10.解析几何（B组） 2022版高考数学大题专项练含解析

  10．解析几何(B组)大题专项练，练就慧眼和规范，筑牢高考满分根基！1.在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(－1，1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于－.(1)求动点P的轨迹方程；(2)设直线AP和BP分别与直线x＝3交于点M，N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【解析】(1)设点P，因为点B与点A(－1，1)关于原点O对称，所以B，因为直线AP与BP的斜率之积等于－，所以×＝－，整理得x2＋3y2＝4所以点P的轨迹方程为＋＝1 (2)设点P的坐标为，点M，N的坐标分别为，，则直线AP的方程为y－1＝，直线BP的方程为y＋1＝.令x＝3，得yM＝，yN＝，于是△PMN的面积S△PMN＝|yM－yN|(3－x0)＝， 直线AB的方程为x＋y＝0，＝2，点P到直线AB的距离d＝，于是△PAB的面积S△PAB＝·d＝|x0＋y0|, 当S△PAB＝S△PMN时，得|x0＋y0|＝，又≠0，所以2＝，解得x0＝，因为x02＋3y02＝4，所以y0＝±，故存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，此时点P的坐标为.2．已知椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A为椭圆Γ的左顶点，且|AF2|－|AF1|＝2，椭圆Γ的离心率为.(1)求椭圆Γ的标准方程；(2)若点B，C为椭圆Γ上异于点A的动点，设直线AB，AC的斜率分别为kAB，kAC，且kAB·kAC＝1，过原点O作直线BC的垂线，垂足为点D.问：是否存在定点E，使得线段DE的长为定值？若存在，求出定点E的坐标及线段DE的长；若不存在，请说明理由．【解析】(1)设F1(－c，0)，F2(c，0)，因为－＝2， 所以(a＋c)－(a－c)＝2，所以c＝，又椭圆Γ的离心率为，所以＝，所以a＝2，所以b2＝a2－c2＝2，所以椭圆Γ的标准方程为＋＝1.(2)由(1)可知点A的坐标为(－2，0)，设直线BC的方程为y＝mx＋n(n≠2m)，B(x1，mx1＋n)，C(x2，mx2＋n)，将y＝mx＋n代入＋＝1，消去y可得(2m2＋1)x2＋4mnx＋2n2－4＝0，则Δ＝8(4m2－n2＋2)>0，x1＋x2＝－，x1x2＝，由kAB·kAC＝1，可得＝1，即(m2－1)x1x2＋(mn－2)(x1＋x2)＋n2－4＝0，即(m2－1)(2n2－4)＋(mn－2)(－4mn)＋(n2－4)(2m2＋1)＝0，化简可得12m2－8mn＋n2＝0，所以(6m－n)(2m－n)＝0，所以n＝2m(舍去)或n＝6m，所以直线BC的方程为y＝mx＋6m，即y＝m(x＋6)，当x＝－6时，y＝0，所以直线BC过定点F(－6，0).因为OD⊥BC，所以点D在以OF为直径的圆上，所以当点E为线段OF的中点时，线段DE的长为定值，此时点E的坐标为(－3，0)，线段DE的长为3.