专题1.1整式的乘除（知识梳理+典例剖析+变式训练）-2021-2022学年七年级数学下学期期末考试高分直通车【北师大版】

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【目标导航】
【知识梳理】
幂的运算
1.同底数幂的乘法：
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．（m，n是正整数）
（2）推广：（m，n，p都是正整数）
2.幂的乘方与积的乘方：
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（m，n是正整数）（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．（n是正整数）
3.同底数幂的除法：
同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
（a≠0，m，n是正整数，m＞n）
4.零指数幂与负整数指数幂：
零指数幂：a0=1（a≠0） 负整数指数幂：（a≠0，p为正整数）
整式的乘法
1.单项式乘单项式：
单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
2.单项式乘多项式：单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
3.多项式乘多项式：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
三．整式的除法
1.单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式．
2.多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．
四．乘法公式
1.完全平方公式：
（1）完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．
可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
（2）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．
2.平方差公式
（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
（a+b）（a-b）=a2-b2
（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
【典例剖析】
考点1 同底数幂的乘法
【例1】（2020秋•澄海区期末）若am＝4，an＝6，则am+n＝（ ）
A．23B．32C．10D．24
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．
【解析】∵am＝4，an＝6，
∴am+n＝am•an＝4×6＝24，
故选：D．
【变式1-1】（2020秋•长春期末）若a•2•23＝28，则a等于（ ）
A．4B．8C．16D．32
【分析】根据同底数幂的乘法法则求解．
【解析】∵a•2•23＝28，
∴a＝28÷24＝24＝16．
故选：C．
【变式1-2】（2020春•锦江区期末）如果xm＝2，xn=14，那么xm+n的值为（ ）
A．2B．8C．12D．214
【分析】根据同底数幂的乘法进行运算即可．
【解析】如果xm＝2，xn=14，
那么xm+n＝xm×xn＝2×14=12．
故选：C．
【变式1-3】（2019秋•九龙坡区校级期末）若3a＝2，3b＝5，则3a+b+1的值为（ ）
A．30B．10C．6D．38
【分析】根据同底数幂的乘法法则计算即可．
【解析】∵3a＝2，3b＝5，
∴3a+b+1＝3a•3b•3＝2×5×3＝30．
故选：A．
【变式1-4】（2020春•青羊区期末）在等式x2•□＝x9中，“□”所表示的代数式为（ ）
A．x6B．﹣x6C．（﹣x）7D．x7
【分析】根据同底数幂的乘法计算法则进行计算即可．
【解析】∵x2•x7＝x9，
∴“□”所表示的代数式为x7，
故选：D．
考点2 幂的乘方
【例2】（2020秋•鱼台县期末）已知ax＝2，ay＝3，求a2x+3y的值．
【分析】首先根据已知条件可得a2x、a3y的值，然后利用同底数幂的乘法运算法则求出代数式的值．
