高中数学北师大版 必修第二册第五章 ——复数章末整合课件

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章末整合专题一专题二专题三专题四专题五专题六专题一　复数的概念 例1已知复数z=m(m-1)+(m2+2m-3)i,当m取何实数值时,复数z是:(1)零;(2)纯虚数;(3)z=2+5i.专题一专题二专题三专题四专题五专题六专题一专题二专题三专题四专题五专题六方法技巧 复数z=a+bi(a,b∈R)是由它的实部和虚部唯一确定的,两个复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的主要方法和途径.在两个复数相等的充要条件中,注意当a,b,c,d∈R时,由a+bi=c+di才能推出a=c,且b=d,否则不成立.专题一专题二专题三专题四专题五专题六专题一专题二专题三专题四专题五专题六专题二　复数的运算  专题一专题二专题三专题四专题五专题六方法技巧 复数四则运算一般用代数形式,加、减、乘运算按多项式运算法则计算,除法运算需把分母实数化.复数的代数运算与实数有密切联系,但又有区别,在运算中要特别注意实数范围内的运算法则在复数范围内是否适用.复数的运算包括加、减、乘、除,在解题时应遵循“先定性、后解题”的原则,化虚为实,充分利用复数的概念及运算性质实施等价转化.在解答与复数的模有关的问题时,重视应用下列公式:专题一专题二专题三专题四专题五专题六专题一专题二专题三专题四专题五专题六专题三　复数及其运算的几何意义 例3已知复数z1=1+(10-a2)i(a>0),z2=(2a-5)i(a>0), +z2∈R.(1)求实数a的值;(2)若z∈C,|z-z2|=2,求|z|的取值范围.解(1)因为z1=1+(10-a2)i(a>0),z2=(2a-5)i(a>0),所以 +z2=1-(10-a2)I+(2a-5)i=1+(a2+2a-15)i,因为 +z2∈R,所以a2+2a-15=0,解得a=-5或a=3,因为a>0,所以a=3.(2)由(1)知z2=i,因为|z-z2|=2,所以z在复平面内对应点的轨迹为以(0,1)为圆心,以2为半径的圆.因为|z|在复平面内表示z对应的点到坐标原点的距离,所以|z|的取值范围即以(0,1)为圆心,以2为半径的圆上的点到坐标原点的距离的取值范围,所以2-1≤|z|≤2+1,即1≤|z|≤3.故|z|的取值范围为[1,3].专题一专题二专题三专题四专题五专题六方法技巧 复数具有明显的几何意义,与向量关系密切.复数与复平面内的点是一一对应的,与复平面内以原点为起点的向量也是一一对应的.当条件中出现与复数模有关或与平面图形有关的问题时,一般要联想复数的几何意义.专题一专题二专题三专题四专题五专题六变式训练3已知复数z满足|z|= ,z2的虚部为2.(1)求复数z;(2)设z,z2,z-z2在复平面上的对应点分别为A,B,C,求△ABC的面积.解(1)设z=x+yi(x,y∈R),所以z=1+i或z=-1-i.(2)由(1)知,当z=1+i时,z2=2i,z-z2=1-i,此时A(1,1),B(0,2),C(1,-1),S△ABC=1.当z=-1-i时,z2=2i,z-z2=-1-3i,此时A(-1,-1),B(0,2),C(-1,-3),S△ABC=1.专题一专题二专题三专题四专题五专题六专题四　复数的模 例4已知复数z=(2x+a)+(2-x+a)i,其中x,a∈R.当x在(-∞,+∞)内变化时,试求|z|的最小值g(a).方法技巧 熟记复数模的计算公式和复数的模与以原点为起点的向量的模之间的关系,就能迅速求解有关复数模的问题.专题一专题二专题三专题四专题五专题六(1)若|z+z1|=5,求实数m的值;(2)若复数az+2i在复平面上对应的点在第二象限,求实数a的取值范围.专题一专题二专题三专题四专题五专题六专题五　复数与一元二次方程问题 例5已知关于t的一元二次方程t2+(2+i)t+2xy+(x-y)i=0(x,y∈R).(1)当方程有实根时,求点(x,y)的轨迹;(2)求方程实根的取值范围.专题一专题二专题三专题四专题五专题六专题一专题二专题三专题四专题五专题六方法技巧 因为方程有实根,故可将其设出,代入原方程,根据复数相等的充要条件,找到实根与变量x,y的关系,利用消参法进行求解.专题一专题二专题三专题四专题五专题六变式训练5已知z=-1+i是方程z2+az+b=0的一个根,a,b∈R.(1)求实数a,b的值;(2)结合根与系数的关系,猜测方程的另一个根,并给予证明.专题一专题二专题三专题四专题五专题六专题一专题二专题三专题四专题五专题六专题六　复数的三角表示 例6在复平面内,把与复数z对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转45°,所得向量对应的复数为-i,求复数z.专题一专题二专题三专题四专题五专题六2.复数三角式的运算(1)复数乘法法则:r1(cos θ1+isin θ1)·r2(cos θ2+isin θ2)=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)],即“模数相乘,辐角相加”.(2)复数除法法则:[r1(cos θ1+isin θ1)]÷[r2(cos θ2+isin θ2)]= [cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)](r2≠0),即“模数相除,辐角相减”.专题一专题二专题三专题四专题五专题六变式训练69(cos 3π+isin 3π)÷3(cos 2π+isin 2π)=(　　)A.3 B.-3 解析9(cos 3π+isin 3π)÷3(cos 2π+isin 2π)=3[cos(3π-2π)+isin(3π-2π)]=3(cos π+isin π)=-3.故选B.答案B