2022届上海市高三上学期一模暨春考模拟卷（一）数学试题（含解析）

2022届高三一模暨春考数学模拟试卷一

一．填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）

1. 已知集合，，则__________.

【答案】

【解析】

【分析】通过解一元二次不等式，求解函数值域，结合，，用列举法表示集合，再结合补集的定义，即得解

【详解】由题意，，又

又

由于，又

故

故答案为：

2. 已知一个关于、的二元一次方程组的增广矩阵是，且，则__________；

【答案】

【解析】

【分析】根据增广矩阵可求出，再由求出，即可求解.

【详解】由题意可知，

解得，

又因为，

所以，

故，

即，

故答案为：

3. 是虚数单位，若复数是纯虚数，()，则的取值范围为__________；

【答案】

【解析】

【分析】由为纯虚数，可得，则，即得解

【详解】由题意，为纯虚数，

故

，即

故答案为：

4. 若，则__________

【答案】或

【解析】

【分析】根据行列式及对数的运算法则、性质求解.

【详解】因为，

所以，

即，

解得或，

故答案为：或

5. 在报名的8名男生和5名女生中，选取6人参加志愿者活动，若男生甲和女生乙不同时参加，则事件发生的概率为__________(结果用数值表示)．

【答案】

【解析】

【分析】根据组合知识计算总的取法，再由间接法求出男生甲和女生乙不同时参加的取法，根据古典概型求解即可.

【详解】13人中任选6人参加有种，再除去甲乙2人同时参加的情况有种，

由古典概型可知.

故答案为：

6. 已知圆锥的母线长为5，侧面积为，过此圆锥的顶点作一截面，则截面面积最大为__________

【答案】

【解析】

【分析】圆锥轴截面顶角（两母线夹角）小于等于时，轴截面面积最大，轴截面夹角大于时，母线夹角为时截面面积最大.

【详解】设圆锥的底面半径为r，则，

，

圆锥的高，

设轴截面中两母线夹角为，则，

，

所以当两母线夹角为时，过此圆锥顶点的截面面积最大，

最大面积为.

故答案为：

7. 若二项式的展开式中的三次项的系数是168，则__________

【答案】1或

【解析】

【分析】利用二项式定理展开式公式可得，令可得的三次项的系数为：，解得 ，由等比数列前n项和公式，以及当时，，，代入即得解

【详解】由二项式定理展开式公式可得展开式的通项公式为：

，

令可得：，则的三次项的系数为：，

据此可得：，解得：，

故当时，

则

当时，

当时，

故答案为：1或

8. 已知椭圆()的焦点、，抛物线的焦点为，若，若恒成立，则的取值范围为__________；

【答案】

【解析】

【分析】由，可得椭圆焦点在轴上，用坐标表示可得，即得解

【详解】由题意，故、、三点共线，即椭圆焦点在轴上，

故椭圆的焦点为，抛物线的焦点

用坐标表示，有

可得，即

故

即的取值范围为

故答案为：

9. 设是定义在上以2为周期的奇函数，当时，，则函数在[4，6]上的解析式是__________

【答案】

【解析】

【分析】根据函数的周期及函数为奇函数，分段求解函数的解析式即可.

【详解】因为是定义在上以2为周期的奇函数且时，，

设，则，

所以，

设，则，,

故.

综上可得，函数在上解析式是，

故答案为：

10. 已知，且满足，若存在使得成立，则点构成的区域面积为__________

【答案】

【解析】

【分析】转化为，即,即，则对应的区域为以为圆心，的圆的外部，用三角形面积减去区域内弓形的面积即可

【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：对应的区域为三角形OAB，

若存在R使得成立，

则

令,则,

则方程等价为，

即，

∵存在R使得成立，

∴,即，

则对应的区域为以为圆心，的圆的外部，即如图所示的阴影部分

由,解得,即，

A(4,0),则三角形OAB的面积，

直线的倾斜角为，

则,

取为直线交圆所得弦的中点，则

因此三角形OAB区域内的弓形面积为：

故阴影部分面积为：

故答案为：

11. 正三棱锥的所有棱长均为1，L，M，N分别为棱的中点，则该正三棱锥的外接球被平面所截的截面面积为________．

【答案】．

【解析】

【分析】结合已知条件计算出正三棱锥外接球球心的位置，得到球心到两个面的距离相等，即可计算出截面面积.

【详解】解：由条件知平面与平面平行，且点P到平面的距离之比为．设H为正三棱锥的面的中心，与平面交于点K，则平面，平面，故．

正三棱锥可视为正四面体，设O为其中心（即外接球球心），则O在上，且由正四面体的性质知．结合可知，即点O到平面等距．这表明正三棱锥的外接球被平面所截得的截面圆大小相等．从而所求截面的面积等于的外接圆面积，即．

故答案为：

【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是确定正三棱锥外接球的球心位置，在解答此类题目时要注意几何体的特征，还可以考虑一些特殊位置等.

