2021届黑龙江省哈尔滨六中高三三模数学（文）试题含解析

这是一份2021届黑龙江省哈尔滨六中高三三模数学（文）试题含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021届黑龙江省哈尔滨六中高三三模数学（文）试题  一、单选题1．已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∩B＝（    ）A．{﹣1，0，1} B．{0，1} C．{﹣1，1，2} D．{1，2}【答案】D【分析】根据交集的定义写出A∩B即可．【详解】集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∩B＝{1，2}，故选：D2．在复平面内,复数对应的点位于A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】A【详解】试题分析：，对应的点为，在第一象限【解析】复数运算3．已知向量=(1，2)，=(m，m+3)，若，则m=（    ）A．-7 B．-3 C．3 D．7【答案】C【分析】根据两个向量平行的坐标表示列方程，解方程求得的值.【详解】由于，所以，解得.故选：C4．已知命题，命题的否定是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据命题的否定的定义，写出命题的否定，然后判断．【详解】命题的否定是：．故选：B．5．右图是某学校某年级的三个班在一学期内的六次数学测试的平均成绩关于测试序号的函数图像，为了容易看出一个班级的成绩变化，将离散的点用虚线连接，根据图像，给出下列结论：①一班成绩始终高于年级平均水平，整体成绩比较好；②二班成绩不够稳定，波动程度较大；③三班成绩虽然多数时间低于年级平均水平，但在稳步提升．其中正确结论的个数为A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【详解】通过函数图象，可以看出①②③均正确.故选D.6．已知为正实数，且，则的最小值是（    ）A．4 B．8 C．16 D．32【答案】B【分析】化简，结合基本不等式，即可求解.【详解】由题意，正实数且，可得，则，当且仅当时，即时等号成立，所以的最小值是.故选：B.7．化简（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用辅助角公式化简即可.【详解】解： .故选：A.8．点为双曲线右支上一点，分别是双曲线的左、右焦点，若，则双曲线的一条渐进方程是（  ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由双曲线的定义，求得，结合双曲线的几何性质，即可求解.【详解】由题意，点为双曲线右支上一点，分别是双曲线的左、右焦点，因为，由双曲线的定义，可得，解得，所以双曲线的一条渐进方程是，即.所以双曲线的一条渐进方程是.故选：C.9．函数的部分图象大致是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】先判断函数的奇偶性可排除CD，然后根据，，可知结果.【详解】由题可知函数定义域为，则，又所以是奇函数，且时，，故选项A正确.    故选：A10．《九章算术》卷五《商功》中有如下问题：“今有委粟平地，下周一十二丈，高四丈.”意思是：今将粟放在平地，谷堆下周长丈，高丈.将该谷堆模型看作一个圆锥，取近似值，则该圆锥外接球的表面积约为（  ）A．平方丈 B．平方丈 C．平方丈 D．平方丈【答案】B【分析】本题首先可结合题意绘出图像，然后根据题意得出圆锥底面半径为丈，然后设球的半径丈，通过勾股定理求出球的半径，最后通过球的表面积公式即可得出结果.【详解】如图所示，结合题意绘出图像：因为谷堆下周长丈，取近似值，所以圆锥底面半径丈，谷堆高丈，即丈,设球的半径丈，则丈，丈，，解得，该圆锥外接球的表面积约为平方丈，故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查圆锥的外接球的相关问题，能否结合题意求出球的半径是解决本题的关键，考查球的表面积的相关计算，考查数形结合思想，是中档题.11．已知，（是自然对数的底数），，则的大小关系是A． B． C． D．【答案】A【分析】由题，易知，构造函数，利用导函数求单调性，即可判断出a、b、c的大小.【详解】由题，，，所以构造函数 当时，，所以函数在是递增的，所以所以故选A【点睛】本题考查了比较数的大小，解题的关键是能否构造出新的函数，再利用导数求单调性，属于中档题.12．设抛物线的焦点为F，点A是抛物线C的准线与x轴的交点，若抛物线C上的点M满足，则（    ）A． B．2 C． D．4【答案】B【分析】设点坐标，利用焦半径公式求得点横坐标，得结论．【详解】由已知抛物线的焦点为，准线方程是，，设，则由，得，又，所以，解得．，故选：B．  二、填空题13．