专题1.1 相交线与平行线章末重难点题型（举一反三）2021-2022学年七年级下册数学举一反三系列（人教版）

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专题1.1 相交线与平行线章末重难点题型
【人教版】



【考点1 点到直线的距离】
【方法点拨】从直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
【例1】（2019春•厦门期末）如图，三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则下列说法错误的是（　　）

A．点A到直线BC的距离为线段AB的长度
B．点A到直线CD的距离为线段AD的长度
C．点B到直线AC的距离为线段BC的长度
D．点C到直线AB的距离为线段CD的长度
【分析】根据点到直线的距离为点到直线的垂线段的长度来分析即可．
【答案】解：∵∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC
根据点到直线的距离为点到直线的垂线段的长度来分析：
A：点A到直线BC的距离为线段AC的长度，而不是线段AB的长度，故A错误．
故选：A．
【点睛】本题考查了点到直线的距离的基本概念，属于基础题型，难度不大．
【变式1-1】（2019春•雨花区期末）如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，则下面的结论中正确的是（　　）
①BC与AC互相垂直；②AC与CD互相垂直；③点A到BC的垂线段是线段BC；④点C到AB的垂线段是线段CD；⑤线段BC是点B到AC的距离；⑥线段AC的长度是点A到BC的距离．

A．①④③⑥ B．①④⑥ C．②③ D．①④
【分析】根据点到直线距离的定义对各选项进行逐一分析即可．
①BC与AC互相垂直；②AC与CD互相垂直；③点A到BC的垂线段是线段BC；④点C到AB的垂线段是线段CD；⑤线段BC是点B到AC的距离；⑥线段AC的长度是点A到BC的距离．
【答案】解：∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，故①正确；
AC与DC相交不垂直，故②错误；
点A到BC的垂线段是线段AC，故③错误；
点C到AB的垂线段是线段CD，故④正确；
线段BC的长度是点B到AC的距离，故⑤错误；
线段AC的长度是点A到BC的距离，故⑥正确．
故选：B．
【点睛】本题考查的是点到直线的距离，熟知直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离是解答此题的关键．
【变式1-2】（2019春•娄星区期末）如图所示，点A到BC所在的直线的距离是指图中线段（　　）的长度．

A．AC B．AF C．BD D．CE
【分析】根据点到直线的距离是垂线段的长度，可得答案．
【答案】解：点A到BC所在直线的距离是线段AF的长度，
故选：B．
【点睛】本题考查了点到直线的距离，利用点到直线的距离的定义是解题关键．
【变式1-3】（2019春•天河区校级月考）如图，AC⊥BC，CD⊥AB，下列结论中，正确的结论有（　　）
①线段CD的长度是C点到AB的距离；②线段AC是A点到BC的距离；
③AB＞AC＞CD；④线段BC是B到AC的距离；⑤CD＜BC＜AB．

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据垂直的定义，点到直线距离的定义对各选项进行逐一分析即可．
【答案】解：①线段CD的长度是C点到AB的距离，正确；
②线段AC的长度是A点到BC的距离，错误；
③AB＞AC＞CD，正确；
④线段BC的长度是B到AC的距离，错误；
⑤CD＜BC＜AB，正确；
故选：B．
【点睛】本题考查的是点到直线的距离、垂直的定义，熟记定义并准确识图是解题的关键．特别注意点到直线的距离指的是点到直线的垂线段的长度，互相垂直指夹角为90°．
【考点2 相交线的交点问题】
【方法点拨】3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，5条直线相交最多有10个交点，n条直线相交，最多有1+2+3+…+（n﹣1）＝n（n﹣1）个交点．
【例2】（2019秋•旌阳区校级月考）在同一平面内的n条直线两两相交，最多共有36个交点，则n＝（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】从简单情形考虑：分别求出2条、3条、4条、5条、6条直线相交时最多的交点个数，找出规律即可解答．
【答案】解：2条直线相交最多有1个交点；
3条直线相交最多有1+2个交点；
4条直线相交最多有1+2+3个交点；
5条直线相交最多有1+2+3+4个交点；
6条直线相交最多有1+2+3+4+5个交点；
…
所以n条直线相交最多有1+2+3+4+5+…+（n﹣1）＝个交点；
由题意得＝36，
解得n＝9．
故选：C．
【点睛】此题考查图形的变化规律，解答此题的关键是找出其中的规律，利用规律解决问题．
【变式2-1】（2019秋•鄄城县期末）两条直线最多有一个交点，三条直线最多有三个交点，四条直线最多有6个交点，……，那么7条直线最多（　　）
A．28个交点 B．24个交点 C．21个交点 D．15个交点
【分析】根据题意，结合图形，发现：3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，5条直线相交最多有10个交点，故可猜想，n条直线相交，最多有1+2+3+…+（n﹣1）＝n（n﹣1）个交点．
【答案】解：∵7条直线两两相交：3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，5条直线相交最多有10个交点，而3＝×2×3，6＝×3×4，10＝1+2+3+4＝×4×5，
∴七条直线相交最多有交点的个数是：n（n﹣1）＝×7×6＝21．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了图形变化类，此题在相交线的基础上，着重培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊向一般猜想的方法．
【变式2-2】（2019春•沙坪坝区校级月考）同一平面内两两相交的四条直线，最多有m个交点，最少有n个交点，那么mn是（　　）
A．1 B．6 C．8 D．4
【分析】根据每三条不交于同一点，可得m，根据都交于同一点，可得n，根据乘方的意义，可得答案．
【答案】解：每三条不交于同一点，得
m＝＝6，
都交于同一点，得n＝1，
∴mn＝6，
故选：B．
【点睛】本题考查了相交线，利用每三条不交于同一点，都交于同一点得出m，n是解题关键．
【变式2-3】（2019秋•江阴市校级月考）观察下列图形，并阅读图形下面的相关文字，如图所示：两条直线相交，最多有一个交点；三条直线相交，最多有三个交点；四条直线相交，最多有6个交点，像这样，11条直线相交，最多交点的个数是（　　）