12. 设，满足：关于x的方程恰有三个不同的实数解，且，则的值为_____．

【答案】144．

【解析】

【分析】令，将方程根的问题转化为函数问题，结合函数的奇偶性和单调性进行计算，即可得到结果.

【详解】解：令，则关于t的方程恰有三个不同的实数解．

由于为偶函数，故方程的三个实数解关于数轴原点对称分布，从而必有．以下求方程的实数解．

当时，，等号成立当且仅当；当时，单调增，且当时；当时，单调减，且当时．

从而方程恰有三个实数解．

由条件知，结合得．

于是．

故答案为：144

【点睛】关键点点睛：要求解方程的根，关键是转化为函数问题，结合函数的奇偶性和单调性进行求解，考查转化能力.

二．选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

13. “”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】D

【解析】

【分析】由，结合充分条件、必要条件的定义，即可判断

【详解】由题意，

故“”推不出“”，即充分性不成立；

“”也推不出“”，即必要性不成立

故“”是“”的既不充分也不必要条件

故选：D

14. 下面是关于复数的四个命题：

　　①；②；③的共轭复数为；④的虚部为．

其中正确的命题                            （　   ）

A. ②③ B. ①② C. ②④ D. ③④

【答案】C

【解析】

【详解】，

的虚部为．所以选②④，选C.

15. 将函数图象上的点向左平移（） 个单位长度得到点，若位于函数的图象上，则（ ）

A. ，的最小值为 B. ，的最小值为

C. ，最小值为 D. ，的最小值为

【答案】A

【解析】

【详解】由题意得，，

可得，

因为 位于函数的图象上

所以，

可得，

s的最小值为，故选A.

【名师点睛】三角函数图象的变换，有两种选择：一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩．特别注意：①平移变换时，当自变量x的系数不为1时，要将系数先提出；②翻折变换要注意翻折的方向；③三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换.

16. 在平面直角坐标系中，定义为两点、

的“切比雪夫距离”，又设点及上任意一点，称的最小值为点到

直线的“切比雪夫距离”，记作，给出下列三个命题：

① 对任意三点、、，都有；

② 已知点和直线，则；

③ 定点、，动点满足（），

则点的轨迹与直线（为常数）有且仅有2个公共点；

其中真命题的个数是

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

【答案】D

【解析】

【详解】设，由题意可得：

同理可得：,则：

，

命题①成立；

设点Q是直线y=2x-1上一点，且Q（x,2x-1），可得，

由，解得，即有，当时取得最小值；

由，解得或，即有，

的范围是，无最小值.

综上可得，P,Q两点的“切比雪夫距离”的最小值为.

说法②正确.

定点、，动点满足（），则：

，

显然上述方程所表示的曲线关于原点对称，故不妨设x≥0，y≥0.

(1)当时，有，得：；

(2)当时，有，此时无解；

(3)当时，有；

则点P的轨迹是如图所示的以原点为中心的两支折线.

结合图象可知，点轨迹与直线（为常数）有且仅有2个公共点，命题③正确.

综上可得命题①②③均正确，真命题的个数是3.

本题选择D选项.

点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.

三．解答题：

17. 在中，．求的取值范围．

【答案】

【解析】

【分析】由已知条件得到角的值，分类讨论两种情况，然后结合两角和的正弦公式逆用求得取值范围.

【详解】解：记．

由条件知或．

当时，，其中，此时

当时，，其中，此时

，

其中．

注意到，函数在上单调增，在上单调减，又，故．

综上所述，的取值范围是．

【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是熟练运用两角和正弦公式，需要注意对角的分类讨论.

18. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，平面，，．

（1）求点到平面的距离；

（2）求二面角平面角的余弦值．

【答案】（1）    （2）

【解析】

【分析】（1）建立空间直角坐标系，计算平面PBC的法向量，由点面距离的向量公式即得解；

（2）计算平面PCD的法向量，结合（1）中平面PBC的法向量，利用二面角的向量公式即得解

【详解】

（1）由题意，平面，，，

以A为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系

则P（0，0，1），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，3，0），

设平面PBC的一个法向量为=（x，y，z），

=(1，0，﹣1)， =(0，2，0)， =(﹣1，1，0)，

则，取x=1，得=(1，0，1)，

∴点D到平面PBC距离．

（2）由（1）可得平面PBC的一个法向量为=(1，0，1)，

设平面PCD的一个法向量为，

， =(﹣1，1，0)，

则，取，得，

设二面角的平面角为，由图得二面角为钝角

故

19. 已知点、依次为双曲线（，）的左、右焦点，且，，．

（1）若，以为方向向量的直线经过，求到的距离；

（2）若双曲线上存在点，使得，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【解析】

【分析】

（1）由题意知，，根据的关系求出，根据向量的共线定理设出直线方程，再代入点，求出直线方程，根据点到直线的距离公式计算距离；（2）设出点，根据数量积公式得，再根据点在双曲线上得，联立求解以后根据代入不等式求范围即可.

【详解】（1）依题意，，则双曲线，，，

设直线，将代入解得：，

此时，到的距离为；

（2） 设双曲线上的点满足，即，

又，∴，即，

∵，且，∴，

又因为，∴实数的取值范围是．

【点睛】解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去或建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系或者不等关系求解.