【解析】∵ax＝2，ay＝3，
∴a2x＝（ax）2＝4，a3y＝（ay）3＝27，
∴a2x+3y＝a2x×a3y＝4×27＝108．
【变式2-1】（2020春•竞秀区期末）若ax＝8，ay＝4，则a2x+y的值为（ ）
A．12B．20C．32D．256
【分析】根据幂的乘方与同底数幂的乘法法则计算即可．
【解析】∵ax＝8，ay＝4，
∴a2x+y＝（ax）2•ay＝82×4＝256．
故选：D．
【变式2-2】（2019秋•肇庆期末）已知am＝2，an＝3，则am+2n的值为（ ）
A．11B．18C．38D．12
【分析】根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则解答即可．
【解析】∵am＝2，an＝3，
∴am+2n＝am•a2n
＝am•（an）2
＝2×32
＝2×9
＝18．
故选：B．
【变式2-3】（2020秋•梁园区期末）若a3m+n＝54，am＝3，则an＝ 2 ．
【分析】根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则解答即可．
【解析】∵a3m+n＝（am）3•an＝54，am＝3，
∴an=54(am)3=5433=2．
故答案为：2
【变式2-4】（2020秋•原州区期末）若xm＝3，xn＝2，则x2m+3n＝ 72 •
【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法运算法则将原式变形得出答案．
【解析】∵xm＝3，xn＝2，
∴x2m+3n＝（xm）2×（xn）3
＝32×23
＝72．
故答案为：72．
考点3 积的乘方
【例3】（2020秋•费县期末）计算（﹣1.5）2021×（23）2020的结果是（ ）
A．-32B．32C．23D．-23
【分析】根据幂的乘方与积的乘方进行计算即可．
【解析】原式＝（﹣1.5）（﹣1.5）2021×（23）2020
＝（﹣1.5）（﹣1.5×23）2020
＝（﹣1.5）（﹣1）2020
＝﹣1.5
=-32，
故选：A．
【变式3-1】（2020秋•义马市期末）计算：0.252019×（﹣4）2020＝（ ）
A．﹣4B．﹣1C．1D．4
【分析】根据幂的乘方与积的乘方进行计算即可．
【解析】0.252019×（﹣4）2020
＝（﹣0.25×4）2019×（﹣4）
＝（﹣1）2019×（﹣4）
＝﹣1×（﹣4）
＝4，
故选：D．
【变式3-2】（2019秋•临洮县期末）已知m、n均为正整数，且2m+3n＝5，则4m•8n＝（ ）
A．16B．25C．32D．64
【分析】根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则解答即可．
【解析】∵m、n均为正整数，且2m+3n＝5，
∴4m•8n＝22m•23n＝22m+3n＝25＝32．
故选：C．
【变式3-3】（2020秋•莆田期末）已知2m+3n＝3，则9m•27n的值是（ ）
A．9B．18C．27D．81
【分析】把9m•27n转化为同底数相乘的形式，根据同底数幂的乘法的性质来求值．
【解析】9m•27n＝32m×33n＝32m+3n，
∵2m+3n＝3，
∴32m+3n＝33＝27．
故选：C．
【变式3-4】（2020秋•越秀区期末）若2x+3y﹣2＝0，则4x•8y＝ 4 ．
【分析】由2x+3y﹣2＝0得2x+3y＝2，再根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则把所求式子化为22x•23y＝22x+3y，再把2x+3y＝2代入计算即可．
【解析】∵2x+3y﹣2＝0，
∴2x+3y＝2，
∴4x•8y＝22x•23y＝22x+3y＝22＝4，
故答案为：4．
【考点4】同底数幂的除法
【例4】（2020秋•龙湖区期末）若3x＝15，3y＝5，则3x﹣y等于（ ）
A．5B．3C．15D．10
【分析】根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减，可得答案．
【解析】3x﹣y＝3x÷3y＝15÷5＝3，
故选：B．
【变式4-1】（2020秋•道里区期末）已知3a＝10，9b＝5，则3a﹣2b的值为（ ）
A．5B．12C．25D．2
【分析】首先根据9b＝5，可得：32b＝5，然后根据同底数幂的除法的运算方法，求出3a﹣2b的值为多少即可．
