数学必修 第二册第六章 立体几何初步6 简单几何体的再认识6.2 柱、锥、台的体积教学演示课件ppt

6.2　平面向量在几何、物理中的应用举例

课后篇巩固提升

基础达标练

1.(多选)点P是△ABC所在平面内一点,满足||-|-2|=0,则△ABC的形状不可能是(　　)

A.钝角三角形 B.直角三角形

C.等腰三角形 D.等边三角形

2.在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,则下列等式不成立的是(　　)

A.

B.

C.

D.

3.两个大小相等的共点力F1、F2,当它们的夹角为90°时,合力大小为20 N,当它们的夹角为120°时,合力大小为 (　　)

A.40 N B.10 N

C.20 N D.40 N

4.已知点O是△ABC内一点,满足+2=m,则实数m为(　　)

A.2 B.-2

C.4 D.-4

5.如图,在菱形ABCD中,∠B=,AB=4.

(1)若P为BC的中点,则=　　　　; 

(2)点P在线段BC上运动,则||的最小值为　　　　. 

6.已知向量a,b满足|a|=2,|b|=,且(a+b)2=1.

(1)求<a,b>;

(2)在△ABC中,若=a,=b,求||.

能力提升练

1.已知作用在点A的三个力F1=(3,4),F2=(2,-5),F3=(3,1),且A(1,1),则合力F=F1+F2+F3的终点坐标为(　　)

A.(9,1) B.(1,9)

C.(9,0) D.(0,9)

2已知在△ABC中,||=2,=-2.点P为BC边上的动点,则·()的最小值为(　　)

A.2 B.- C.-2 D.-

3.某人从点O向正东方向走30 m到达点A,再向正北方向走30 m到达点B,则此人的位移的大小是　　　　 m,方向是东偏北　　　　. 

4.如图所示,在△ABC中,AB=AC=3,∠BAC=90°,点D是BC的中点,且M点在△ACD的内部(不含边界),若+m,则的取值范围是　　　　. 

5.如图,用两根绳子把重10 kg的物体W吊在水平杆AB上,∠ACW=150°,∠BCW=120°.求A和B处所受力的大小.(忽略绳子重量)

素养培优练

　延长正方形ABCD的边CD至E,使得DE=CD.若动点Ρ从点Α出发,沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到Α点,若=λ+μ,下列判断正确的是(　　)

A.满足λ+μ=2的点Ρ必为ΒC的中点

B.满足λ+μ=1的点Ρ有且只有一个

C.λ+μ的最小值不存在

D.λ+μ的最大值为3

6.2　平面向量在几何、物理中的应用举例

课后篇巩固提升

基础达标练

1.(多选)点P是△ABC所在平面内一点,满足||-|-2|=0,则△ABC的形状不可能是(　　)

A.钝角三角形 B.直角三角形

C.等腰三角形 D.等边三角形

解析因为P是△ABC所在平面内一点,

且||-|-2|=0,

所以||-|()+()|=0,

即||=||,

所以||=||,两边平方并化简得=0,所以,

所以∠A=90°,则△ABC一定是直角三角形,也有可能是等腰直角三角形,故不可能是钝角三角形,等边三角形.故选AD.

答案AD

2.在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,则下列等式不成立的是(　　)

A.

B.

C.

D.

解析·()=

==||2,A是正确的,同理B也正确.

=||·||cos∠ACD=||2,故C不正确.

又

=2=||2.

故D正确.

答案C

3.两个大小相等的共点力F1、F2,当它们的夹角为90°时,合力大小为20 N,当它们的夹角为120°时,合力大小为 (　　)

A.40 N B.10 N

C.20 N D.40 N

解析如

图,以F1,F2为邻边作平行四边形,F为这两个力的合力.

由题意,易知|F|=|F1|,|F|=20N,

所以|F1|=|F2|=10N.

当它们的夹角为120°时,以F1,F2为邻边作平行四边形,

此平行四边形为菱形,此时|F合|=|F1|=10N.

答案B

4.已知点O是△ABC内一点,满足+2=m,则实数m为(　　)

A.2 B.-2

C.4 D.-4

解析由+2=m,得.

设,则,所以A,B,D三点共线.

如图所示.

因为反向共线,

所以,

所以,

解得m=-4.故选D.

答案D

5.如图,在菱形ABCD中,∠B=,AB=4.

(1)若P为BC的中点,则=　　　　; 

(2)点P在线段BC上运动,则||的最小值为　　　　. 

解析(1)在菱形ABCD中,∠B=,AB=4,P为BC的中点,

所以BP=2,AP=2,

所以AP2+BP2=AB2,即AP⊥BP,

则=0.

(2)点P在线段BC上运动,

可设BP=x(0≤x≤4),M为AB中点,

则||=2||.

在△BPM中,||2=22+x2-2×2x×=x2-2x+4=(x-1)2+3,

当x=1时,PM有最小值,即||=2||的最小值为2.