若实数x，y满足约束条件，的最小值为_____．【答案】．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【详解】解：由约束条件作出可行域如图， 当时，，所以，化为，由图可知，当直线过A时，直线在轴上的截距最小，有最小值为．故答案为：．14．从中任取两个数，它们均小于这五个数的平均数的概率是_________________．【答案】．【分析】先计算的平均数，然后分析基本事件的总数以及满足选取的两个数都小于平均数的基本事件个数，由此可求目标事件的概率．【详解】解：的平均数为：，从中任取两个数，基本事件总数，它们均小于这五个数的平均数包含的基本事件个数，∴它们均小于这五个数的平均数的概率．故答案为：．15．在△ABC中，AB＝2，AC＝，且，则S△ABC＝________________．【答案】．【分析】结合两角和的正弦公式，三角形的内角和定理，可推出cosA＝﹣，从而知sinA的值，再由S＝AB•AC•sinA，得解．【详解】解：由，知sinAcosC＝﹣2cosAsinB﹣cosAsinC，所以sinAcosC+cosAsinC＝﹣2cosAsinB，所以sin（A+C）＝﹣2cosAsinB，即sinB＝﹣2cosAsinB，因为sinB≠0，所以cosA＝﹣，所以sinA＝＝，所以S△ABC＝AB•AC•sinA＝•2••＝．故答案为：．16．如图，正方体A1C的棱长为1，点M在棱A1D1上，A1M＝2MD1，过M的平面α与平面A1BC1平行，且与正方体各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为______________．【答案】．【分析】先利用平行关系得到截面与正方体的交点位于靠近D1，A，C的三等分点处，从而得到截面为MIHGFE，利用正方体的棱长求出截面的周长即可．【详解】在平面A1D1DA中寻找与平面A1BC1平行的直线时，只需要ME∥BC1，如图所示，因为A1M＝2MD1，故该截面与正方体的交点位于靠近D1，A，C的三等分点处，故可得截面为MIHGFE，设正方体的棱长为3a，则，，所以截面MIHGFE的周长为，又因为正方体A1C的棱长为1，即3a＝1，故截面多边形的周长为．故答案为：． 三、解答题17．设Sn为等差数列{an}的前n项和．已知a3＝5，S7＝49．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设，求数列{bn}的前n项和Tn．【答案】（1）an＝2n﹣1；（2）．【分析】（1）利用已知条件建立等量关系式求出数列的通项公式．（2）利用裂项相消法在数列求和中的应用求出数列的和．【详解】（1）设等差数列{an}的公差为d，首项为a1由题意可得，解得，所以{an}的通项公式为an＝2n﹣1．（2）由（1）得，从而．18．在三棱锥中，是的中点，，.（1）证明：平面；（2）若，求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）根据直角三角形性质得，再由勾股定理得，即可证平面；（2）由，通过等体积法求点到面距离．【详解】解：（1） 是的中点，，中.所以为直角三角形，即.由题可知，则有所以平面.（II）由（I）可知平面，设点到平面的距离为，由，可得因为为等边三角形，所以，为直角三角形，所以代入上式可知，因为是的中点，所以点到平面的距离．【点睛】方法点睛：求点到面的距离常用方法：1、等体积法；2、直接作出点到平面的垂线，则该垂线段的长度就是所求的距离；3、向量法：用向量距离公式求解.19．“一本书，一条街，一教堂，一条江”曾是哈尔滨的城市名片，而现在“哈马”又成为了哈尔滨的另一张名片，随着全民运动健康意识的提高，马拉松运动不仅在哈尔滨，而且在全国各大城市逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人口逐年增加．为此，某市对人们参加马拉松运动的情况进行了统计调查．其中一项调查是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取200人，对其每周参与马拉松长跑训练的天数进行统计，得到以下统计表：平均每周进行长跑训练的天数不大于2天3天或4天不少于5天人数3013040若某人平均每周进行长跑训练天数不少于5天，则称其为“热烈参与者”，否则称为“非热烈参与者”．（1）经调查，该市约有2万人参与马拉松运动，试估计其中“热烈参与者”的人数；（2）根据上表的数据，填写下列2×2列联表，并通过计算判断是否能有99%的把握认为“是否热烈参与马拉松”与性别有关？ 热烈参与者非热烈参与者合计男  140女 55 合计   参考公式及数据：K2＝，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828 【答案】（1）4000人；（2）填表见解析；能有99%的把握认为“是否热烈参与马拉松”与性别有关．