2022届江苏省泰州中学高三上学期第一次月度检测数学试题（含解析）

这是一份2022届江苏省泰州中学高三上学期第一次月度检测数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
江苏省泰州中学2021-2022学年度高三上学期第一次月度检测数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】先化简集合A，再利用集合的并集运算求解.【详解】因为，又因为，所以．故选：A．2. 已知复数满足，则的共轭复数的虚部为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】结合复数的除法运算求出数，进而根据复数的概念即可求出结果.【详解】由题意得，所以的共轭复数为，其虚部为.故选：.3. 已知扇形的周长是4 cm，则扇形面积最大时，扇形的中心角的弧度数是(　　)A. 2 B. 1 C.  D. 3【答案】A【解析】【分析】首先通过扇形的周长来确定半径和弧长的关系，再利用面积公式得出当r＝1时S最大，进而得出弧度数．【详解】设此扇形的半径为r，弧长为l，则2r＋l＝4，则面积S＝rl＝r(4－2r)＝－r2＋2r＝－(r－1)2＋1，∴当r＝1时S最大，这时l＝4－2r＝2，从而α＝＝＝2.【点睛】本题在做题中，需要能够通过半径和弧长来转换扇形的周长和面积的关系．4. 已知为单位向量，且则夹角的余弦值为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据，得到，将等式展开由平面向量数量积的定义即可得到答案.【详解】设的夹角为，因为，为单位向量，所以，所以.故选：B.5. 已知函数定义域为为常数，则“”是“为在上最大值”的（    ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据必要不充分条件及函数最值的定义，即可判断.【详解】由函数的最值的定义知，由，无法推出为在上最大值，而为在上最大值，则必有故选：B.6. 文化和旅游部在2021年围绕“重温红色历史、传承奋斗精神”“走进大国重器、感受中国力量”“体验美丽乡村、助力乡村振兴”这三个主题，遴选出“建党百年红色旅游百条精品线路”．这些精品线路中包含中共一大会址、嘉兴南湖、井冈山、延安、西柏坡5个传统红色旅游景区，还有港珠澳大桥、北京大兴国际机场2个展现改革开放和新时代发展成就的景区，中国天眼、“两弹一星”纪念馆、湖南十八洞村、浙江余村、贵州花茂村5个展示科技强国和脱贫攻坚成果的景区．为安排旅游路线，从上述12个景区中选3个景区，则必须含有传统红色旅游景区以及展示科技强国和脱贫攻坚成果景区的不同选法种数为（    ）A. 220 B. 150 C. 50 D. 100【答案】B【解析】【分析】根据给定条件求出从12个景区中选3个景区的选法种数，去掉不符合要求的选法种数即可得解.【详解】从12个景区中选3个景区，共有种选法，不含传统红色旅游景区选法种数为，不含展示科技强国和脱贫攻坚成果景区的选法种数为，所以所求的不同选法种数为.故选：B7. 函数在的图象大致为（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】先求出函数的定义域，然后判断出函数的奇偶性, 取特殊值判断函数值的符号，从而可排除不满足的选项，得出答案.【详解】解：根据题意，函数，，，则在区间上为偶函数，所以排除BC，又由，所以排除D，故选：A．8. 已知函数，若存在实数，满足，且，则的最大值为（    ）A.  B. C.  D. 1        【答案】A【解析】【分析】求出函数在两段上函数值集合的交集，令，由此构造函数并求其最大值即可.【详解】当时，，当时，，则，令，则，，设，，，即在上单调递增，，所以的最大值为.故选：A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，不选或有错选的得0分．9. （多选）千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，随机观察了他所在地区的100天中的“日落云里走”的情况和后半夜天气情况，得到如下数据，后半夜天气情况“日落云里走”的情况下雨未下雨总计出现25530未出现254570总计5050100并计算得到，则小波对该地区天气的判断正确的是（    ）A. 后半夜下雨的概率约为B. 