【解析】∵9b＝5，
∴32b＝5，
又∵3a＝10，
∴3a﹣2b＝3a÷32b＝10÷5＝2．
故选：D．
【变式4-2】（2020秋•莒南县期末）已知xm＝4，xn＝6，则x2m﹣n的值为（ ）
A．9B．34C．83D．43
【分析】根据幂的乘方，可得要求形式，根据同底数幂的除法，可得答案．
【解析】xm＝4，平方，得
x2m＝16．
x2m﹣n＝x2m÷xn＝16÷6=83，
故选：C．
【变式4-3】（2020秋•宜宾期末）已知am＝2，an＝3，ap＝5，则a2m+n﹣p的值是（ ）
A．2B．1C．0D．125
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则变形得出答案．
【解析】∵am＝2，an＝3，ap＝5，
∴a2m+n﹣p＝（am）2×an÷ap
＝22×3÷5
＝12÷5
=125．
故选：D．
【变式4-4】（2020秋•扶余市期末）已知am＝36，an＝4，则am﹣n＝ 9 ．
【分析】根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减进行计算即可．
【解析】∵am＝36，an＝4，
∴am﹣n＝am÷an＝36÷4＝9，
故答案为：9．
【考点5】零指数幂与负整数指数幂
【例5】（2019秋•射阳县期末）计算：（12）﹣1+（π+1）0．
【分析】首先利用零次幂和负整数指数幂的性质进行计算，再算加减即可．
【解析】原式＝2+1＝3．
【变式5-1】（2020秋•武威期末）若（3m﹣2）0＝1有意义，则m的取值范围是 m≠23 ．
【分析】若（3m﹣2）0＝1有意义，则3m﹣2≠0，据此求出m的取值范围即可．
【解析】∵（3m﹣2）0＝1有意义，
∴3m﹣2≠0，
解得：m≠23，
∴若（3m﹣2）0＝1有意义，则m的取值范围：m≠23．
故答案为：m≠23．
【变式5-2】（2020春•和平区期末）若（x﹣4）x﹣1＝1，则整数x＝ 1或5或3 ．
【分析】根据题意知x﹣1＝0，由此求得z的值．
【解析】①当x﹣1＝0．且x﹣4≠0时．
解得x＝1．
②x﹣4＝1，即x＝5．
③x﹣4＝﹣1，即x＝3
故答案是：1或5或3．
【变式5-3】（2019秋•荆州区期末）若（2x﹣3）x+3﹣1＝0，则2x+1＝ 3或5或﹣5 ．
【分析】根据有理数乘方即可求出答案．
【解析】当2x﹣3＝1时，
此时x＝2，
∴x+3＝5，符合题意，
当2x﹣3＝﹣1时，
此时x＝1，
∴x+3＝4，符合题意，
当x+3＝0时，
此时x＝﹣3，
∴2x﹣3≠0，符合题意，
∴2x+1＝3或5或﹣5，
故答案为：3或5或﹣5
【变式5-4】（2020春•海陵区校级期末）计算：
（1）（13）﹣1+（﹣2）3×（π﹣2）0；
（2）（﹣a2）3﹣a2•a4+（﹣2a4）2÷a2．
【分析】（1）利用负整数指数幂和零指数幂的性质可求解；
（2）利用同底数幂的乘法法则和幂的乘方，积的乘方法则可求解．
【解析】（1）原式＝3+（﹣8）×1＝﹣5；
（2）原式＝﹣a6﹣a6+4a6＝2a6．
【变式5-5】（2019秋•奉贤区期末）计算：-1-2020+(2020-π)0-(-23)-2+(-2)3．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
【解析】原式＝﹣1+1-94-8
=-414．
考点6单项式乘单项式
【例6】（2019秋•渝北区期末）已知x2﹣y2＝2019，且x＝673﹣y，则x﹣y＝ 3 ．
【分析】根据平方差公式即可求出答案．
【解析】∵x2﹣y2＝2019，且x+y＝673，
∴（x+y）（x﹣y）＝2019，
∴x﹣y＝3，
故答案为：3
【变式6-1】（2020春•盐城期末）计算3a•2b＝（ ）
A．5abB．5aC．6abD．6b
【分析】根据单项式乘单项式的运算法则计算．
【解析】3a•2b＝6ab，
故选：C．
【变式6-2】（2020春•温州期末）计算y2•（﹣2xy）的结果是（ ）
A．﹣2xy3B．2x2y3C．﹣2x2y3D．2xy3
【分析】运用单项式乘单项式的运算法则计算即可．
【解析】y2•（﹣2xy）＝﹣2x•（y2•y）＝﹣2xy3．
故选：A．
【变式6-3】（2020春•彭州市期末）计算2a2b3•（﹣3a）的结果是（ ）
A．﹣6a3b3B．6a2b3C．6a3b3D．﹣6a2b3