答案(1)0　(2)2

6.已知向量a,b满足|a|=2,|b|=,且(a+b)2=1.

(1)求<a,b>;

(2)在△ABC中,若=a,=b,求||.

解(1)因为(a+b)2=a2+b2+2a·b=22++2a·b=1,

所以a·b=-3,

所以cos<a,b>==-,

又夹角在[0,π]上,所以<a,b>=.

(2)因为=b-a,

所以=(b-a)2=b2+a2-2b·a=+22-2×(-3)=13,

所以BC边的长度为||=.

能力提升练

1.已知作用在点A的三个力F1=(3,4),F2=(2,-5),F3=(3,1),且A(1,1),则合力F=F1+F2+F3的终点坐标为(　　)

A.(9,1) B.(1,9)

C.(9,0) D.(0,9)

解析F=F1+F2+F3=(3,4)+(2,-5)+(3,1)=(8,0),设合力F的终点为P(x,y),则+F=(1,1)+(8,0)=(9,1).

答案A

2.已知在△ABC中,||=2,=-2.点P为BC边上的动点,则·()的最小值为(　　)

A.2 B.- C.-2 D.-

解析以BC的中点为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,

可得B(-1,0),C(1,0),设P(a,0)(-1≤a≤1),A(x,y)(y≠0),

由=-2,

可得(x+1,y)·(2,0)=2x+2=-2,即x=-2,

则·()

=(1-a,0)·(x-a-1-a+1-a,y+0+0)

=(1-a)(x-3a)=(1-a)(-2-3a)=3a2-a-2=3,

当a=时,·()的最小值为-.故选D.

答案D

3.某人从点O向正东方向走30 m到达点A,再向正北方向走30 m到达点B,则此人的位移的大小是　　　　 m,方向是东偏北　　　　. 

解析如

图所示,此人的位移是,且,

则||==60m,

tan∠BOA=.所以∠BOA=60°.

答案60　60°

4.如图所示,在△ABC中,AB=AC=3,∠BAC=90°,点D是BC的中点,且M点在△ACD的内部(不含边界),若+m,则的取值范围是　　　　. 

解析建立如图所示的平面直角坐标系,

因为D为BC中点,AB=AC=3,所以D.

A(0,0),B(3,0),C(0,3),

则+m

=(3,0)+m(0,3)=(1,3m),

则M点的坐标为(1,3m).

又因为M点在△ACD的内部(不含边界),所以1<3m<2,

即<m<.

则=-,3m-·(-2,3m)

=1+3m3m-=9m2-m+1

=9,

因为<m<,所以∈,2.

答案,2

5.如图,用两根绳子把重10 kg的物体W吊在水平杆AB上,∠ACW=150°,∠BCW=120°.求A和B处所受力的大小.(忽略绳子重量)

解设A,B处所受力分别为F1,F2,10kg的重力用F表示,则F1+F2+F=0.

以重力作用点C为F1,F2的始点,作平行四边形CFWE,使CW为对角线,

则=-F2,=-F1,=F.

∠ECW=180°-150°=30°,

∠FCW=180°-120°=60°,

∠FCE=90°,

所以四边形CEWF为矩形.

所以||=||cos30°=5,

||=||cos60°=5.

即A处所受的力为5kg,B处受力为5kg.

素养培优练

　延长正方形ABCD的边CD至E,使得DE=CD.若动点Ρ从点Α出发,沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到Α点,若=λ+μ,下列判断正确的是(　　)

A.满足λ+μ=2的点Ρ必为ΒC的中点

B.满足λ+μ=1的点Ρ有且只有一个

C.λ+μ的最小值不存在

D.λ+μ的最大值为3

解析设正方形的边长为1,建立如图所示的平面直角坐标系,

所以A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),E(-1,1),则=(1,0),=(-1,1),设=(a,b)(0≤a≤1,0≤b≤1),由=λ+μ,得(a,b)=λ(1,0)+μ(-1,1),

(a,b)=(λ-μ,μ),所以

当P在线段AB上时,0≤a≤1,b=0,此时μ=0,λ=a,此时λ+μ=a,所以0≤λ+μ≤1;

当P在线段BC上时,a=1,0≤b≤1,此时μ=b,λ=a+μ=1+b,即λ+μ=1+2b,所以1≤λ+μ≤3;

当P在线段CD上时,0≤a≤1,b=1,此时μ=1,λ=a+μ=a+1,此时λ+μ=a+2,所以1≤λ+μ≤3;

当P在线段DA上时,a=0,0≤b≤1,此时μ=b,λ=a+μ=b,此时λ+μ=2b,所以0≤λ+μ≤2.

由以上讨论可知,当λ+μ=2时,P可为BC的中点,也可以是点D,所以A错;使λ+μ=1的点有两个,分别为点B与AD的中点,所以B错;当P运动到点A时,λ+μ有最小值0,故C错,当P运动到点C时,λ+μ有最大值3,所以D正确.故选D.

答案D