A．40个 B．50个 C．55个 D．66个
【分析】根据题意，结合图形，发现：3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，5条直线相交最多有10个交点，故可猜想，n条直线相交，最多有1+2+3+…+（n﹣1）＝n（n﹣1）个交点．
【答案】解：∵10条直线两两相交：3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，
5条直线相交最多有10个交点，而3＝×2×3，6＝×3×4，10＝1+2+3+4＝×4×5，
∴11条直线相交最多有交点的个数是：n（n﹣1）＝×11×10＝55．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了图形变化类，此题在相交线的基础上，着重培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊向一般猜想的方法．
【考点3 同位角、内错角、同旁内角的判断】
【方法点拨】直线AB，CD被第三条直线EF所截。这三条直线形成了两个顶点，围绕两个顶点的8个角之间有三种特殊关系：
*同位角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD的同侧，在第三条直线EF的同旁（即位置相同），这样的一对角叫做同位角；
*内错角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD之间，在第三条直线EF的两旁（即位置交错），这样的一对角叫做内错角；
*同旁内角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD之间，在第三条直线EF的同旁，这样的一对角叫做同旁内角；
【例3】（2019春•巴州区校级期中）如图，下列说法中错误的是（　　）

A．∠3和∠5是同位角 B．∠4和∠5是同旁内角
C．∠2和∠4是对顶角 D．∠2和∠5是内错角
【分析】根据同位角，同旁内角，对顶角以及内错角的定义进行判断．
【答案】解：A、∠3和∠5是同位角，故本选项不符合题意．
B、∠4和∠5是同旁内角，故本选项不符合题意．
C、∠2和∠4是对顶角，故本选项不符合题意．
D、∠2和∠5不是内错角，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】考查了同位角、内错角、同旁内角以及对顶角．解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．
【变式3-1】（2019春•西湖区校级月考）同学们可仿照图用双手表示“三线八角”图形（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）．下面三幅图依次表示（　　）

A．同位角、同旁内角、内错角
B．同位角、内错角、同旁内角
C．同位角、对顶角、同旁内角
D．同位角、内错角、对顶角
【分析】两条线a、b被第三条直线c所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，把这种位置关系的角称为同位角；
两个角分别在截线的异侧，且夹在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为内错角；
两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角．据此作答即可．
【答案】解：根据同位角、内错角、同旁内角的概念，可知
第一个图是同位角，第二个图是内错角，第三个图是同旁内角．
故选：B．
【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解题的关键是掌握同位角、内错角、同旁内角，并能区别它们．
【变式3-2】（2019春•闵行区期中）如图，同位角共有（　　）对．

A．6 B．5 C．8 D．7
【分析】根据同位角的概念解答即可．
【答案】解：同位角有5对，∠4与∠7，∠3与∠8，∠1与∠7，∠5与∠6，∠2与∠9，∠1与∠3，
故选：A．
【点睛】此题考查同位角，关键是根据同位角解答．
【变式3-3】（2019春•九龙坡区校级期中）如图，下列结论正确的是（　　）

A．∠4和∠5是同旁内角 B．∠3和∠2是对顶角
C．∠3和∠5是内错角 D．∠1和∠5是同位角
【分析】根据同旁内角，对顶角，内错角以及同位角的定义解答．
【答案】解：A、∠4和∠5是邻补角，不是同旁内角，故本选项错误．
B、∠3和（∠1+∠2）是对顶角，故本选项错误．
C、∠3和∠5是内错角，故本选项正确．
D、∠1和（∠1+∠2）是同位角，故本选项错误．
故选：C．

