江苏省淮安市2021_2022学年高二数学上学期入学调研试题文B

这是一份江苏省淮安市2021_2022学年高二数学上学期入学调研试题文B，共16页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设是等比数列，且，，则（ ）
A．12B．2C．30D．32
【答案】D
【解析】因为是等比数列，所以数列也是等比数列，
因为，，
所以的公比为，所以，
故选D．
2．下列各题中结论正确的是（ ）
A．当时，B．当时，
C．当时，D．当时，
【答案】B
【解析】对于A，由于，所以，当且仅当，即时取等号，
而，所以不能取到等号，即，所以A错误；
对于B，因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以B正确；
对于C，，当且仅当，即时取等号，
而，所以不能取到等号，所以C错误；
对于D，由选项可知，当时，不成立，所以D错误，
故选B．
3．已知数列是等差数列，公差，前项和为，则的值（ ）
A．等于4B．等于2
C．等于D．不确定，与有关
【答案】B
【解析】由数列是等差数列，得；，
所以
，
故选B．
4．在中，内角、、所对的边分别为、、，满足
，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】在中，，
由正弦定理可化成，，
由余弦定理可得：，故选D．
5．圆锥的母线与底面所成的角为45°，侧面面积为，则该圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设圆锥PO的底面圆半径r，母线长l，如图所示，
点B在底面圆周上，圆O所在平面，
则是圆锥的母线PB与底面所成的角，即，于是有，
从而得圆锥侧面积，解得，
圆锥的高，
所以圆锥的体积为，故选B．
6．设直线，，平面，，下列条件能得出的有（ ）
①，，且，
②，，且，，
③，，且
④，，，且，
A．个B．个C．个D．个
【答案】A
【解析】①错误，因为时，不能推出；
②错误，一个平面内有两条平行直线平行于另一个平面，这两个平面可能相交；
③错误，满足条件时，两个平面可能相交；
④正确，一个平面上的两条相交线分别与另一个面平行，则两个面平行．故只有④正确，
故选A．
7．当点到直线的距离最大时，m的值为（ ）
A．3B．0C．D．1
【答案】C
【解析】直线可化为，
故直线过定点，当和直线垂直时，距离取得最大值，
故，，故选C．
8．如图，点在正方体的面对角线上运动，则下列结论中不一定正确的是（ ）
A．平面B．平面平面
C．三棱锥的体积不变D．
【答案】D
【解析】对于A：连接，因为正方体，
所以，，且平面，平面，
所以平面平面，
因为平面，所以平面，故A正确；
对于B：连接AC，则，
又平面ABCD，所以，
所以平面，所以，
同理可得，
又，则，所以平面BDP，
因为平面，所以平面平面，故B正确；
对于C：因为，平面，平面，
所以平面，所以P到平面的距离不变，
所以三棱锥体积不变，即三棱锥的体积不变，故C正确；
对于D：连接，因为正方体，
所以，平面，所以，
所以平面，则，
假设，则平面，
所以，这显然不成立，假设错误，故D错误，
故选D．
9．在直角坐标平面内，与点距离为2，且与点距离为3的直线共有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【答案】C
【解析】当直线不存在斜率时，设为，
由题意可知：且，没有实数使得两个式子同时成立；
当直线存在斜率时，设直线方程为，
点到该直线的距离为2，所以有，
点到该直线的距离为3，所以有，
由，得或，
当时，代入中，得，
该方程的判别式，该方程有两个不相等的实数根，
当时，代入中，得，
该方程的判别式，该方程有两个相等的实数根，
所以这样的直线共有三条，故选C．
10．若圆上存在到直线的距离等于1的点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】将圆的方程化为标准形式得圆，
所以圆心坐标为，半径为，
因为圆上存在到直线的距离等于1的点，
所以圆心到直线的距离满足，即，
解得，故选A．
11．在长方体中，，，分别为，的中点，则（ ）
A．
B．三棱锥的体积为
C．三棱锥外接球的表面积为
D．直线被三棱锥外接球截得的线段长为
【答案】D
【解析】假设，又因为，所以平面，所以，
而在矩形中，显然是不成立的，故选项A错误；
三棱锥的体积为，故选项B错误；
根据，，可知三棱锥外接球的直径为，
从而三棱锥外接球的表面积为，故选项C错误；
球心为线段的中点，在中，球心到直线的距离等于点到直线的距离的一半，
而点到直线的距离等于，所以球心到直线的距离等于，
又该外接球的半径为，
所以直线被三棱锥外接球截得的线段长，
故选项D正确，
故选D．
12．数列满足，则数列的前60项和等于（ ）
A．1830B．1820C．1810D．1800
【答案】D
【解析】当为正奇数时，由题意可得，，
两式相加得；
当为正偶数时，由题意可得，，
两式相减得．
因此，数列的前项和为，
故选D．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．在中，若，，，则的面积为________．