【分析】（1）以频率作为概率计算求解即可；（2）补全2×2列联表，计算K2的值，对照临界表中的数据，判断即可．【详解】（1）以200人中“热烈参与者”的频率作为概率，则该市2万人参与马拉松运动，其中“热烈参与者”的人数约为＝4000人；（2）由题意，2×2列联表如下： 热烈参与者非热烈参与者合计男35105140女55560合计40160200因为K2＝，所以能有99%的把握认为“是否热烈参与马拉松”与性别有关．20．已知椭圆C：的左右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆C与A、B两点，△AF2B的周长为，且椭圆C经过点．（1）求椭圆C的方程；（2）当AB的中点坐标为时，求△AF2B的面积．【答案】（1）y2＝1（2）【分析】（1）根据椭圆的定义求出a，再由椭圆上的点满足椭圆方程求出即可. （2）根据已知设出直线方程，将直线与椭圆联立，利用中点弦公式求出直线方程，再由弦长公式以及点到直线的距离即可求解.【详解】（1）∵△AF2B的周长为4，故4a＝4，即a，又椭圆经过点（1，），∴1，即b＝1，∴椭圆方程为y2＝1．（2）由椭圆方程可知F1（﹣1，0），F2（1，0）．∵AB的中点（，）在第二象限，显然直线AB有斜率且斜率大于0，设直线AB的方程为y＝k（x+1）（k＞0），代入椭圆方程可得：（k2）x2+2k2x+k2﹣1＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），即，解得：k＝1，于是x1x2＝0，∴|AB|•．又直线AB的方程为：y＝x+1，F2（1，0），∴F2到直线AB的距离d，∴△ABF2的面积为．【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，需掌握住弦长公式、点到直线的距离公式，属于中档题.21．已知函数.（1）当时，求函数图象在点处的切线方程；（2）若，当函数有且只有一个极值时，，求的最大值.【答案】（1）； （2）.【分析】（1）当时，求得，进而得到，结合点斜式，即可求得切线的方程；（2）当时，求得，令，解得或，根据函数有且只有一个极值和函数的定义域，得到，化简得出，进而得出，利用换元法，即可求得函数的最大值.【详解】（1）当时，函数，可得，则，即切线的斜率为，切点，所以函数图象在点处的切线方程为.（2）当时，函数的定义域为，可得，令，即，解得或，因为函数有且只有一个极值，所以只存在一个值使得，因为函数的定义域为，当时，，所以函数的极值点为，此时，解得，当时，，所以 ，因为，所以，令，则，又由，可得当时，，所以.所以的最大值为.【点睛】解决函数极值、最值综合问题的策略：1、求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小；2、求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论；3、函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值.22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）当为参数，时，曲线与只有一个公共点，求；（2）当为参数，时，曲线与相交于，且，求的值．【答案】（1）或；（2）．【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的互化，参数方程消去参数，分别化为普通方程；根据两个圆的位置关系，内切与外切，求解即可．（2）当为参数时，曲线为过点的直线，通过弦长，说明直线过圆的圆心，由此求解斜率，然后求解的值．【详解】解：（1）曲线的直角坐标方程为：，当为参数时，曲线的直角坐标方程为，又曲线与只有一个公共点，故曲线与的位置关系是外切或内切，（ⅰ）当与外切时，，解得：；（ⅱ）当与内切时，，解得：，故或．（2）当为参数时，曲线为过点的直线，又曲线是直径为的圆，且，所以直线过圆的圆心，则直线的斜率，因为，所以．23．设函数的最小值为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，，证明：．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.【分析】（Ⅰ）应用零点分段法，讨论、、时的取值范围，进而确定其最小值即为所求m的值.（Ⅱ）结合（Ⅰ），利用三元基本不等式证明不等式即可，注意等号成立的条件.【详解】（Ⅰ）当时，；当时，；当时，．综上，当时，，∴．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，求证．∵，，∴，．∴．当且仅当即时，等号成立．【点睛】关键点点睛：（1）根据零点，应用分类讨论，求绝对值函数的值域，进而确定最值；（2）三元基本不等式的应用，注意等号成立的条件.