【点睛】考查了同位角、内错角、同旁内角以及对顶角的定义，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．
【考点4 平行线公理及其推论】
【方法点拨】平行线公理：经过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行。
【例4】（2018春•城关区校级月考）下列说法中，正确的是（　　）
A．两条不相交的直线叫平行线
B．一条直线的平行线有且只有一条
C．若直线a∥b，a∥c，则b∥c
D．两条直线不相交就平行
【分析】根据平行线的定义判断A；
根据平行线的性质判断B；
根据平行公理的推论判断C；
根据两条直线的位置关系判断D．
【答案】解：A、在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，故本选项错误；
B、一条直线的平行线有无数条，故本选项错误；
C、若直线a∥b，a∥c，则b∥c，满足平行公理的推论，故本选项正确；
D、在同一平面内两条直线不相交就平行，故本选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查平行线的定义、性质及平行公理，熟练掌握公理和概念是解决本题的关键．
【变式4-1】（2019春•张店区期末）已知在同一平面内，有三条直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则直线a与直线c之间的位置关系是（　　）
A．相交 B．平行 C．垂直 D．平行或相交
【分析】根据平行公理的推论直接判断直线c与直线a的位置关系即可．
【答案】解：∵在同一平面内，直线a∥b，直线b∥c，
∴直线c与直线a的位置关系是：a∥c．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了平行公理的推论，熟练记忆推论内容是解题关键．
【变式4-2】（2019春•龙泉驿区期中）下列说法正确的是（　　）
A．a，b，c是直线，且a∥b，b∥c，则a∥c
B．a，b，c是直线，且a⊥b，b⊥c，则a⊥c
C．a，b，c是直线，且a∥b，b⊥c，则a∥c
D．a，b，c是直线，且a∥b，b∥c，则a⊥c
【分析】根据“在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”和“在同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行”解答即可．
【答案】解：A、正确，根据“在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”．
B、错误，因为“在同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行”．
C、错误，a，b，c是直线，且a∥b，b⊥c则a⊥c；
D、错误，b，c是直线，且a∥b，b∥c，则a∥c．
故选：A．
【点睛】此题考查的是平行线的判定和性质定理，比较简单．
【变式4-3】（2019春•邱县期末）下列语句：
①不相交的两条直线叫平行线
②在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行
③如果线段AB和线段CD不相交，那么直线AB和直线CD平行
④如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行
⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行
正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】直接利用平行公理以及其推论分析得出答案．
【答案】解：①不相交的两条直线叫平行线，必须是在同一平面内，故错误；
②在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行，正确
③如果线段AB和线段CD不相交，那么直线AB和直线CD平行，错误；
④如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行，正确；
⑤过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故错误，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了平行公理及推论，正确把握定义是解题关键．
【考点5 利用平行线的性质求角】
【方法点拨】两条直线平行则同位角、内错角相等，同旁内角互补.
【例5】（2019春•涧西区校级月考）如图所示，将含有30°角的三角板（∠A＝30°）的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若∠1＝38°，则∠2的度数（　　）

A．28° B．22° C．32° D．38°
【分析】延长AB交CF于E，求出∠ABC，根据三角形外角性质求出∠AEC，根据平行线性质得出∠2＝∠AEC，代入求出即可．
【答案】解：如图，延长AB交CF于E，

∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵∠1＝38°，
∴∠AEC＝∠ABC﹣∠1＝22°，
∵GH∥EF，
∴∠2＝∠AEC＝22°，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角性质，平行线性质的运用，主要考查学生的推理能力．解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等．
【变式5-1】（2019春•西湖区校级月考）如图，把三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝32°，则∠2的度数为（　　）

A．68° B．58° C．48° D．32°
【分析】因直尺和三角板得AD∥FE，∠BAC＝90°；再由AD∥FE得∠2＝∠3；平角构建∠1+∠BAC+∠3＝180°得∠1+∠3＝90°，已知∠1＝32°可求出∠3＝58°，即∠2＝58°．
【答案】解：如图所示：

∵AD∥FE，
∴∠2＝∠3，
又∵∠1+∠BAC+∠3＝180°，∠BAC＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
又∵∠1＝32°，
∴∠3＝58°，
∴∠2＝58°，
故选：B．
【点睛】本题综合考查了平行线的性质，直角，平角和角的和差相关知识的应用，重点是平行线的性质．
【变式5-2】（2018秋•襄汾县期末）如图，某江段江水流向经过B、C、D三点拐弯后与原来方向相同，若∠ABC＝125°，∠BCD＝75°，则∠CDE的度数为（　　）

A．20° B．25° C．35° D．50°
【分析】由题意可得AB∥DE，过点C作CF∥AB，则CF∥DE，由平行线的性质可得∠BCF+∠ABC＝180°，所以能求出∠BCF，继而求出∠DCF，再由平行线的性质，即可得出∠CDE的度数．
【答案】解：由题意得，AB∥DE，
如图，过点C作CF∥AB，则CF∥DE，
∴∠BCF+∠ABC＝180°，
∴∠BCF＝180°﹣125°＝55°，
∴∠DCF＝75°﹣55°＝20°，
∴∠CDE＝∠DCF＝20°．
故选：A．

【点睛】本题考查的知识点是平行线的性质，关键是过C点先作AB的平行线，由平行线的性质求解．
【变式5-3】（2018秋•方城县期末）将AD与BC两边平行的纸条ABCD按如图所示折叠，则∠1的度数为（　　）

A．72° B．45° C．56° D．60°
【分析】根据折叠的性质得出∠C'EF＝62°，利用平行线的性质进行解答即可．
【答案】解：∵一张长方形纸条ABCD折叠，
∴∠C'EF＝∠FEC＝62°，
∵AD∥BC，
∴∠1＝∠C'FB＝180°﹣62°﹣62°＝56°，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质、翻折变换（折叠问题）．正确观察图形，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
【考点6 平行线的判定】
【方法点拨】两条直线被第三条直线所截，以下几种情况可以判定这两条直线平行：
平行线判定定理1：同位角相等，两直线平行
平行线判定定理2：内错角相等，两直线平行
平行线判定定理3：同旁内角互补，两直线平行
平行线判定定理4：两条直线同时垂直于第三条直线，两条直线平行
【例6】（2019春•西湖区校级月考）如图，下列条件：①∠1＝∠2；②∠4＝∠5；③∠2+∠5＝180°；④∠1＝∠3；⑤∠6＝∠1+∠2；其中能判断直线l1∥l2的有（　　）

