高中北师大版第一章 集合综合与测试单元测试练习题

2022届新教材北师大版 集合与简易逻辑    单元测 试

一、选择题

1、设集合，，则（   ）

A． B． C． D．

2、已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

3、已知集合满足，则集合A可以是（    ）

A． B． C． D．

4、已知集合，，则（ ）

A． B． C． D．

5、已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

6、已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

7、下列命题中是假命题的是（    ）

A． 对任意，    B． 对任意，

C． 存在，使    D． 存在，使

8、

“a>b”是“a3>b3”的

A.充分不必要条件   B.必要不充分条件   C.充要条件   D.既不充分又不必要条件

9、命题实数、满足，命题，则命题是的（    ）条件

A．充分不必要 B．必要不充分

C．充要 D．既不充分也不必要

10、直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝1”是“△OAB的面积为”的（ ）

A． 充分而不必要条件

B． 必要而不充分条件

C． 充分必要条件

D． 既不充分又不必要条件

11、在中，角，，的对边分别为，，，则“”是“”成立的（     ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既非充分也非必要条件

12、若，则的一个充分不必要条件是（    ）

A． B．

C． D．

二、填空题

13、设命题：，，则为______ .

14、命题“对任意，恒成立”是真命题，则实数的取值集合是______．

15、若集合，，则_____________．

16、已知集合A=，，若，则实数a的取值范围为_______．

三、解答题

17、（本小题满分10分）已知集合，其中．对于，，定义与之间的距离为．

（1）记，写出所有使得；

（2）记，、，并且，求的最大值；

（3）设，中所有不同元素间的距离的最小值为，记满足条件的集合的元素个数的最大值为，求证：．

18、（本小题满分12分）已知，.

（1）若，求；

（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.

19、（本小题满分12分）已知命题实数满足，其中；命题方程表示双曲线.

（1）若，和均为真命题，求实数的取值范围；

（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.

参考答案

1、答案B

解析，故，故选B．

考点：1.一元二次不等式的解法；2.集合的运算．

2、答案B

解析因为集合，，

所以，

故选：B．

3、答案D

解析， 集合A可以是，.故选：D.

4、答案B

解析由题意知，故选B.

考点定位本题考查集合的基本运算，属于容易题.

5、答案C

解析解一元二次不等式确定集合，然后由交集定义计算．

详解：由题知，则，

故选：C.

点睛

本题考查集合的交集运算，解题关键是确定集合中的元素．

6、答案A

解析解方程组得到交点坐标，从而得到结果.

详解

解：，得，

∴

故选：A

点睛

本题考查交集的概念及运算，考查集合的表示方法，属于基础题.

7、答案D

解析根据指数函数，三角函数，对数函数的性质依次判断，即可得出答案.

详解

因为函数，所以“对任意，”为真命题；利用导数知识易证当时，恒成立，所以“对任意，”为真命题；当时，，所以“存在，使”为真命题；因为，故“存在，使”为假命题.

故选D．

点睛

本题考查命题的真假判断，是基础题，解题时要认真审题，解答本题的关键熟悉运用不等式、对数函数、三角函数的性质．

8、答案

C

解析

构造函数，易知在R上单调递增，所以当时，，

反之也成立，故选C

9、答案A

详解：对应的平面区域为：阴影部分，

表示的区域在直线的下方，

由图象知阴影部分都在的下方，即是的充分不必要条件，

故选：A．

10、答案A

解析由点到直线距离公式得，有勾股定理得，所以 ，根据充分条件与必要条件的定义知“”是“的面积”的充分而不必要条件，故选A.

考点：1、点到直线距离公式及勾股定理；2、充分条件与必要条件的定义及三角形面积公式.

11、答案A

详解：在中，

或

所以或

因此“”是“”成立的充分不必要条件.

故选：A

12、答案C

详解：，，当且仅当时，等号成立，

故“”是的充分不必要条件.

故选：C

13、答案，

解析由全称命题的否定即可得到答案。

详解

根据全称命题的否定，可得

为，

点睛

本题考查了含有量词的命题否定，属于基础题。

14、答案

解析分两种情况讨论：①时，不合题意；②时利用判别式不大于0、抛物线开口向上列不等式求解即可.

详解

由命题“对任意恒成立”是真命题，

则①时，不等式可变为，显然不满足题意，

②时，由已知有，解得，

综合①②得，实数的取值集合是，故答案为．

点睛

本题考查了一元二次不等式恒成立问题及分类讨论的数学思想方法，属简单题. 一元二次不等式恒成立问题主要方法：（1）若实数集上恒成立，考虑判别式小于零即可；（2）若在给定区间上恒成立，则考虑运用“分离参数法”转化为求最值问题.

15、答案

解析，显然

16、答案

解析根据作差比较法，比较之间的大小，然后解一元二次不等式分别表示集合，最后求出当时，实数a的取值范围，最后利用补集思想求出当，实数a的取值范围.

详解

或，.

若时，则有或，

所以当时，实数a的取值范围为：.

故答案为：

点睛

本题考查了解一元二次不等式，考查了已知集合的运算结果求参数取值范围问题，考查了集合补集思想.

17、答案（1）的所有情形有：、、、；（2）；（3）证明见解析.

（2）分、两种情况，利用绝对值三角不等式可求得的最大值；

（3）设是满足条件的最大集合，即中的元素个数为，，记集合，分析出中的元素个数为，利用反证法可得出集合有个元素，从而推出矛盾，进而可证得结论成立.

详解：（1）已知，，且，

所以，的所有情形有：、、、；

（2）设，，

因为，则，

同理可得，

当时，；

当时，.

当，时，上式等号成立.

综上所述，；

（3）设是满足条件的最大集合，即中的元素个数为，

所以，、且，，

，记集合，

那么中的元素个数为，

对于中的任意元素，都存在，使得，

若不然，假设存在，都有，

那么集合中所有不同元素间的距离的最小值为，

且中有个元素，这与的最大性矛盾.

所以中的每个元素必与中某个元素间的距离不超过.

从而，所以，.

点睛

方法点睛：解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：

（1）紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是新定义型集合问题难点的关键所在；

（2）用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之外用好集合的运算与性质.

18、答案（1）；（2）.

（2）求出集合，由题意可得出关于实数的不等式组，由此可求得实数的取值范围.

详解：（1）当时，，

或，

因此，；

（2）由（1）可得，

若是的充分不必要条件，则，

所以，，解得.

①当时，，则成立；

②当时，，则成立.

综上所述，实数的取值范围是.

点睛

本题考查交集的运算，同时也考查了利用充分不必要条件求参数，考查了集合包含关系的应用，考查计算能力，属于中等题.

解析

19、答案（1）；（2）.

（2）由是的充分不必要条件得但，所以，从而得出答案.

详解：由，得，

因为，所以，即命题:.

由方程表示双曲线，可得：

解得，即命题：.

（1）若，则命题：，

因为命题和均为真命题，所以，所以，

所以符合题意的的取值范围为：.

（2）若是的充分不必要条件，则有：但，

所以，即

所以，解得

所以实数的取值范围是.

点睛

本题第一问以命题为背景考查一元二次不等式，双曲线标准方程的性质，第二问考查必要不充分条件，属于中档题.

解析