【分析】根据单项式乘以单项式法则求出即可．
【解析】2a2b3•（﹣3a）
＝﹣6a3b3，
故选：A．
【变式6-4】（2020秋•渝中区期末）计算：（﹣2ab2）•（﹣3a2）＝ 6a3b2 ．
【分析】根据单项式乘以单项式运算法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式，求出答案即可．
【解析】（﹣2ab2）•（﹣3a2）
＝6a3b2．
故答案为：6a3b2．
【变式6-5】（2020春•曹县期末）计算（-12xy3）2•6x2y的结果是 32x4y7 ．
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
【解析】原式=14x2y6•6x2y
=32x4y7，
故答案为：32x4y7．
考点7单项式乘多项式
【例7】（2020春•永安市期末）计算：2m（2m﹣1）＝ 4m2﹣2m ．
【分析】直接利用单项式乘多项式运算法则计算得出答案．
【解析】2m（2m﹣1）＝4m2﹣2m．
故答案为：4m2﹣2m．
【变式7-1】（2020春•舞钢市期末）计算（23x2y-6xy）•（-12xy2）＝ -13x3y3+3x2y3 ．
【分析】直接利用单项式乘多项式计算得出答案．
【解析】（23x2y-6xy）•（-12xy2）
=23x2y•（-12xy2）﹣6xy•（-12xy2）
=-13x3y3+3x2y3．
故答案为：-13x3y3+3x2y3．
【变式7-2】（2020秋•天津期末）在一次数学课上，学习了单项式乘多项式，小明回家后，拿出课堂笔记本复习，发现这样一道题：﹣3x（﹣2x2+3x﹣1）＝6x3+□+3x，“□”的地方被墨水污染了，你认为“□”内应填写（ ）
A．9x2B．﹣9x2C．9xD．﹣9x
【分析】根据单项式与多项式相乘的运算法则计算可得出答案．
【解析】﹣3x（﹣2x2+3x﹣1）＝6x3﹣9x2+3x，
故选：B．
【变式7-3】（2020秋•嘉定区期末）将x﹣1（x﹣y）﹣2z表示成只含有正整数的指数幂形式：x﹣1（x﹣y）﹣2z＝ zx(x-y)2 ．
【分析】根据负整数指数幂定义进行计算即可．
【解析】x﹣1（x﹣y）﹣2z=1x×1(x-y)2×z
=zx(x-y)2．
故答案为：zx(x-y)2．
【变式7-4】（2019秋•九龙坡区期末）已知my+z-x=nz+x-y=tx+y-z，则（y﹣z）m+（z﹣x）n+（x﹣y）t的值为 0 ．
【分析】设my+z-x=nz+x-y=tx+y-z=k，变形后代入要求的式子，计算求值．
【解析】设my+z-x=nz+x-y=tx+y-z=k，
则m＝k（y+z﹣x），n＝k（z+x﹣y），t＝k（x+y﹣z）．
所以（y﹣z）m+（z﹣x）n+（x﹣y）t
＝k（y+z﹣x）（y﹣z）+k（z+x﹣y）（z﹣x）+k（x+y﹣z）（x﹣y）
＝k[y2+yz﹣xy﹣yz﹣z2+xz+z2+xz﹣yz﹣xz﹣x2+xy+x2+xy﹣xz﹣xy﹣y2+yz]
＝k×0＝0
故答案为：0
考点8多项式乘多项式
【例8】（2020春•北碚区校级期末）已知a﹣b＝﹣5，ab＝﹣2，则（a+b）（a2﹣b2）的值为 ﹣85 ．
【分析】求出（a+b）2的值，再利用因式分解，整体代入求值即可．
【解析】∵（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，a﹣b＝﹣5，ab＝﹣2，
∴（a+b）2＝25﹣8＝17，
∴（a+b）（a2﹣b2）＝（a+b）（a+b）（a﹣b）＝（a+b）2（a﹣b）＝17×（﹣5）＝﹣85．
【变式8-1】（2020春•青羊区期末）已知x2+x＝3，则代数式（x+4）（x﹣3）的值为 ﹣9 ．
【分析】先根据多项式乘以多项式法则进行计算，再合并同类项，最后代入求出即可．
【解析】∵x2+x＝3，
∴（x+4）（x﹣3）
＝x2﹣3x+4x﹣12
＝x2+x﹣12
＝3﹣12
＝﹣9，
故答案为：﹣9．
【变式8-2】（2020秋•沙坪坝区校级期末）若（2x﹣a）（x+1）的积中不含x的一次项，则a的值为 2 ．
【分析】多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
【解析】（2x﹣a）（x+1）＝2x2+（2﹣a）x﹣a，
∵积中不含x的一次项，
∴2﹣a＝0，
∴a＝2，
故答案为：2．