A．②③④ B．②③⑤ C．②④⑤ D．②④
【分析】根据平行线的判定定理，对各小题进行逐一判断即可．
【答案】解：①∵∠1＝∠2不能得到l1∥l2，故本条件不合题意；
②∵∠4＝∠5，∴l1∥l2，故本条件符合题意；
③∵∠2+∠5＝180°不能得到l1∥l2，故本条件不合题意；
④∵∠1＝∠3，∴l1∥l2，故本条件符合题意；
⑤∵∠6＝∠2+∠3＝∠1+∠2，∴∠1＝∠3，∴l1∥l2，故本条件符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查的是平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解答此题的关键．
【变式6-1】（2019春•西湖区校级月考）如图，点E在AC的延长线上，对于给出的四个条件：
（1）∠3＝∠4；
（2）∠1＝∠2；
（3）∠A＝∠DCE；
（4）∠D+∠ABD＝180°．能判断AB∥CD的有（　　）个．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据平行线的判定判断即可．
【答案】解：（1）∵∠3＝∠4，∴BD∥AC；
（2）∵∠1＝∠2，∴AB∥CD；
（3）∵∠A＝∠DCE，∴AB∥CD；
（4）∵∠D+∠ABD＝180°，∴AB∥CD，
故选：C．
【点睛】此题考查平行线的判定，关键是根据平行线的判定解答．
【变式6-2】（2019春•南关区校级月考）如图，下列条件，其中能判定AB∥CD的有（　　）
①∠1＝∠2；
②∠BAD＝∠BCD；
③∠ABC＝∠ADC，∠3＝∠4；
④∠BAD+∠ABC＝180°．

A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【分析】根据平行线的判定方法对四个条件分别进行判断即可．
【答案】解：①∵∠1＝∠2，
∴AD∥BC，不能判定AB∥CD；
②∠BAD＝∠BCD，不能判定AB∥CD；
③∵∠ABC＝∠ADC，∠3＝∠4；
∴∠ABD＝∠CDB，
∴AB∥CD；
④∵∠BAD+∠ABC＝180°，
∴AD∥BC，不能判定AB∥CD；
∴能判定AB∥CD的有1个，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线判定：同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行．
【变式6-3】（2019春•吴江区期中）以下四种沿AB折叠的方法中，由相应条件不一定能判定纸带两条边线a，b互相平行的是（　　）

A．展开后测得∠1＝∠2
B．展开后测得∠1＝∠2且∠3＝∠4
C．测得∠1＝∠2
D．测得∠1＝∠2
【分析】根据平行线的判定定理，进行分析，即可解答．
【答案】解：A、∠1＝∠2，根据内错角相等，两直线平行进行判定，故正确；
B、∵∠1＝∠2且∠3＝∠4，由图可知∠1+∠2＝180°，∠3+∠4＝180°，
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝90°，
∴a∥b（内错角相等，两直线平行），
故正确；
C、测得∠1＝∠2，
∵∠1与∠2即不是内错角也不是同位角，
∴不一定能判定两直线平行，故错误；
D、∠1＝∠2，根据同位角相等，两直线平行进行判定，故正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的判定，解决本题的关键是熟记平行线的判定定理．
【考点7 垂线段在生活中的应用】
【方法点拨】连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
【例7】（2019秋•泰兴市期末）如图，在直线MN的异侧有A、B两点，按要求画图取点，并注明画图取点的依据．
（1）在直线MN上取一点C，使线段AC最短．依据是　 　．
（2）在直线MN上取一点D，使线段AD+BD最短．依据是　 　．

【分析】（1）过A作AC⊥MN，AC最短；
（2）连接AB交MN于D，这时线段AD+BD最短．
【答案】解：（1）过A作AC⊥MN，根据：垂线段最短．

（2）连接AB交MN于D，根据是：两点之间线段最短．

【点睛】此题主要考查了垂线段的性质和线段的性质，关键是掌握垂线段最短；两点之间线段最短．
【变式7-1】（2019秋•北仑区期末）如图，平原上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池．
（1）不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H点的位置，使它到四个村庄距离之和最小；
（2）计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠最短并说明根据．

【分析】（1）由两点之间线段最短可知，连接AD、BC交于H，则H为蓄水池位置；
（2）根据垂线段最短可知，要做一个垂直EF的线段．
【答案】解：（1）∵两点之间线段最短，
∴连接AD，BC交于H，则H为蓄水池位置，它到四个村庄距离之和最小．

（2）过H作HG⊥EF，垂足为G．

“过直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短”是把河水引入蓄水池H中开渠最短的根据．
【点睛】本题考查了线段和垂线的性质在实际生活中的运用．
【变式7-2】（2019春•召陵区期中）如图所示，码头、火车站分别位于A，B两点，直线a和b分别表示铁路与河流．
（1）从火车站到码头怎样走最近，画图并说明理由；
（2）从码头到铁路怎样走最近，画图并说明理由；
（3）从火车站到河流怎样走最近，画图并说明理由．

【分析】（1）从火车站到码头的距离是点到点的距离，即两点间的距离．依据两点之间线段最短解答．
（2）从码头到铁路的距离是点到直线的距离．依据垂线段最短解答．
（3）从火车站到河流的距离是点到直线的距离．依据垂线段最短解答．
【答案】解：如图所示
（1）沿AB走，两点之间线段最短；
（2）沿AC走，垂线段最短；
（3）沿BD走，垂线段最短．

