2022届黑龙江省鹤岗市第一中学高三上学期期末考试数学（文）试题含答案

鹤岗一中2021-2022学年度高三第四次月考

数学文科试题

一、单选题：（共12小题，每题5分，共60分）

A． B． C． D．

2．已知复数，则（    ）

A． B． C． D．

3．“”是“的最小正周期为”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．已知，则（    ）

A． B．

C． D．

5．设偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集是（    ）

A． B．

C． D．

6．等比数列的各项均为正数，且，则

A． B． C．10 D．

7．已知l，m是空间中两条不同的直线，α，β是空间中两个不同的平面，下列说法正确的是（    ）

A．若l⊥α，m∥l，mβ，则α⊥β B．若α∥β，l∥α，则l∥β

C．若l⊥m，l⊥α，α∥β，则m∥β D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β

8．如图所示，在中，，，，AD为BC边上的高，M为AD

A． B． C． D．

9．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，

，则的值为（   ）

A． B． C． D．

10．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A．或 B．或

C． D．

11．已知分别是双曲线的左、右焦点，动点P在双曲线的左支上，

点Q为圆上一动点，则的最小值为（    ）

A．6 B．7 C． D．5

12．已知函数，若对任意，都有，则实数a

的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

二、填空题：（共4小题，每题5分，共20分）

13．甲,乙,丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，

甲说：我没去过A城市；     乙说：我去过的城市比甲多，但没去过C城市；

丙说：我们三人去过同一城市；

由此可判断甲去过的城市为___________

14．若实数x，y满足约束条件，则的最大值为___________．

15．若圆锥的侧面展开图是半径为2，圆心角为90°的扇形，则这个圆锥的全面积是___________.

16．已知，为双曲线：（，）的左、右焦点，双曲线的离心率为2，点在双曲线的右支上，且的中点在圆：上，其中为双曲线的半焦距，则______.

三、解答题（共70分，17-21题每题12分）

17.已知数列的前项和为，，.

（1）求数列的通项；

（2）若，数列的前项和为，求证：

18．在△中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

（1）求角；    

19．如图所示的四棱锥中，底面为正方形，平面平面，，，分别是，，的中点，，．

（1）求证：平面；      （2）求三棱锥的体积．

20．已知椭圆与双曲线有公共焦点，且右顶点为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设直线：与椭圆交于不同的，两点（，不是左右顶点），

若以为直径的圆经过点．求证：直线过定点，并求出定点．

21．已知函数.

（1）若，求证；函数在上单调递增；

（2）若关于x的不等式在上恒成立，求整数m的最小值.

（选考题，10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，按所做题的第一题记分.）

22．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知圆和圆的极坐标方程分别是和．

（1）求圆和圆的公共弦所在直线的直角坐标方程；

（2）若射线：与圆的交点为O，P，与圆的交点为O，Q，求的值．

23．设

（1）解不等式；

（2）对任意的非零实数，有恒成立，求实数的取值范围.

高三文数答案

一、选择题：

1．C     2．D    3．A     4．A    5．C    6．C   7．A    8．D

9．A     10．D   11．A

12．B

【详解】

由题，可得在上恒成立；

设，由于，

所以在上是增函数，则有当时，；

令，则有，，

所以函数；

由于，当时，，在上是减函数；

当时，，在上是增函数；

所以当时，，则有；

故.

故选：B.

二、填空题：

13．B     14．5     15．     16．

三、解答题：

17. （1）解：因为,，

所以当时，，

则，所以，

所以数列是以2为首项、公比为2的等比数列，

所以.

（2）证明：由（1）知，，

所以，

所以

.

18.（1）△中，，由正弦定理知，，

∵，∴ ，

∴，∴，

∴，    又∵ , ∴；

（2）由（1）及得，

所以,

当且仅当时取等号，所以的最小值为.

19．（1）

在中，，为的中点，则，又平面平面，

平而平面，平而，于是得平面，

而平面，则，又底面是正方形，，分别是，

的中点，即，

因，平面，

所以平而.

（2）因为的中点，则点到平面的距离是点到平面的

距离的，如图，

因此，，

所以三棱锥的体积为.

20．（1）双曲线的半焦距为：，所以椭圆的焦点坐标为：

，椭圆的右顶点为，

设椭圆的标准方程为：，

所以，

因此椭圆的标准方程为：；

（2）直线方程与椭圆方程联立，

得，设，

于是有：，

，

因为以为直径的圆经过点，

所以，

即，化简得：

，而，

所以有：，化简得：

或 ，

显然满足，

当时，，此时直线过椭圆的右顶点不符合题意；

当时，，此时直线恒过点，

综上所述：直线过定点，定点为.

21．（1）依题意，，

则，

故当时，，故函数在上单调递增.

（2）依题意，，对任意的恒成立，

∵，∴，

只需对任意的恒成立即可.           

构造函数，由（1）可知，

，

∵，∴，且单调递增.           

∵，

∴一定存在唯一的，使得，即，

∴的单调递增区间为，单调递减区间为，           

∴，

  ，所以

故整数m的最小值为.

22.解：（1）圆：即，则，

圆：即，则，

两式相减得到两圆公共弦所在直线的直角坐标方程为：.

（2）将代入圆和圆的极坐标方程得：，所以.

23.解：（1）

令

当时

当时

当时

综上所述

（2）恒成立等价于

（当且仅当时取等）

恒成立