未出现“日落云里走”时，后半夜下雨的概率约为C. 有99%的把握认为“‘日落云里走’是否出现”与“后半夜是否下雨”有关D. 若出现“日落云里走”，则后半夜有99%的可能会下雨【答案】AC【解析】【分析】利用频率估计概率和卡方计算公式，即可得到答案；【详解】对A，把频率看作概率，可得后半夜下雨的概率约为，故A判断正确：对B，未出现“日落云里走”时，后半夜下雨的概率约为，故B判断错误；对C，由，知有99%的把握认为“‘日落云里走’是否出现”与“后半夜是否下雨”有关，故C判断正确；易知D判断错误.故选：AC10. 已知，则（    ）A. 的展开式中的常数项是56B. 的展开式中的各项系数之和为0C. 的展开式中的二项式系数最大值是70D. 的展开式中不含的项【答案】BC【解析】【分析】写出二项展开式通项公式，由的指数为0可得常数项，判断A，在原式中令可得所有项系数和，判断B，根据二项式系数的性质得最大值，判断C，由的指数是否为0可判断D．【详解】二项展开式通项公式为，，，常数项为，A错；，，第6项是含的项，D错；令得所有项系数和，B正确；，因此二项式系数的最大值为，C正确．故选：BC．11. 将函数f (x)＝cos－1的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)具有以下哪些性质（    ）A. 最大值为，图象关于直线x＝－对称B. 图象关于y轴对称C. 最小正周期为πD. 图象关于点成中心对称【答案】BCD【解析】【分析】根据余弦型函数图象变换的性质，结合余弦函数的最值、对称性、最小正周期公式逐一判断即可.【详解】将函数f (x)＝cos－1的图象向左平移个单位长度，得到y＝cos[]－1＝cos(2x＋π)－1＝－cos 2x－1的图象；再向上平移1个单位长度，得到函数g(x)＝－cos 2x 的图象．对于函数g(x)，它的最大值为，由于当x＝时，g(x)＝，不是最值，故g(x)的图象不关于直线x＝－对称，故A错误；由于该函数为偶函数，故它图象关于y轴对称，故B正确；它的最小正周期为＝π，故C正确；当x＝时，g(x)＝0，故函数的图象关于点成中心对称，故D正确．故选：BCD12. 对函数进行研究后，得出以下结论，其中正确有（    ）A. 函数的图象关于y轴对称B. C. 函数的图象与轴有无穷多个交点，且每相邻两交点间距离相等D. 对任意常数，存在常数，使函数在上单调递减，且【答案】ABD【解析】【分析】由函数奇偶性定义判断可知A正确；构造函数，求导判断单调性，进而求得最值可判断B；由的图象与轴的交点坐标为且可判断C；求导分析时成立的情况，即可判断选项D，进而可得正确选项.【详解】对于A：因为函数的定义域为，所以为偶函数，图象关于轴对称，故选项A正确；对于B：由A知为偶函数，当时，，若即只需证，令，，因为，所以，所以在上单调递增，所以，即，所以恒成立，故选项B正确；对于C：令，可得，所以函数的图象与轴的交点坐标为且，交点与间的距离为，而其余任意相邻两点之间的距离为. 故选项C错误；对于D：，即，即，当时，，，区间长度为，所以对于任意常数，存在常数，，使在上单调递减且，故选项D正确；故选：ABD.【点睛】方法点睛：利用导数研究函数单调性的方法：（1）确定函数的定义域；求导函数，由（或）解出相应的的范围，对应的区间为的增区间（或减区间）；（2）确定函数的定义域；求导函数，解方程，利用的根将函数的定义域分为若干个子区间，在这些子区间上讨论的正负，由符号确定在子区间上的单调性.三､ 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知，则=_________【答案】【解析】【分析】由余弦的二倍角公式计算．【详解】．故答案为：．14. 已知函数定义域为R，是奇函数且，则函数的周期为________.【答案】6【解析】【分析】根据函数是奇函数得，又由已知得，由周期的定义可得答案.【详解】解：因为函数是奇函数，所以，又，即，所以，所以函数的周期为6，故答案为：6.15. 在中，点是线段上任意一点（不包含端点），若，则的最小值是________.【答案】9【解析】【分析】利用平面向量共线的结论 , 得到，然后用“1”的代换后，用基本不等式即可解..【详解】∵是线段上一点,∴三点共线，  ∴ m ＋ n = 1 , 且 m > 0 , n > 0 ,  当且仅当 即 又∵ ∴时取等号，的最小值为 9 .故答案为：916. 在数列中，，为的前项和.关于的方程有唯一的解.