【点睛】根据具体的问题正确判断出是点到点的距离还是点到线的距离是解答问题的关键．
【变式7-3】（2019秋•延庆县期末）如图，点P，点Q分别代表两个村庄，直线l代表两个村庄中间的一条公路．根据居民出行的需要，计划在公路l上的某处设置一个公交站．
（1）若考虑到村庄P居住的老年人较多，计划建一个离村庄P最近的车站，请在公路l上画出车站的位置（用点M表示），依据是　 　；
（2）若考虑到修路的费用问题，希望车站的位置到村庄P和村庄Q的距离之和最小，请在公路l上画出车站的位置（用点N表示），依据是　 　．

【分析】（1）直接利用点到直线的距离的定义得出答案；
（2）利用线段的性质得出答案．
【答案】解：（1）如图，点M即为所示．依据是直线外一点与直线上各点连接的所有线段中垂线段最短

（2）如图，点N即为所示．依据是两点之间线段最短；
故答案为：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中垂线段最短；两点之间线段最短．

【点睛】此题主要考查了应用设计与作图，正确理解线段的性质是解题关键．
【考点8 利用平行线的判定及性质证明平行】
【例8】（2019秋•涡阳县期中）已知：如图，∠1+∠2＝180°，∠A＝∠D．求证：AB∥CD．（在每步证明过程后面注明理由）

【分析】结合图形，利用平行线的性质及判定逐步分析解答．
【答案】证明：∵∠1与∠CGD是对顶角，
∴∠1＝∠CGD（对顶角相等），
∵∠1+∠2＝180°（已知），
∴∠CGD+∠2＝180°（等量代换），
∴AE∥FD（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠A＝∠BFD（两直线平行，同位角相等），
又∵∠A＝∠D（已知），
∴∠BFD＝∠D（等量代换），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
【点睛】本题利用了平行线的判定和性质，还利用了对顶角相等，等量代换等知识．
【变式8-1】（2019春•江城区期中）如图，AD⊥BC于D，EF⊥BC于F，∠1＝∠2，AB与DG平行吗？为什么？

【分析】结论：AB∥DG．只要证明∠BAD＝∠2即可．
【答案】解：结论：AB∥DG．
理由：∵AD⊥BC于D，EF⊥BC于F，
∴AD∥EF，
∴∠1＝∠BAD，
∵∠1＝∠2，
∴∠BAD＝∠2，
∴AB∥DG．
【点睛】本题考查平行线的性质和判定，垂线等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【变式8-2】（2019春•怀宁县期末）如图，已知点A．D，B在同一直线上，∠1＝∠2，∠3＝∠E，试判断DE、BC有怎样的位置关系，并说明理由．

【分析】由∠1＝∠2，∠AOE＝∠COD可证得∠CDO＝∠E；再由∠3＝∠E得∠CDO＝∠3，即得DE∥BC（内错角相等，两直线平行）．
【答案】解：DE∥BC．
证明：∵∠1＝∠2，∠AOE＝∠COD（对顶角相等），
∴在△AOE和△COD中，∠CDO＝∠E（三角形内角和定理）；
∵∠3＝∠E，
∴∠CDO＝∠3，
∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）．
【点睛】本题主要考查平行线的判定，涉及到三角形内角和定理、对顶角等知识点．
【变式8-3】（2019春•明光市期末）如图：已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，请问AB与DE是否平行，并说明理由．
【分析】结论：AB∥DE．首先证明EF∥BC，再证明∠B＝∠EDC即可．
【答案】解：结论：AB∥DE．
理由：∵∠1+∠ADC＝180°（平角的定义），
又∵∠1+∠2＝180°（已知），
∴∠ADC＝∠2（等量代换），
∴EF∥DC（同位角相等两直线平行），
∴∠3＝∠EDC（两直线平行，内错角相等），
又∵∠3＝∠B（已知），
∴∠EDC＝∠B（等量代换），
∴AB∥DE（同位角相等两直线平行）．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【考点9 利用平行线的判定及性质证明角相等】
【例9】如图，已知BD⊥AC，EF⊥AC，点D，F是垂足，∠1＝∠2，求证：∠ADG＝∠C．

【分析】由BD与EF都与AC垂直，利用垂直于同一条直线的两直线平行得到BD与EF平行，利用两直线平行同位角相等得到一对角相等，再由已知的一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到DG与BC平行，利用两直线平行同位角相等即可得证．
【答案】证明：∵BD⊥AC，EF⊥AC（已知），
∴∠3＝∠4＝90°（垂直的定义），
∴BD∥EF（同位角相等，两直线平行），
∴∠2＝∠CBD（两直线平行，同位角相等），
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1＝∠CBD（等量代换），
∴GD∥BC（内错角相等，两直线平行），
∴∠ADG＝∠C（两直线平行，内错角相等）．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．
【变式9-1】（2019春•彭泽县期中）如图，已知：∠ABE+∠DEB＝180°，∠1＝∠2，则∠F与∠G的大小关系如何？请说明理由

【分析】根据平行线的判定得出AC∥DE，根据平行线的性质得出∠CBE＝∠DEB，求出∠FBE＝∠GEB，根据平行线的判定得出BF∥EG即可．
【答案】解：∠F＝∠G，
理由是：∵∠ABE+∠DEB＝180°，
∴AC∥ED，
∴∠CBE＝∠DEB，
∵∠1＝∠2，
∴∠CBE﹣∠1＝∠DEB﹣∠2，
即∠FBE＝∠GEB，
∴BF∥EG，
∴∠F＝∠G．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，能熟练地运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．
【变式9-2】（2019春•惠阳区校级期中）如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠C＝∠EFG，∠CED＝∠GHD．
（1）求证：CE∥GF；
（2）试判断∠AED与∠D之间的数量关系，并说明理由；
（3）若∠D＝30°，求∠AED的度数．

