2021届黑龙江省哈尔滨第六中学高三三模数学（理）试题含解析

这是一份2021届黑龙江省哈尔滨第六中学高三三模数学（理）试题含解析，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021届黑龙江省哈尔滨第六中学高三三模数学（理）试题


一、单选题
1．设复数满足（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】由复数的除法运算可整理得到，由此得到对应的点的坐标，从而确定所处象限.
【详解】由得：，
对应的点的坐标为，位于第一象限.
故选：.
【点睛】本题考查复数对应的点所在象限的求解，涉及到复数的除法运算，属于基础题.
2．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】解出集合、，利用交集的定义可求得集合.
【详解】解分式不等式得，故，
解一元二次不等式得 ，故，
所以.
故选：A.
【点睛】本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式以及分式不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.
3．“瓦当”是中国古建筑装饰檐头的附件，是中国特有的文化艺术遗产，为探究下面“瓦当”图案的面积，向半径为10的圆内投入1000粒芝麻，落入阴影部分的有400粒.则估计“瓦当”图案的面积是（ ）

A．40 B． C．4 D．
【答案】B
【分析】利用几何概型概率公式计算估计．
【详解】据题意，芝麻落入阴影部分的概率为，
设“瓦当”图案的面积为，则，．
故选：B．
4．若，则（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【分析】先根据诱导公式化简得,再结合半角公式整理得.
【详解】由诱导公式化简整理得：，
由于，
所以
故选：A
【点睛】本题考查诱导公式化简，半角公式，同角三角函数关系，考查运算求解能力，本题解题的关键在于寻找与之间的关系，从半角公式入手化简整理.考生需要对恒等变换的相关公式熟记.
5．已知，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据基本不等式及充分条件、必要条件的定义判断即可；
【详解】解：，，则；

当时，．故成立；
反之不成立，例如取，，则，但．
故当，时，，推不出；
因此，，则“”是“”的的充分不必要条件．
故选：．
6．已知是空间中两个不同的平面，是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ）
A．若，且，则
B．若，且，则
C．若，且，则
D．若，且，则
【答案】D
【分析】利用线面平行和垂直的判定定理和性质定理,对选项做出判断，举出反例排除.
【详解】解：对于，当，且，则与的位置关系不定，故错；
对于，当时，不能判定，故错；
对于，若，且，则与的位置关系不定，故错；
对于，由可得，又，则故正确．
故选：．
【点睛】本题考查空间线面位置关系.判断线面位置位置关系利用好线面平行和垂直的判定定理和性质定理. 一般可借助正方体模型，以正方体为主线直观感知并准确判断．
7．已知过点的直线与圆：相切于A、两点，那么（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】连结、OA、，在直角三角形OAP和OBP中，利用正、余弦的定义求出，的值，利用二倍角公式即可求出.
【详解】
连结、OA、，可得，，且OA⊥PA, OB⊥PB,
在直角三角形OAP和OBP中，利用正、余弦的定义得：
，
∴，
.
故选：C．
【点睛】解析几何问题解题的关键：解析几何归根结底还是几何，根据题意画出图形，借助于图形寻找几何关系可以简化运算．
8．已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，然后由求解.
【详解】当时，，，
为偶函数，
又时，在上单调递减，
，
解得
故选：C.
9．过抛物线焦点的直线交该抛物线于点，，与抛物线的准线交于点．若点到轴距离为2，则　　
A．16 B．12 C．8 D．18
【答案】A
【分析】设直线的方程与抛物线联立，求出两根之和及之积，用坐标表示即可求出数量积．
【详解】解：由题意知：抛物线的焦点，准线方程，由题意设，这时，
设直线的方程为，设，联立与抛物线的方程整理得：
，，，，，

，
故选：．
【点睛】考查直线与抛物线的综合应用，属于中档题．
10． 2018年翼装飞行世界锦标赛在张家界举行，下图反映了在空中高速飞行的某翼人从某时刻开始15分钟内的速度v(x)与时间x的关系，若定义“速度差函数”u(x)为时间段[0，x]内的最大速度与最小速度的差，则u(x)的图像是(　　)