则（1）________；（2）若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为________.【答案】    ①.     ②. 【解析】【分析】设知：为偶函数，（1）根据偶函数的对称性，及题设方程有唯一解，有时方程成立，即得，进而写出数列通项；（2）由（1）及已知可得，令得，即知先减后增，进而求的取值范围.【详解】设，则为偶函数，（1）由关于的方程有唯一的解，知是该方程的唯一解，则有，∴数列为等差数列，而，易得，则；（2）由，可得，则，令，则，易得，当时，，当时，，∴有，当为偶数时，从而得；当为奇数时，，从而得；综上可得得取值范围为.故答案为：；.【点睛】关键点点睛：（1）应用函数思想，根据偶函数的对称性且对应方程的解唯一，确定的关系，进而写出数列通项公式；（2）由（1）所得数列通项，将题设不等式转化为，令，判断其增减性，进而求参数范围.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知，函数．（1）求的最小正周期；（2）求的单调减区间；（3）求在区间上的最大值．【答案】（1）π；（2）单调递减区间为，；（3）．【解析】【分析】（1）求出，直接套公式求出最小正周期；（2）利用复合函数单调性的法则直接求出的单调递减区间；（3）先求出2x+∈[0，π]，即可求出f(x)在区间[﹣，]上的最大值．【详解】（1）由＝2sinx（cosx﹣sinx）+1＝2sinxcosx﹣2sin²x+1＝sin2x+cos2x＝sin（2x+），T＝＝π，所以f(x)的最小正周期为π．（2）要求的单调减区间，只需2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，所以的单调递减区间为，．（3）因为x∈[﹣，]，所以2x∈[﹣，]，所以2x+∈[0，π]，当2x+＝，即x＝时，f(x)在区间[﹣，]上的最大值为．18. 在中，内角的对边分别为，且.（1）求角的大小；（2）①，②，③以上三个条件任选两个，求边，角.【答案】（1）；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）由正弦定理化边为角，可求得；（2）选①②，由正弦定理化角为边，再由余弦定理可得，由勾股定理逆定理得角；选①③，由正弦定理求得，得角，在直角三角形中求得；选②③，由正弦定理直接求得，再由勾股定理逆定理得角．【详解】解：（1）因为在中，内角，，的对边分别为，，，所以，由正弦定理，可将化为，，则，即，所以；（2）若选①②，由可得，因为，由余弦定理可得，则，解得，由得．若选①③，由正弦定理可得，，则，所以，则；因此．若选②③，由可得，因为，所以，由得．19. 年月日，中国向世界庄严宣告，中国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下万农村贫困人口全部脱贫，个贫困县全部摘帽，万个贫困村全部出列，区域性整体贫困得到解决，完成了消除绝对贫困的艰巨任务，困扰中华民族几千年的绝对贫困问题得到了历史性的解决！为了巩固脱贫成果，某农科所实地考察，研究发现某脱贫村适合种植、两种经济作物，可以通过种植这两种经济作物巩固脱贫成果，通过大量考察研究得到如下统计数据：经济作物的亩产量约为公斤，其收购价格处于上涨趋势，最近五年的价格如下表：年份编号年份单价（元/公斤）经济作物的收购价格始终为元/公斤，其亩产量的频率分布直方图如下：（1）若经济作物的单价（单位：元/公斤）与年份编号具有线性相关关系，请求出关于的回归直线方程，并估计年经济作物的单价；（2）用上述频率分布直方图估计经济作物的平均亩产量（每组数据以区间的中点值为代表），若不考虑其他因素，试判断年该村应种植经济作物还是经济作物？并说明理由．附：，．【答案】（1），元/公斤；（2）应该种植经济作物；理由见解析．【解析】【分析】（1）利用表格数据求出中心点值，再利用最小二乘法求出回归直线方程，进而利用所求方程进行预测；（2）先利用频率分布直方图的每个小矩形面积之和为1求得值，再利用平均值公式求其平均值，再比较两种作物的亩产量进行求解.【详解】（1），，．则关于的回归直线方程为．当时，，即估计年经济作物的单价为元/公斤．（2）利用频率和为得：，所以．经济作物的亩产量的平均值为：，故经济作物亩产值为元，经济作物亩产值为元．，应该种植经济作物．20. 数列中，，，设．（1）求证：数列是等比数列；（2）求数列的前项和；（3）若，为数列的前项和，求不超过的最大的整数．