【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行，可证CE∥GF；
（2）根据平行线的性质可得∠C＝∠FGD，根据等量关系可得∠FGD＝∠EFG，证出AB∥CD，再根据平行线的性质可得∠AED与∠D之间的数量关系；
（3）由平行线的性质得出∠DEF＝∠D＝30°，即可得出答案．
【答案】（1）证明：∵∠CED＝∠GHD，
∴CE∥GF；
（2）解：∴∠AED+∠D＝180°，理由如下：
∵CE∥GF，
∴∠C＝∠FGD，
∵∠C＝∠EFG，
∴∠FGD＝∠EFG，
∴AB∥CD，
∴∠AED+∠D＝180°；
（3）解：∵AB∥CD，∠D＝30°，
∴∠DEF＝∠D＝30°，
∴∠AED＝180°﹣30°＝150°．

【点睛】本题考查了平行线的判定和性质以及平角的定义等知识；平行线的性质有：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
【变式9-3】（2019春•北流市期末）如图，∠1＝∠C，∠2+∠D＝90°，BE⊥FD于G，证明∠B＝∠C．

【分析】先根据∠1+∠D＝90°，∠2+∠D＝90°，即可得到∠1＝∠2，进而得出∠2＝∠C，判定AB∥CD，即可得到∠1＝∠B，即可得到∠B＝∠C．
【答案】证明：∵BE⊥FD于G，
∴∠1+∠D＝90°，
又∵∠2+∠D＝90°，
∴∠1＝∠2，
∵∠1＝∠C，
∴∠2＝∠C，
∴AB∥CD，
∴∠1＝∠B，
∴∠B＝∠C．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
【考点10 平行线中构造平行线】
【例10】（2019春•普宁市期中）已知AB∥CD，点P为平面内一点，连接AP、CP．
（1）探究：
如图（1）∠PAB＝145°，∠PCD＝135°，则∠APC的度数是　 　；
如图（2）∠PAB＝45°，∠PCD＝60°，则∠APC的度数是　 　．
（2）在图2中试探究∠APC，∠PAB，∠PCD之间的数量关系，并说明理由．
（3）拓展探究：当点P在直线AB，CD外，如图（3）、（4）所示的位置时，请分别直接写出∠APC，∠PAB，∠PCD之间的数量关系．

【分析】（1）如图1，过P作PE∥AB，依据平行线的性质，即可得到∠APC的度数；如图2，过点P作PE∥AB，依据平行线的性质，即可得到∠APC的度数；
（2）过点P作PE∥AB，依据平行线的性质，即可得出∠APE＝∠PAB，∠CPE＝∠PCD，进而得到∠APC＝∠APE+∠CPE，即可得到∠APC＝∠PAB+∠PCD；
（3）过点P作PE∥AB，然后根据平行线的性质求解即可．
【答案】解：（1）如图1，过P作PE∥AB，

∵AB∥CD，
∴PE∥CD，
∴∠APE+∠PAB＝180°，∠CPE+∠PCD＝180°，
∵∠PAB＝145°，∠PCD＝135°，
∴∠APC＝360°﹣145°﹣135°＝80°，
如图2，过点P作PE∥AB，

∵AB∥CD，
∴PE∥CD，
∴∠APE＝∠PAB，∠CPE＝∠PCD，
∵∠APC＝∠APE+∠CPE，
∴∠APC＝∠PAB+∠PCD＝105°；
故答案为：80°；105°．
（2）∠APC＝∠PAB+∠PCD．
理由：如图2，过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥CD，
∴∠APE＝∠PAB，∠CPE＝∠PCD，
∵∠APC＝∠APE+∠CPE，
∴∠APC＝∠PAB+∠PCD；
（3）如图3．∠APC＝∠PCD﹣∠PAB，
如图4．∠APC＝∠PAB﹣∠PCD．

【点睛】本题考查了平行线的性质，平行公理的应用，此类题目过拐点作平行线是解题的关键．
【变式10-1】（2019春•桂平市期末）（1）如图①，∠CEF＝90°，点B在射线EF上，AB∥CD，若∠ABE＝130°，求∠C的度数；
（2）如图②，把“∠CEF＝90°”改为“∠CEF＝120°”，点B在射线EF上，AB∥CD．猜想∠ABE与∠C的数量关系，并说明理由．

【分析】（1）过E作EK∥AB，则∠ABE+∠1＝180°，根据AB∥CD，EK∥AB，即可得到EK∥CD，再根据平行线的性质，即可得到∠C的度数；
（2）过E作EK∥AB，则∠ABE+∠1＝180°，根据AB∥CD，EK∥AB，即可得到EK∥CD，再根据平行线的性质，即可得到180°﹣∠ABE+∠C＝120°，据此可得∠ABE与∠C的数量关系．
【答案】解：（1）如图①，过E作EK∥AB，则∠ABE+∠1＝180°，
∴∠1＝180°﹣∠ABE＝50°，
∵∠CEF＝90°，
∴∠2＝90°﹣∠1＝40°，
∵AB∥CD，EK∥AB，
∴EK∥CD，
∴∠C＝∠2＝40°；