【答案】
【解析】在中，由余弦定理可得，
代入数据可得，即，
解得或（舍），
由面积公式可得的面积为，
故答案为．
14．已知x，y满足约束条件，则的最大值是________．
【答案】
【解析】由题意，约束条件的可行域如图阴影部分，
由得；由得；
由得，
的几何意义是可行域内的点与点连线的斜率，
所以z取得最大值，只需斜率取得最大值，
由图形可知PC连线的斜率取得最大值为，故答案为．
15．已知点，，如果直线上有且只有一个点使得，那么实数的值为________．
【答案】10
【解析】由题意知，点P的轨迹是以为直径的圆，圆的方程为，
所以要使得直线上有且只有一个点P使得PA⊥PB，
则此直线与圆相切，圆心，半径为，
所以，解得或（舍去），
所以，
故答案为10．
16．正方体中，是的中点，是线段上的一点．给出下列命题：
①平面中一定存在直线与平面垂直；
②平面中一定存在直线与平面平行；
③平面与平面所成的锐二面角不小于；
④当点从点移动到点E时，点到平面的距离逐渐减小．
其中，所有真命题的序号是__________．
【答案】②③④
【解析】对于①：假设平面中存在直线l⊥面，
则由面面垂直的判定定理可得：面⊥面．
而在正方体中，面⊥面．
因为是的中点，是线段上的一点，
所以面与面不重合，
所以过AC有两个平面和均与面垂直，
这与过平面内一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直相矛盾，
故假设不正确，所以①错误；
对于②：过M作MN垂直A1D1于N，在AC上取一点Q，过Q作PQ⊥AD于P，且PQ=MN．
则有，所以四边形MNPQ为平行四边形，所以，
又面MAC，面MAC，所以面MAC，故②正确；
对于③：当M与A1重合时，∠DAC即为二面角的平面角，此时∠DAC=45°．
当M与A1向E移动时，平面与平面所成的锐二面角在增大，所以平面与平面所成的锐二面角不小于；故③正确；
对于④：当M与A1重合时，D到面MAC的距离最大，当M从A1向E移动时，点到平面的距离逐渐减小，故④正确，
故答案为②③④．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知点，直线，直线过点且与垂直，直线交圆于两点．
（1）求直线的方程；
（2）求弦的长．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）直线的斜率为，则直线的斜率为，
又过点，由点斜式方程可知直线为，即．
（2）直线与圆相交，则圆心到直线的距离为，圆的半径为，
所以弦长．
18．（12分）如图，三棱柱中，底面，且为正三角形，为中点．
（1）求证：直线平面；
（2）求证：平面平面．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】证明：（1）连接交于点，
连接，则点为的中点．
∵为中点，得为中位线，∴，
∵平面，平面，∴直线平面．
（2）∵底面，平面，∴，
∵底面正三角形，是的中点，∴，
∵，∴平面，
∵平面，∴平面平面．
19．（12分）在中，角所对应的边分别为，向量，且．
（1）求角；
（2）若，判断的形状．
【答案】（1）；（2）直角三角形．
【解析】（1）因为向量，且，
所以，即，
所以，可得，
因为，所以，
所以，所以．
（2）因为，由正弦定理可得，
因为，所以，即，
所以，整理可得，
所以，所以，
因为，所以，
所以或，所以或．
当时，，可得，此时是直角三角形，
当时，，可得，此时是直角三角形，
综上所述：是直角三角形．
20．（12分）设等差数列的前项和为，公差为，已知，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题意得，解得，
数列的通项公式为．
（2），
当为奇数时，
；
当n为偶数时，
，
．
21．（12分）已知二次函数．
（1）若的解集为，解关于x的不等式；
（2）若不等式对恒成立，求的最大值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）∵的解集为，
∴，，，
∴，，
故，
从而，解得．
（2）∵恒成立，
∴，
∴，∴，
令，∵，∴，从而，
∴，令．
①当时，；
②当时，，
∴的最大值为．
22．（12分）在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型．点在棱上，满足，点在棱上，满足，要求同学们按照以下方案进行切割：
（1）试在棱上确定一点，使得平面；
（2）过点的平面交于点，沿平面将四棱锥模型切割成两部分，在实施过程中为了方便切割，需先在模型中确定点的位置，请求出的值．
【答案】（1）答案见解析；（2）．
【解析】（1）
由已知得，点在棱上，满足，点在棱上，满足，所以，取上靠近的四等分点为，
则必有，
则根据三角形相似，必有，使得平面．
（2）延长，与延长交于，连接，并延长与的延长线交于，连接，交于，
由（1）可得，即为的中点，
由，可得为的中点，
又，∴是的中点，
由，可得为的中点，
在等腰三角形中，为的中点，取的中点，连接，
则，，
所以，即