2022届甘肃省天水市一中高三上学期第三次考试数学（文）试题含答案

天水一中高三级2021-2022学年度第一学期第三次考试

数学试题（文科） 

（满分：150分　　时间：120分钟）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．

1．设集合，，则（    ）

A． B．（3，4] C．（3，4） D．（4，）

2．已知复数满足，则复数的虚部为（    ）

A．1 B． C． D．

3．已知，且，则（    ）

A． B． C． D．

4．使得成立的一个充分不必要条件是（    ）

A． B． C． D．

5．设是等差数列的前项和，若，则（    ）

A．2 B． C．1 D．

6.在新冠肺炎疫情期间某小区对在外务工，春节返乡人员进行排查，现有甲、乙、丙、丁四名返乡人员，其中只有一个人去过高风险地区.甲说：“乙或丙去过高风险地区，”乙说：“甲和丙都没去过高风险地区.”丙说：“我去过高风险地区.”丁说：“乙去过高风险地区，”这四个人的话只有两句是对的，则去过高风险地区的是（    ）

A．丁 B．丙 C．乙 D．甲

7．已知a为实数，函数的导函数为，且是偶函数，则曲线在点处的切线方程为（    ）

A．           B．

C．         D．

8．某几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是等腰直角三角形，俯视图是边长为2的正方形，则该几何体的体积等于（    ）

A．8        B．           C．          D．

9．已知数列满足，，则数列的通项公式为（    ）

A． B． C． D．

10．将函数的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像，则函数在的值域为（    ）

A． B． C． D．

11．在正方体中，M为的中点，则直线与BM所成的角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

12．已知函数.若，都有，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知向量(-3,3)，（m,1），且⊥(2)，则＝_____．

14．设实数满足约束条件，则的最大值是_____．

15．已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径.若平面平面SCB，，，三棱锥的体积为9，则球O的表面积为_____．

16．函数满足，当时，，若有个不同的实数解，则实数的取值范围是_____．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分.

17．（12分）

在中，内角的对边分别为，已知．

(1)求角；

(2)若，求的最小值．

18.（12分）

据报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改革”引起广泛关注，为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了3 000人进行调查，就“是否取消英语听力”问题进行了问卷调查统计，结果如下表：

已知在全体样本中随机抽取1人，抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.06.

(1)现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取300人进行问卷访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？

(2)在持“应该保留”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人，然后从这6人中随机抽取2人，求这2人中恰好有1个人为在校学生的概率．

19.（12分）

如图，在四棱锥中，底面为正方形，△是正三角形，侧面底面，是的中点.

（1）求证：平面；

（2）求三棱锥与四棱锥的体积比.

20.（12分）

在① ，；② ，这两组条件中任选一组，补充在下面横线处，并解答下列问题.

已知数列的前项和是，数列的前项和是. ___________.

（1）求数列，的通项公式；

（2）设，证明：.

（注：条件①、②只能任选其一，若两个都选，则按第一个解答计分）

21.（12分）

已知函数，.

（1）若是的极值点，求的值并说明是极大值点还是极小值点；

（2）若有两个不同的零点，求的最小整数值.

（二）选考题:共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系中，点在倾斜角为的直线上，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的方程为.

（1）写出的参数方程及的直角坐标方程；

（2）设与相交于两点，求的最小值.

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

 已知函数的最小值为．

（1）求的值；

（2）若，，，求证．

天水一中高三级2021—2022学年度第一学期第三次考试

数学试题（文科）参考答案

一、选择题(本题共12题，每小题5分，共60分)

二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

13.﹣11       14.7              15.36π           16.

四、解答题 (共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．)

（一）必考题：共60分

17．（本小题满分12分）

【解】(1) ∵中，，

∴由正弦定理知，，∵，

∴，

∴，

∴，∴，∴．

(2) 由 (1)及得，

所以

当且仅当时取等号，所以的最小值为

18．（本小题满分12分）

【解】(1)由抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.06，

∴，∴，

∴持“无所谓”态度的人数共有，

∴应在“无所谓”态度抽取人，

(2)由(1)知持“应该保留”态度的一共有180人，

∴在所抽取的6人中，在校学生为人，分别记为1，2，3，4，

社会人士为人，记为，

则这6人中任意选取2人，共有15种不同情况，分别为，，，，，，，，，，，，，，，

这2人中恰好有1个人为在校学生：，，，，，，，共8种，故这2人中恰好有1个人为在校学生的概率为.

19．（本小题满分12分）

【解】（1）因为平面平面，底面为正方形，，所以平面，所以，

又因为△是正三角形，是的中点

所以，所以平面.

（2）设，，，

所以

20．（本小题满分12分）

【解】选条件①：

（1）由可得，

两式相减可得：，所以，

在中令，可得，所以，

所以是以为首项，公比为的等比数列，，

故数列的通项公式为，数列的通项公式为；

（2）由（1）知，

设，

，

两式相减可得

所以，即；

选条件②：

（1）由可得

两式相减可得：，即，

所以，

在中，令，可得：，所以，

所以由，

， ，

，

所以，

从而，所以，.

故数列的通项公式为，数列的通项公式为.

（2）由（1）知，

所以.

21.（本小题满分12分）

【解】（1）由题可知的定义域为，

，，

由得，由题意知，所以.

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，所以是的极小值点

（2）若，则恒成立，在上单调递增，不符合条件.

若，则当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

因为有两个不同的零点，

所以，

结合，上式化为.

因为当时，，

当时，，

且当时，，，有两个零点，符合题意，所以的最小整数值为.

（二）选考题:共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做．则按所做的第一题计分．

22．（本小题满分10分）

【解】（1）的参数方程为（为参数）．

由得，的直角坐标方程是．

（2）将的参数方程代入的直角坐标方程得．

因为，，，

所以．

所以 ，

当时等号成立．因此取最小值． 

23． （本小题满分10分）

【解】（1），取等号时，，

即，故m=4．                                               

（2）由（1）a+b=4，所以．

因为，取等号时，，

因为a+b=4，所以a=，．故．