公比为的等比数列，，

故数列的通项公式为，数列的通项公式为；

（2）由（1）知，设，

，

两式相减可得

所以，即；

选条件②：

（1）由可得两式相减可得：，即，所以，

在中，令，可得：，所以，所以由，

， ……，，所以，

从而，所以，.

故数列的通项公式为，数列的通项公式为.

（2）由（1）知，

所以.

21.解：（1）由题易知，函数的定义域为，

当时，，

令函数，则.

因为，所以，故函数在上单调递减，

又，所以当时，，，单调递增，

当时，，，单调递减.

所以函数只有一个极大值点，没有极小值点.

（2）由函数的两个零点分别为，，不妨令.

所以，即，即，

所以，.

要证明，即证，即证.

因为，所以即证，

即证，也就是证.

令，则，即证.令，

则，故函数在上单调递增，

所以，即，所以.

22．解：（1）的参数方程为（为参数）．

由得，的直角坐标方程是．

（2）将的参数方程代入的直角坐标方程得．

因为，，，所以．

所以 ，

当时等号成立．因此取最小值． 

23．解：（1），取等号时，，

即，故m=4．                                               

（2）由（1）a+b=4，所以．

因为，取等号时，，因为a+b=4，所以a=，．故．