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据，“速度差函数”u（x）的定义，分x∈[0，6]、x∈[6，10]、x∈[10，12]、x∈[12，15]四种情况，分别求得函数的解析式，从而得到函数的图象．
【详解】由题意可得，当x∈[0，6]时，翼人做匀加速运动，v（x）=80+x，
“速度差函数”u（x）=x．
当x∈[6，10]时，翼人做匀减速运动，速度v（x）从160开始下降，一直降到80，
u（x）=160﹣80=80．
当x∈[10，12]时，翼人做匀减速运动，v（x）从80开始下降，v（x）=180﹣10x，
u（x）=160﹣（180﹣10x）=10x﹣20．
当x∈[12，15]时，翼人做匀加速运动，“速度差函数”u（x）=160﹣60=100，
结合所给的图象，
故选D．
【点睛】本题主要考查，“速度差函数”u（x）的定义，函数的图象，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．
11．已知圆锥的顶点和底面圆周均在球O的球面上，且该圆锥的高为8.母线，点B在上，且，则过点B的平面被该球O截得的截面面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设球半径为R，由题意可得的长，在中由勾股定理可求得R,取AS中点N，由已知条件可得OB长，当截面圆面积最小时，当且仅当垂直于截面，由勾股定理可得截面圆的半径，进而求得面积.
【详解】如图,球的球心为O，半径为R，则，，，
所以，即，解得，
取的中点N，，，则，
所以，，
过点B的平面被该球O截，若截面面积最小，则垂直于截面，此时截面圆半径为，所以截面面积的最小值为.
故选：B.

【点睛】本题考查被球截得的截面面积最小值的求法，考查空间中线线、线面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和运算求解能力，是中档题．
12．对于任意的实数，总存在三个不同的实数，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将进行分离，构造关于和的函数，分别求得单调性和值域，数形结合，将问题转化为函数图像有3个交点的问题，即可求得.
【详解】对方程进行转化，因为，
故可得，不妨令，令
则，令，解得，
故函数在上单调递增，故.
又，令，解得或，
故函数在区间和单调递减，在区间单调递增，
在上的最大值为，最小值为，且，，
故在坐标系中画出函数的图像如下：

故要满足题意，只需函数的值域是的子集即可.
故需要满足且，解得.
故选：D.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和值域，涉及数形结合，属综合性中档题.


二、填空题
13．如某校高中三年级的300名学生已经编号为0，1，……，299，为了了解学生的学习情况，要抽取一个样本数为60的样本，用系统抽样的方法进行抽取，若第59段所抽到的编号为293，则第1段抽到的编号为___.
【答案】3
【详解】依题意可得，将300名学生按顺序分别了60段，每5人一段，则第59段是编号290到294的学生．因为第59段抽到的学生编号为293，即第4个人．第1段是编号0到4的学生，则抽到的编号是3.
14．在的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，且所有项的系数和为0，则含的项系数为___________.
【答案】45
【分析】由题意利用二项式系数的性质求得的值，在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于6，求出的值，即可求得含的项系数．
【详解】解：的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，，
再令，可得所有项的系数和为，．
故二项展开式的通项公式为，
令，求得，可得含的项系数为，
故答案为：45．
15．在讨论勾股定理的过程中，《九章算术》提供了许多整勾股数，如，等等.其中最大的数称为“弦数”，后人在此基础上进一步研究，得到如下规律：若勾股数组中的某一个数是确定的奇数（大于1），把它平方后拆成相邻的两个整数，那么奇数与这两个整数构成一组勾股数，若勾股数组中的某一个数是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1所得到的两个整数和这个偶数构成一组勾股数.由此得到的这种勾股数称之为“由生成的一组勾股数”.若“由17生成的这组勾股数”的“弦数”为，“由20生成的这组勾股数”的“弦数”为，则____________.
【答案】246
【分析】根据题意，是奇数，平方后将结果拆分成两个相邻整数得到勾股数，即可得；是偶数，除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1所得到勾股数，即可求得.
【详解】因为是奇数，由题意把平方后拆成相邻的两个整数，可知，而，
则“由17生成的这种勾股数”为：，则；
因为是偶数，由题意把除以2后再平方，可得，把100分别减1，加1所得到的两个整数为，所以“由20生成的这种勾股数”为：，则，
则.
故答案为:246
【点睛】本题考查了类比推理的简单应用，正确理解题意是解决此类问题的关键，属于基础题.