20. 已知下表为函数部分自变量取值及其对应函数值，为了便于研究，相关函数值取非整数值时，取值精确到0.01.

据表中数据，研究该函数的一些性质；

（1）判断函数的奇偶性，并证明；

（2）判断函数在区间[0.55,0.6]上是否存在零点，并说明理由；

（3）判断的正负，并证明函数在上是单调递减函数.

【答案】（1）奇函数，见解析；（2）存在，理由见解析；（3），见解析

【解析】

【分析】（1）通过代入点解得，再利用奇偶性的定义即可判断出奇偶性．

（2）根据零点判断法则，为连续函数，只需在区间内寻找符号相反的两个值即可．

（3）根据（1）与（2）可知，为奇函数且在上存在零点．由此可判断在也存在零点，即可设两个零点为与，并代入点建立包含与的不等式，即可判断的符号．利用的符号采用定义法证明单调性，即证明

【详解】（1）因为，所以，，由，

所以为奇函数．

（2）由已知可得，，所以在，所以在上存在零点．

（3）因为在上存在零点，是奇函数，所以在上存在零点，

所以，

而，所以

因为在上存在零点，

所以，．

设

，

因为；

所以，

又因为，所以

所以在上是单调递减函数．

【点睛】本题主要考查函数奇偶性、零点存在定理以及定义法证明函数的单调性，综合性比较强，需掌握函数的有关性质．

21. 对于数列：，，(，)，定义“变换”：将数列变换成数列：，，，其中()，且．这种变换“记作．

继续对数列进行“变换”，得到数列：，，，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．

（1）试问：2，6，4经过不断的“变换”能否结束？若能，请依次写出经过“变换”得到的各数列；若不能，说明理由；

（2）设：，，，．若：，2，()，且的各项之和为2012．求，；

（3）在（2）的条件下，若数列再经过次“变换”得到的数列各项之和最小，求的最小值，并说明理由．

【答案】（1）不能，理由见解析（2）a＝1006，b＝1004 （3）502，理由见解析

【解析】

【分析】（1）首先要弄清“T变换”的特点，其次要尝试着去算几次变换的结果，看一下有什么规律，显然只有当变换到数列的三项都相等时，再经过一次“T变换”才能得到数列的各项均为零，否则“T变换”不可能结束;

（2）的解答要通过已知条件得出a是B数列的最大项，从而去掉绝对值符号得到数列A是单调数列，得到答案;

（3）的解答要抓住B经过6次“T变换”后得到的数列也是形如“b，2，b+2”的数列，与数列B“结构”完全相同，且最大项减少12，从而数列和减少24，经过6×83+4＝502次变换后使得各项的和最小，于是k的最小值为502．

【详解】（1）数列A：2，6，4不能结束，各数列依次为4，2，2；2，0，2；2，2，0；0，2，2；2，0，2；…．

以下重复出现，所以不会出现所有项均为0的情形．    

（2）因为B的各项之和为2012，且a≥b，所以a为B的最大项，

所以|a1﹣a3|最大，即a1≥a2≥a3，或a3≥a2≥a1．

当a1≥a2≥a3时，可得

由a+b+2＝2012，得2（a1﹣a3）＝2012，即a＝1006，故b＝1004．

当a3≥a2≥a1时，同理可得 a＝1006，b＝1004．

（3）方法一：由B：b，2，b+2，则B经过6次“T变换”得到的数列分别为：b﹣2，b，2；2，b﹣2，b﹣4；b﹣4，2，b﹣6；b﹣6，b﹣8，2；2，b﹣10，b﹣8；b﹣12，2，b﹣10．

由此可见，经过6次“T变换”后得到的数列也是形如“b，2，b+2”的数列，与数列B“结构”完全相同，但最大项减少12．

因为1006＝12×83+10，

所以，数列B经过6×83＝498次“T变换”后得到的数列为8，2，10．

接下来经过“T变换”后得到的数列分别为：6，8，2；2，6，4；4，2，2；2，0，2；2，2，0；0，2，2；2，0，2，…

从以上分析可知，以后重复出现，所以数列各项和不会更小．

所以经过498+4＝502次“T变换”得到的数列各项和最小，k的最小值为502．

方法二：若一个数列有三项，且最小项为2，较大两项相差2，则称此数列与数列B“结构相同”．

若数列B的三项为x+2，x，2（x≥2），则无论其顺序如何，经过“T变换”得到的数列的三项为x，x﹣2，2（不考虑顺序）．

所以与B结构相同的数列经过“T变换”得到的数列也与B结构相同，除2外其余各项减少2，各项和减少4．

因此，数列B：1004，2，1006经过502次“T变换”一定得到各项为2，0，2（不考虑顺序）的数列．

通过列举，不难发现各项为0，2，2的数列，无论顺序如何，经过“T变换”得到的数列会重复出现，各项和不再减少．

所以，至少通过502次“T变换”，得到的数列各项和最小，故k的最小值为502．