（2）∠ABE﹣∠C＝60°，
理由：如图②，过E作EK∥AB，则∠ABE+∠1＝180°，
∴∠1＝180°﹣∠ABE，
∵AB∥CD，EK∥AB，
∴EK∥CD，
∴∠C＝∠2，
∵∠CEF＝∠1+∠2＝120°，即180°﹣∠ABE+∠C＝120°，
∴∠ABE﹣∠C＝180°﹣120°＝60°．


【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．解决问题的关键是作辅助线构造同旁内角以及内错角．
【变式10-2】（2019春•金水区校级期中）在综合与实践课上，老师计同学们以“两条平行线AB，CD和一块含60°角的直角三角尺EFG（∠EFG＝90°，∠EGF＝60°）”为主题开展数学活动．

（1）如图（1），若三角尺的60°角的顶点G放在CD上，若∠2＝2∠1，求∠1的度数；
（2）如图（2），小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在AB和CD上，请你探索并说明∠AEF与∠FGC间的数量关系；
（3）如图（3），小亮把三角尺的直角顶点F放在CD上，30°角的顶点E落在AB上．若∠AEG＝α，∠CFG＝β，则∠AEG与∠CFG的数量关系是什么？用含α，β的式子表示（不写理由）．
【分析】（1）根据平行线的性质可知∠1＝∠EGD，依据∠2+∠FGE+∠EGD＝180°，可求解∠1的度数；
（2）过点F作FP∥AB，易得FP∥AB∥CD，通过平行线的性质把∠AEF和∠FGC转化到∠EFG上即可；
（3）依据AB∥CD，可知∴∠AEF+∠CFE＝180°，再代入∠AEF＝α﹣30°，∠CFE＝β﹣90°，即可求出α+β＝300°．
【答案】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠1＝∠EGD．
∵∠2+∠FGE+∠EGD＝180°，∠2＝2∠1，
∴2∠1+60°+∠1＝180°，解得∠1＝40°；
（2）如图，过点F作FP∥AB，

∵CD∥AB，
∴FP∥AB∥CD．
∴∠AEF＝∠EFP，∠FGC＝∠GFP．
∴∠AEF+∠FGC＝∠EFP+∠GFP＝∠EFG．
∵∠EFG＝90°，
∴∠AEF+∠FGC＝90°；
（3）α+β＝300°．理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠AEF+∠CFE＝180°．
即α﹣30°+β﹣90°＝180°，
整理得α+β＝180°+120°＝300°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行线的性质是几何中角度转化的的重要依据，对于两平行线间有折线的问题，一般在“拐点”处作平行线转化角．
【变式10-3】（2019春•费县期中）如图1，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°；
（1）若∠E＝60°，则∠F＝　 　；
（2）请探索∠E与∠F之间满足的数量关系？说明理由；
（3）如图2，已知EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P的度数．

【分析】（1）如图1，分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB，根据平行线的性质得到∠B＝∠BEM＝30°，∠MEF＝∠EFN，∠D+∠DFN＝180°，代入数据即可得到结论；
（2）如图1，根据平行线的性质得到∠B＝∠BEM＝30°，∠MEF＝∠EFN，由AB∥CD，AB∥FN，得到CD∥FN，根据平行线的性质得到∠D+∠DFN＝180°，于是得到结论；
（3）如图2，过点F作FH∥EP，设∠BEF＝2x°，则∠EFD＝（2x+30）°，根据角平分线的定义得到∠PEF＝∠BEF＝x°，∠EFG＝∠EFD＝（x+15）°，根据平行线的性质得到∠PEF＝∠EFH＝x°，∠P＝∠HFG，于是得到结论．
【答案】解：（1）如图1，分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB，
∴EM∥AB∥FN，
∴∠B＝∠BEM＝30°，∠MEF＝∠EFN，
又∵AB∥CD，AB∥FN，
∴CD∥FN，
∴∠D+∠DFN＝180°，
又∵∠D＝120°，
∴∠DFN＝60°，
∴∠BEF＝∠MEF+30°，∠EFD＝∠EFN+60°，
∴∠EFD＝∠MEF+60°
∴∠EFD＝∠BEF+30°＝90°；
故答案为：90°；

（2）如图1，分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB，
∴EM∥AB∥FN，
∴∠B＝∠BEM＝30°，∠MEF＝∠EFN，
又∵AB∥CD，AB∥FN，
∴CD∥FN，
∴∠D+∠DFN＝180°，
又∵∠D＝120°，
∴∠DFN＝60°，
∴∠BEF＝∠MEF+30°，∠EFD＝∠EFN+60°，
∴∠EFD＝∠MEF+60°，
∴∠EFD＝∠BEF+30°；

（3）如图2，过点F作FH∥EP，
由（2）知，∠EFD＝∠BEF+30°，
设∠BEF＝2x°，则∠EFD＝（2x+30）°，
∵EP平分∠BEF，GF平分∠EFD，
∴∠PEF＝∠BEF＝x°，∠EFG＝∠EFD＝（x+15）°，
∵FH∥EP，
∴∠PEF＝∠EFH＝x°，∠P＝∠HFG，
∵∠HFG＝∠EFG﹣∠EFH＝15°，
∴∠P＝15°．

【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．
【考点11 平移变换的运用】
【例11】（2019春•西湖区校级月考）如图，将周长为12cm的△ABC沿边BC向右平移3cm得到△A′B′C′，则四边形ABC′A′的周长为（　　）