三、双空题
16．已知点为双曲线：(，)在第一象限上一点，点为双曲线的右焦点，为坐标原点，，则双曲线的离心率为_________；若、分别交双曲线于、两点，记直线与的斜率分别为、，则_________
【答案】4 15
【分析】设，由已知得，将其代入双曲线方程得，可求得双曲线的离心率；设，又，则表示，将点、的坐标分别代入双曲线方程可求得答案.
【详解】设，则，则，，
即，将其代入双曲线方程得：，即，
又，∴，即，
两边同除以得，即，
解得或，又，∴；
设，又，则，
将点、的坐标分别代入双曲线方程得，
两式作差得：，故.
故答案为：4；15.
【点睛】方法点睛：(1)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，利用和转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．
（2）对于焦点三角形，要注意双曲线定义的应用，运用整体代换的方法可以减少计算量．

四、解答题
17．已知等差数列和正项等比数列满足，，.
（1）求数列，的通项公式.
（2）设数列中，求和：.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据基本量，即可容易求得等差数列和等比数列的通项公式；
（2）利用分组求和以及等差数列和等比数列前项和的求和公式，即可容易求得结果.
【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，所以，
又，所以，
即，
设正项等比数列的公比为，因为
即，由，知，
所以.
（2），
设，则



.
【点睛】本题考查利用基本量求等差数列和等比数列的通项公式，以及用基本量求解等差和等比数列的前项和，涉及分组求和，属综合基础题.
18．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，ABCD为直角梯形，AD∥BC，BC⊥CD，平面SCD⊥平面ABCD．△SCD是以CD为斜边的等腰直角三角形，BC＝2AD＝2CD＝4，E为BS上一点，且BE＝2ES．

（1）证明：直线SD∥平面ACE；
（2）求二面角S﹣AC﹣E的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）连接交于点，连接．由，得与相似．推导出．由此能证明直线平面．
（2）推导出平面．以为坐标原点，所在的方向分别为轴、轴的正方向，与均垂直的方向作为轴的正方向，建立空间直角坐标系．利用向量法能求出二面角的余弦值．
【详解】解：（1）证明：连接交于点，连接．
因为，所以与相似．
所以．
又，所以．
因为平面，平面，所以直线平面．
（2）解：平面平面，平面平面，平面，
，所以平面．
以为坐标原点，所在的方向分别为轴、轴的正方向，
与均垂直的方向作为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
则，0，，，1，，，2，，，
，2，，，1，，．
设平面的一个法向量为，，，
则，令，得，，，
设平面的一个法向量为，，，
则，令，得，，．
设二面角的平面角的大小为，
则．
所以二面角的余弦值为．

【点睛】本题考查了立体几何中的线面的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
19．已知椭圆：()的左､右焦点分别为，，过作垂直于轴的直线交椭圆于，两点，且满足.
（1）求椭圆的离心率；
（2），是椭圆短轴的两个端点，设点是椭圆上一点(异于椭圆的顶点)，直线､分别与轴相交于，两点，为坐标原点，若，求椭圆的方程.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）令，根据题意，得到，结合离心率的公式，即可求解；
（2）设，求得和，结合，求得的值，再由离心率，求得的值，即可求解.
【详解】（1）由题意，令，可得，解得，可得，
又由，整理得，即，
即，解得，即椭圆的离心率为.
（2）由椭圆的方程，可得，
设，所以，
则方程为，令，可得，
同理方程，令，可得，
因为，解得，
又因为，所以，则，
所以椭圆方程为.
20．为了推进分级诊疗，实现“基层首诊､双向转诊､急慢分治､上下联动”的诊疗模式，某城市自2020年起全面推行家庭医生签约服务.已知该城市居民约为1000万，从0岁到100岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图1所示.为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了1000名年满18周岁的居民，各年龄段被访者签约率如图2所示.


