高中数学北师大版 3.1空间图形基本位置关系的认识 3.2刻画空间点、线、面位置关系的公理(一)【课件PPT

§3　空间点、直线、平面之间的位置关系

3.1　空间图形基本位置关系的认识

3.2　刻画空间点、线、面位置关系的公理(一)

课后篇巩固提升

基础达标练

1.(多选)设α,β表示两个平面,l表示直线,A,B,C表示三个不同的点,给出下列命题正确的是(　　)

A.若A∈l,A∈α,B∈l,B∈α,则l⊂α

B.α,β不重合,若A∈α,A∈β,B∈α,B∈β,则α∩β=AB

C.若l不在α内,A∈l,则A∉α

D.若A,B,C∈α,A,B,C∈β,且A,B,C不共线,则α与β重合

解析α,β表示两个平面,l表示直线,A,B,C表示三个不同的点.

若A∈l,A∈α,B∈l,B∈α,则l⊂α,由平面的基本性质的基本事实1,可得A正确;

α,β不重合,若A∈α,A∈β,B∈α,B∈β,则α∩β=AB,由平面的基本性质的基本事实2,可得B正确;

若l不在α内,A∈l,则A∈α或A∉α,可得C不正确;

若A,B,C∈α,A,B,C∈β,且A,B,C不共线,则α与β重合,由平面的基本性质的基本事实3,可得D正确.

答案ABD

2.在空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,若EF与HG交于点M,则(　　)

A.M一定在直线AC上

B.M一定在直线BD上

C.M可能在直线AC上,也可能在BD上

D.M既不在AC上,也不在BD上

解析因为E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA上的点,EF与HG交于点M,所以M为平面ABC与平面ACD的公共点.而两个平面的交线为AC,所以M一定在直线AC上,故选A.

答案A

3.A,B,C为空间三点,经过这三点的平面有　　　　　个;三条平行直线最多能确定的平面的个数为　　　　　. 

解析当A,B,C不共线时,有一个平面经过三点;当A,B,C共线时,有无数个平面经过这三点.

当三条平行直线在一个平面内时,可以确定1个平面;当三条平行直线不在同一平面上时,可以确定3个平面.因此,最多可确定3个平面.

答案1或无数　3

4.若直线l与平面α相交于点O,A,B∈l,C,D∈α,且AC∥BD,则O,C,D三点的位置关系是　　　　　. 

解析如图,因为AC∥BD,所以AC与BD确定一个平面,记作平面β,则α∩β=直线CD.

因为l∩α=O,所以O∈α.又O∈AB⊂β,

所以O∈直线CD,所以O,C,D三点共线.

答案共线

5.如图四边形ABCD中,已知AB∥CD,直线AB,BC,AD,DC分别与平面α相交于点E,G,H,F.

求证:E,F,G,H四点必定共线.

证明因为AB∥CD,所以直线AB,CD确定一个平面β,因为AB∩α=E,

所以E∈AB,E∈α,所以E∈β,所以E在α与β的交线l上.同理,F,G,H也在α与β的交线l上,所以E,F,G,H四点必定共线.

能力提升练

1.(多选)如图,ABCD-A1B1C1D1是长方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是(　　)

A.A,M,O三点共线

B.A,M,O,A1四点共面

C.A,O,C,M四点共面

D.B,B1,O,M四点共面

解析因为A,M,O三点既在平面AB1D1内,又在平面AA1C内,故A,M,O三点共线,从而易知ABC均正确.

答案ABC

2.三个互不重合的平面把空间分成n部分,则n所有可能的值为　　　　　. 

解析若三个平面互相平行,则可将空间分为4部分;

若三个平面有两个平行,第三个平面与其他两个平面相交,则可将空间分成6部分;

若三个平面交于一线,则可将空间分成6部分;

若三个平面两两相交且三条交线平行,则可将空间分成7部分;

若三个平面两两相交且三条交线交于一点(如墙角三个墙面的关系),则可将空间分成8部分.

故n的所有可能值为4,6,7或8.

答案4,6,7或8

3.已知:a∥b∥c,l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C.求证:a,b,c和l共面.

证明如

图,因为a∥b,所以a与b确定一个平面α.

因为l∩a=A,l∩b=B,

所以A∈α,B∈α.

又因为A∈l,B∈l,所以l⊂α.

因为b∥c,所以b与c确定一个平面β,同理l⊂β.

因为平面α与β都包含l和b,且b∩l=B,

由推论2知,两条相交直线确定一个平面,

所以平面α与平面β重合,所以a,b,c和l共面.

4.如图,已知在四面体A-BCD中,E,F分别是AB,AD的中点,G,H分别是BC,CD上的点,且=2.求证:直线EG,FH,AC相交于同一点.

证明因

为E,F分别是AB,AD的中点,所以EF∥BD,且EF=BD.又=2,所以GH∥BD,且GH=BD,所以EF∥GH,且EF>GH,所以四边形EFHG是梯形,其两腰所在直线必相交.设两腰EG,FH的延长线相交于一点P,因为EG⊂平面ABC,FH⊂平面ACD,所以P∈平面ABC,P∈平面ACD.又平面ABC∩平面ACD=AC,所以P∈AC,故直线EG,FH,AC相交于同一点.

素养培优练

如图,不共面的四边形ABB'A',BCC'B',CAA'C'都是梯形.

求证:三条直线AA',BB',CC'相交于一点.

证明因为在梯形ABB'A'中,A'B'∥AB,所以AA',BB'在同一平面A'B内.

设直线AA',BB'相交于点P,如图所示.

同理BB',CC'同在平面BC'内,CC',AA'同在平面A'C内.

因为P∈AA',AA'⊂平面A'C,所以P∈平面A'C.同理点P∈平面BC',所以点P在平面A'C与平面BC'的交线上,而平面A'C∩平面BC'=CC',故点P∈直线CC',即三条直线AA',BB',CC'相交于一点.