A．17cm B．18cm C．19cm D．20cm
【分析】根据平移的定义求得AA'和BC'的长，则四边形的周长即可求解．
【答案】解：由题意知，BB'＝CC'＝AA'＝3cm，
则四边形ABC'A'的周长＝12+3+3＝18cm．
故选：B．
【点睛】本题考查了平移的定义，理解平移的定义求得AA'和BC'的长是关键．
【变式11-1】（2019春•西湖区校级月考）如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个沿点B到点C的方向平移到△DEF的位置，AB＝10，DH＝4，BC＝15，平移距离为6，则阴影部分的面积（　　）

A．40 B．42 C．45 D．48
【分析】先判断出阴影部分面积等于梯形ABEH的面积，再根据平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状可得DE＝AB，然后求出HE，根据平移的距离求出BE＝6，然后利用梯形的面积公式列式计算即可得解．
【答案】解：∵两个三角形大小一样，
∴阴影部分面积等于梯形ABEH的面积，
由平移的性质得，DE＝AB，BE＝6，
∵AB＝10，DH＝4，
∴HE＝DE﹣DH＝10﹣4＝6，
∴阴影部分的面积＝×（6+10）×6＝48，
故选：D．
【点睛】本题考查了平移的性质，对应点连线的长度等于平移距离，平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状，熟记各性质并判断出阴影部分面积等于梯形ABEH的面积是解题的关键．
【变式11-2】（2019春•西湖区校级月考）如图，两个形状、大小完全相同的三角形ABC和三角形DEF重叠在一起，固定三角形ABC不动，将三角形DEF向右平移，当点E和点C重合时，停止移动，设DC交AC于G．给出下列结论：
①四边形ABEG的面积与CGDF的面积相等；
②AD∥EC，且AD＝EC，
则（　　）

A．①，②都正确 B．①正确，②错误
C．①，②都错误 D．①错误，②正确
【分析】根据平移的性质和平行线的判定以及四边形面积公式解答即可．
【答案】解：由平移可得：△ABC的面积＝△DEF的面积，
所以△ABC的面积﹣△EGC的面积＝△DEF的面积﹣△EGC的面积，
即四边形ABEG的面积与CGDF的面积相等，故①正确；
由平移可得：AD∥EC，AD＝BE，故②错误；
故选：B．
【点睛】此题考查平移的性质，关键是根据平移的性质和平行线的判定以及四边形面积公式解答．
【变式11-3】（2019•邢台二模）如图，有两条长分别为a、b的铁丝，其中长为a的铁丝恰好围成一个大正方形；AB是大正方形的对角线，把AB分成n条相等的线段，再以每条线段作为小正方形的对角线，长为b的铁丝恰好能围成n个这样的小正方形；若均不考虑接口情况，则a、b的大小关系是（　　）

A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．a≥b
【分析】在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，平移不改变图形的大小．
【答案】解：由平移可得，n个这样的小正方形的边长与大正方形的边长相等，
∴a、b的大小关系是a＝b，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平移变换的运用，平移是指图形的平行移动，平移时图形中所有点移动的方向一致，并且移动的距离相等．
【考点12 利用平移变换作图】
【例12】（2019春•西湖区校级月考）作图题．
（1）过点M作直线AC的平行线；
（2）将三角形ABC平移，使得点B与点B′重合．

【分析】（1）利用点A平移到M点，C点平移到N，从而得到AC∥MN；
（2）利用点B和B′点的位置关系确定平移的方向与距离，然后利用此平移规律画出A、C的对应点A′、C′即可．
【答案】解：（1）如图，MN为所作；
（2）如图，△A′B′C′为所作．

【点睛】本题考查了作图﹣平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
【变式12-1】（2019春•西湖区校级月考）如图，正方形网格中，△ABC为格点三角形（顶点都是格点），将△ABC向左平移5个单位得到△DEF．
（1）在正方形网格中，作出△DEF；
（2）设网格小正方形的边长为1，求平移过程中线段AC所扫过的图形面积．

【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点D，E，F即可解决问题．
（2）根据平移过程中线段AC所扫过的图形面积＝平行四边形ADFC的面积求解即可．
【答案】解：（1）△DEF如图所示．


（2）连接CF，AD．
平移过程中线段AC所扫过的图形面积＝平行四边形ADFC的面积＝5×3＝15．
【点睛】本题考查平移变换，平行四边形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【变式12-2】（2019春•西湖区校级月考）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中．
（1）把△ABC进行平移，得到△A′B′C′，使点A与A′对应，请在网格中画出△A′B′C′；
（2）线段AA′与线段CC′的关系是　平行且相等　．

【分析】（1）利用点A和点A′的位置关系确定平移的方向与距离，然后利用此平移规律画出B、C的对应点B′、C′即可；
（2）根据平移的性质判断．
【答案】解：（1）如图，△A′B′C′为所作；

（2）线段AA′与线段CC′平行且相等．
故答案为平行且相等．
【点睛】本题考查了作图﹣平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
【变式12-3】（2019春•西湖区校级月考）画图：
如图1，三角形ABC可通过平移得到三角形DEF，此时点A落在点D．
（1）请描述三角形ABC经过两次平移后得到三角形DEF的过程．
（2）平移三角形ABC使点B落在点D，在图2中作出平移后的三角形．

【分析】（1）根据平移得出平移过程即可；
（2）根据图形平移的性质画出图形即可．
【答案】解：（1）△ABC经过两次平移后得到△DEF的过程为：先向右平移3个单位长度，再向下平移6故单位长度；
（2）如图2所示：
【点睛】本题考查的是作图﹣平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．