高中数学北师大版 必修第二册第五章 ——章末测试【含解析+原卷】

第五章测评

(时间:120分钟　满分:150分)

一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分)

1.设复数z=-1+2i(i为虚数单位),则复数z的共轭复数在复平面上对应的点位于(　　)

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

解析因为复数z=-1+2i,共轭复数为-1-2i,则其对应的点为(-1,-2),该点在第三象限.故选C.

答案C

2.若z(1+i)=2i,则z=(　　)

A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i

解析z==1+i.故选D.

答案D

3.设z=+2i,则|z|=(　　)

A.0 B. C.1 D.

解析z=+2i=+2i=-i+2i=i,则|z|=1.故选C.

答案C

4.在复平面内,O为原点,向量对应的复数为-1+2i,若点A关于直线y=-x 的对称点为点B,则向量对应的复数为(　　)

A.-2+i B.-2-i

C.1+2i D.-1+2i

解析复数-1+2i对应的点为A(-1,2),点A关于直线y=-x的对称点为B(-2,1),所以向量对应的复数为-2+i.故选A.

答案A

5.已知i是虚数单位,在复平面内,复数-2+i,1-3i对应的点分别为A,B,则A,B两点之间的距离为(　　)

A. B. C.5 D.25

解析在复平面内,复数-2+i对应的点为A(-2,1),复数1-3i对应的点为B(1,-3),所以=(3,-4),即||==5.故选C.

答案C

6.已知复数z1=cos 23°+isin 23°和复数z2=cos 37°+isin 37°,则z1·z2为(　　)

A.i B.i

C.i D.i

解析z1z2=cos(23°+37°)+isin(23°+37°)=cos 60°+isin 60°=i.

答案A

7.设f(n)=n+n(n∈N),则f(n)可取的值有(　　)

A.1个 B.2个

C.3个 D.无数个

解析因为f(n)==in+(-i)n(n∈N),当n取特殊值1,2,3,4可得相应的值.

f(1)=0,f(2)=-2,f(3)=0,f(4)=2.故选C.

答案C

8.在如图所示的复平面内,复数z1,z2,z3对应的向量分别是,则复数对应的点位于(　　)

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

解析由题图知z1=3+2i,z2=-2+2i,z3=1-2i,则=-i,所以其在复平面内对应的点为-,-,在第三象限.故选C.

答案C

二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分)

9.给出下列命题,其中是真命题的是(　　)

A.纯虚数z的共轭复数是-z

B.若z1-z2=0,则z1=

C.若z1+z2∈R,则z1与z2互为共轭复数

D.若z1-z2=0,则z1与2互为共轭复数

解析根据共轭复数的定义,显然A是真命题;

若z1-z2=0,则z1=z2,当z1,z2均为实数时,则有z1=,当z1,z2是虚数时,z1≠,所以B是假命题;

若z1+z2∈R,则z1,z2可能均为实数,但不一定相等,或z1与z2的虚部互为相反数,但实部不一定相等,所以C是假命题;

若z1-z2=0,则z1=z2,所以z1与互为共轭复数,故D是真命题.故选AD.

答案AD

10.已知复数z=1+2i(i为虚数单位),则下列结论错误的是(　　)

A.|z|= B.z2≥0

C.|z-|=2 D.z·=5

解析|z|=,故A不正确;z2=1+4i2+4i=-3+4i,不能和0比较大小,故B不正确;=1-2i,|z-|=4,故C不正确;z·=(1+2i)(1-2i)=5.

答案ABC

11.实数x,y满足(1+i)x+(1-i)y=2,设z=x+yi,则下列说法正确的是(　　)

A.z在复平面内对应的点在第一象限

B.|z|=

C.z的虚部是i

D.z的实部是1

解析实数x,y满足(1+i)x+(1-i)y=2,可化为x+y-2+(x-y)i=0,所以解得x=y=1,

所以z=x+yi=1+i.

z在复平面内对应的点的坐标为(1,1),位于第一象限,故A正确.

|z|=,故B正确.

z的虚部是1,故C错误.

z的实部是1,故D正确.故选ABD.

答案ABD

12.已知集合M={m|m=in,n∈N+},其中i为虚数单位,则下列元素属于集合M的是(　　)

A.(1-i)(1+i) B.

C. D.(1-i)2

解析根据题意,M={m|m=in,n∈N+}中,

当n=4k(k∈N+)时,in=1;

当n=4k+1(k∈N+)时,in=i;

当n=4k+2(k∈N+)时,in=-1;

当n=4k+3(k∈N+)时,in=-i,

所以M={-1,1,i,-i}.