【答案】（1）证明见解析 ；（2） ；（3） 2021．【解析】【分析】(1)将两边都加，证明是常数即可；(2)求出的通项，利用错位相减法求解即可；(3)先求出，再求出的表达式，利用裂项相消法即可得解.【详解】（1）将两边都加，得，而，即有，又，则，，所以数列是首项为，公比为的等比数列；（2）由（1）知，，则，，，因此，，所以；（3）由（2）知，于是得，则，因此，，所以不超过的最大的整数是2021．21. 正态分布有极其广泛的实际背景，生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述.例如，同一种生物体的身长、体重等指标.随着“绿水青山就是金山银山”的观念不断的深入人心，环保工作快速推进，很多地方的环境出现了可喜的变化.为了调查某水库的环境保护情况，在水库中随机捕捞了100条鱼称重.经整理分析后发现，鱼的重量x（单位：kg）近似服从正态分布，如图所示，已知.（Ⅰ）若从水库中随机捕捞一条鱼，求鱼的重量在内的概率；（Ⅱ）（ⅰ）从捕捞的100条鱼中随机挑出6条鱼测量体重，6条鱼的重量情况如表.重量范围（单位：kg）条数132为了进一步了解鱼的生理指标情况，从6条鱼中随机选出3条，记随机选出的3条鱼中体重在内的条数为X，求随机变量X的分布列和数学期望；（ⅱ）若将选剩下的94条鱼称重做标记后立即放生.两周后又随机捕捞1000条鱼，发现其中带有标记的有2条.为了调整生态结构，促进种群的优化，预备捕捞体重在内的鱼的总数的40%进行出售，试估算水库中鱼的条数以及应捕捞体重在内的鱼的条数.【答案】（Ⅰ）0.22；（Ⅱ）（ⅰ）分布列见解析，1.5；（ⅱ）47000，4136.【解析】【分析】（Ⅰ）根据正态分布曲线的对称性有，可得出答案.
（Ⅱ）（ⅰ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，求出各种情况的概率，可得到其概率分布列，再由公式求出数学期望.
（ⅱ）设水库中共有N条鱼，根据题意有，先求出N，又由（Ⅰ）可知，从而可求出体重在内的鱼的条数.【详解】（Ⅰ）由正态分布的对称性可知，. （Ⅱ）（i）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，；；；， 所以X的分布列为X0123P 数学期望. （ii）设水库中共有N条鱼，根据题意有则（条），所以估计水库中有47000条鱼. 由（Ⅰ）可知，则体重在内的鱼应捕捞（条）【点睛】本题考查利用正态分布曲线的对称性求概率，考查随机变量的分布列和数学期望，用样本估计总体，是概率统计在实际生活中的应用，属于中档题.22. 定义：函数，的定义域的交集为，，若对任意的，都存在，使得，，成等比数列，，，成等差数列，那么我们称，为一对“函数”，已知函数，，．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）若，对任意的，，为一对“函数”，求证：．（为自然对数的底数）【答案】（Ⅰ）在上递减，在上递增；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）证明见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）求出，讨论其符号后可得函数的单调区间.（Ⅱ）根据（Ⅰ）中的结果可将原不等式的证明转化为证明，构建新函数后利用导数可证后者成立.（Ⅲ）因为对任意，存在，使得且 ，化简后利用（Ⅱ）中的不等式结合特值法可得，利用导数可估计该不等式的解对应的区间的长度，从而可证明.【详解】解：（Ⅰ），当时，；当时，，∴在上递减，在上递增．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，要证，即证，设函数，，当时，，当时，，故在为减函数，在上为增函数，故，即恒成立，所以，综上，．（Ⅲ）由题设，对任意，存在，使得，且，而，故.法一：由（Ⅱ）得，∴．令，则，令，，∴在上递增，在上递减，又，，，由零点存在性定理得存在（），使得，故不等式的解为．故，证毕．法二：由均值不等式得．故，令，则，同法一，有不等式的解为．故，证毕．【点睛】思路点睛：函数不等式的证明，一般是构建新函数，通过导数讨论新函数的最值从而不等式得到证明，而对于多变量的等式，要求某一个参数的取值范围，则需通过放缩法、特殊值法等手段构建关于参数的不等式，再结合导数讨论对应函数的性质，从而得到所需的范围.