（1）估计该城市年龄在50岁以上且已签约家庭医生的居民人数；
（2）据统计，该城市被访者的签约率约为44%.为把该城市年满18周岁居民的签约率提高到55%以上，应着重提高图2中哪个年龄段的签约率？并根据已有数据陈述理由.
【答案】（1）万；（2）应着重提高30-50这个年龄段的签约率，理由见解析.
【分析】（1）根据题中频率分布直方图与各年龄段被访者的签约率，分别计算50岁以上各年龄段的居民人数，再求和，即可得出结果；
（2）根据题中条件，先确定年龄在18-30岁的人数，年龄在30-50岁的人数，以及年龄在50岁以上的人数，即可确定结果.
【详解】（1）该城市年龄在50-60岁的签约人数为：万；
在60-70岁的签约人数为：万；
在70-80岁的签约人数为：万；
在80岁以上的签约人数为：万；
故该城市年龄在50岁以上且已签约家庭医生的居民人数为：万；
（2）年龄在10-20岁的人数为：万；
年龄在20-30岁的人数为：万.
所以，年龄在18-30岁的人数大于180万，小于230万，签约率为30.3%；
年龄在30-50岁的人数为万，签约率为37.1%.
年龄在50岁以上的人数为：万，签约率超过55%，上升空间不大.
故由以上数据可知这个城市在30-50岁这个年龄段的人数为370万，基数较其他年龄段是最大的，且签约率非常低，所以为把该地区满18周岁居民的签约率提高到以上，应着重提高30-50这个年龄段的签约率.
21．已知函数，为的导数.
（1）设函数，求的单调区间；
（2）若有两个极值点，
①求实数a的取值范围；
②证明：当时，.
【答案】（1）答案见解析；（2）①；②证明见解析.
【分析】（1）首项求，并且得到函数的解析式，并求，讨论和求函数的单调区间；（2）①有两个极值点，所以有两个零点，根据（1）的单调性，可知，并求出函数的极小值，讨论，并结合零点存在性定理求的取值范围；②首先判断，并根据是的两个零点，并转化和，构造函数，利用导数判断函数的单调性，证明不等式.
【详解】解：（1）依题意，的定义域为，且，
则.
①当时，在上恒成立，单调递减；
②当时，令得，，
所以，当时，，递减；
当时，，递增.
综上，当时，的减区间为，无增区间；
当时，的减区间为，增区间为.
（2）①因为有两个极值点，所以有两个零点.由（1）知，时不合；
当时，.
（i）当时，，没有零点，不合；
（ii）当时，，有一个零点，不合；
(ⅲ)当时，.
，
设，，则.
所以，即.
所以存在，使得.
又因为，所以存在，使得.
的值变化情况如下表：
x






+
0
-
0
+


极大值

极小值

所以当时，有两个极值点.
综上，a的取值范围是.
②因为，，
所以.
因为是的两个零点，
所以，.
所以，.
记，则，
所以在上单调递增.
又因为，所以，即.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）当为参数，时，曲线与只有一个公共点，求；
（2）当为参数，时，曲线与相交于，且，求的值．
【答案】（1）或；（2）．
【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的互化，参数方程消去参数，分别化为普通方程；根据两个圆的位置关系，内切与外切，求解即可．
（2）当为参数时，曲线为过点的直线，通过弦长，说明直线过圆的圆心，由此求解斜率，然后求解的值．
【详解】解：（1）曲线的直角坐标方程为：，
当为参数时，曲线的直角坐标方程为，
又曲线与只有一个公共点，故曲线与的位置关系是外切或内切，
（ⅰ）当与外切时，，解得：；
（ⅱ）当与内切时，，解得：，
故或．
（2）当为参数时，曲线为过点的直线，
又曲线是直径为的圆，且，所以直线过圆的圆心，
则直线的斜率，因为，所以．
23．设函数的最小值为．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，，证明：．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.
【分析】（Ⅰ）应用零点分段法，讨论、、时的取值范围，进而确定其最小值即为所求m的值.
（Ⅱ）结合（Ⅰ），利用三元基本不等式证明不等式即可，注意等号成立的条件.
【详解】（Ⅰ）当时，；
当时，；
当时，．
综上，当时，，
∴．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，求证．
∵，，
∴，．
∴．
当且仅当即时，等号成立．
【点睛】关键点点睛：
（1）根据零点，应用分类讨论，求绝对值函数的值域，进而确定最值；
（2）三元基本不等式的应用，注意等号成立的条件.