(1-i)(1+i)=2∉M,A不符合题意;

=-i∈M,B符合题意;

=i∈M,C符合题意;

(1-i)2=-2i∉M,D不符合题意.

故选BC.

答案BC

三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)

13.复数的实部为　　　　　. 

解析,故所求实部为.

答案

14.i÷3(cos 120°-isin 300°)=　　　　　. 

解析i÷3(cos 120°-isin 300°)

=(cos 60°+isin 60°)÷3(cos 120°+isin 120°)

=[cos(60°-120°)+isin(60°-120°)]

=[cos(-60°)+isin(-60°)]

=i=i.

答案i

15.已知复数z1=-2+i,z2=a+2i(i为虚数单位,a∈R).若z1·z2为实数,则a的值为　　　　　;z1-z2=　　　　　. 

解析因为z1·z2=(-2+i)(a+2i)=(-2a-2)+(a-4)i为实数,所以a-4=0,解得a=4.则z1-z2=-2+i-(4+2i)=-2+i-4-2i=-6-i.

答案4　-6-i

16.若|z-1|=|z+1|,则|z-1|的最小值为　　　　　. 

解析设z=a+bi(a,b∈R),

则|(a-1)+bi|=|(a+1)+bi|.

所以,

即a=0,所以z=bi(b∈R),

所以|z-1|min=|bi-1|min=,

故当b=0时,|z-1|的最小值为1.

答案1

四、解答题(本题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)已知复数z=lg(m2+2m+1)+(m2+3m+2)i(i为虚数单位),试求实数m分别取什么值时,z分别为:

(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.

解(1)由得m=-2,

所以当m=-2时,z是实数.

(2)由得m≠-1,且m≠-2,

所以当m∈(-∞,-2)∪(-2,-1)∪(-1,+∞)时,z是虚数.

(3)由题意得

即解得m=0,所以当m=0时,z是纯虚数.

18.(12分)计算:.

解原式=

=

=i.

19.(12分)已知i是虚数单位,O为坐标原点,向量对应的复数为3+2i,将向量向上平移3个单位长度,再向左平移2个单位长度,将得到的向量记为,分别写出:

(1)向量对应的复数;

(2)点O'对应的复数;

(3)向量对应的复数.

解(1)如图所示,

O为原点,点A的坐标为(3,2),向上平移3个单位长度,再向左平移2个单位长度后,点O'的坐标为(-2,3),点A'的坐标为(1,5),坐标平移不改变的方向和模.

(1)向量对应的复数为3+2i;

(2)点O'对应的复数为-2+3i;

(3)向量对应的复数为-3-2i.

20.(12分)已知关于x的方程x2-ax+ab=0,其中a,b为实数.

(1)设x=1-i(i是虚数单位)是方程的根,求a,b的值;

(2)证明:当,且a>0时,该方程无实数根.

解(1)因为x=1-i是方程的根,

所以1+i也是方程的根,

由根与系数的关系得1-i+1+i=a,

得(1-i)(1+i)=ab,解得a=2,b=2;

(2)证明:因为,所以>0.

因为a>0,所以4a(4b-a)>0,即4ab-a2>0,

所以Δ=a2-4ab<0,所以原方程无实数根.

21.(12分)已知z是复数,z-3i为实数,为纯虚数(i为虚数单位).

(1)求复数z;

(2)求的模.

解(1)设z=a+bi(a,b∈R),

由z-3i=a+(b-3)i为实数,可得b=3,

又由为纯虚数,

解得a=-1,即z=-1+3i;

(2)=-2+i,

所以=|-2+i|=.

22.(12分)已知复数w满足w-4=(3-2w)i(i为虚数单位),z=+|-2|.

(1)求z;

(2)若(1)中的z是关于x的方程x2-px+q=0的一个根,求实数p,q的值及方程的另一个根.

解(1)因为w-4=(3-2w)i,所以w(1+2i)=4+3i,

所以w==2-i,

所以z=+|i|=+1=3+i.

(2)因为z=3+i是关于x的方程x2-px+q=0的一个根,

所以(3+i)2-p(3+i)+q=0,

即(8-3p+q)+(6-p)i=0,

因为p,q为实数,所以解得p=6,q=10.

解方程x2-6x+10=0,得x=3±i.

所以实数p=6,q=10,方程的另一个根为x=3-i.