【变式8-3】（2020秋•鼓楼区校级期末）若（x﹣3）（x2+px+q）的结果不含x2和x项，则p+q＝ 12 ．
【分析】利用多项式乘以多项式的法则将原式计算，令合并后的x2项和x项系数为0即可得到答案．
【解析】原式＝x3﹣3x2+px2﹣3px+qx﹣3q＝x3+（p﹣3）x2+（q﹣3p）x﹣3q，
根据题意，令p﹣3＝0，q﹣3p＝0，
解得：p＝3，q＝9，
∴p+q＝12，
故答案为：12．
【变式8-4】（2019秋•兴国县期末）已知：实数m，n满足：m+n＝3，mn＝2．则（1+m）（1+n）的值等于 6 ．
【分析】先根据多项式乘以多项式法则展开，再整体代入，即可求出答案．
【解析】∵m+n＝3，mn＝2，
∴（1+m）（1+n）
＝1+（m+n）+mn
＝1+3+2
＝6，
故答案为：6．
考点9完全平方公式
【例 9】（2020秋•义马市期末）已知x+y＝8，xy＝7，则x2+y2的值是（ ）
A．64B．52C．50D．28
【分析】先根据完全平方公式得出x2+y2＝（x+y）2﹣2xy，再求出答案即可．
【解析】∵x+y＝8，xy＝7，
∴x2+y2
＝（x+y）2﹣2xy
＝82﹣2×7
＝50，
故选：C．
【变式9-1】（2020秋•紫阳县期末）已知x﹣y＝3，xy＝3，则（x+y）2的值为（ ）
A．24B．18C．21D．12
【分析】先根据完全平方公式进行变形得出（x+y）2＝（x﹣y）2+4xy，再求出答案即可．
【解析】∵x﹣y＝3，xy＝3，
∴（x+y）2
＝（x﹣y）2+4xy
＝32+4×3
＝21，
故选：C．
【变式9-2】（2020秋•涪城区校级期末）已知（a+b）2＝7，（a﹣b）2＝4，则ab的值为（ ）
A．14B．12C．34D．54
【分析】两个式子相减，根据完全平方公式展开，合并同类项，再系数化为1即可求解．
【解析】（a+b）2﹣（a﹣b）2
＝a2+2ab+b2﹣a2+2ab﹣b2
＝4ab
＝7﹣4
＝3，
ab=34．
故选：C．
【变式9-3】（2020秋•沙坪坝区校级期末）已知x2+y2=3259，xy＝﹣2，则x﹣y的值为（ ）
A．173B．193C．-193或193D．-173或173
【分析】根据完全平方公式可得（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy，据此可得（x﹣y）2的值，再开平方即可．
【解析】∵x2+y2=3259，xy＝﹣2，
∴（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy=3259-2×(-2)=3619，
∴x-y=±3619=±193．
故选：C．
【变式9-4】（2020秋•河东区期末）若a+b＝9，ab＝14，则a﹣b＝ ±5 ．
【分析】根据完全平方公式计算即可．
【解析】∵a+b＝9，ab＝14，
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝92﹣4×14＝81﹣56＝25，
∴a﹣b＝±5．
故答案为：±5．
【变式9-5】（2020春•芝罘区期末）已知有理数x满足（x﹣100）2+（99﹣x）2＝25，则（x﹣100）（x﹣99）的值是 12 ．
【分析】设x﹣100＝a，99﹣x＝b，则a2+b2＝25，a+b＝﹣1，由完全平方公式可求出答案．
【解析】设x﹣100＝a，99﹣x＝b，则a2+b2＝25，a+b＝﹣1，
∴﹣ab=(a2+b2)-(a+b)22，
=25-12，
＝12．
∴（x﹣100）（x﹣99）＝12．
故答案为：12．
考点10平方差公式
【例10】（2019秋•渝北区期末）已知x2﹣y2＝2019，且x＝673﹣y，则x﹣y＝ 3 ．
【分析】根据平方差公式即可求出答案．
【解析】∵x2﹣y2＝2019，且x+y＝673，
∴（x+y）（x﹣y）＝2019，
∴x﹣y＝3，
故答案为：3
【变式10-1】（2020秋•澄海区期末）若a2﹣b2=23，a+b=12，则a﹣b的值为（ ）
A．-12B．43C．32D．2
【分析】先利用平方差公式，再整体代入求值．
【解析】∵（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，
∴12×（a﹣b）=23，
∴a﹣b=43．
故选：B．
【变式10-2】（2020秋•松山区期末）若s﹣t＝7，则s2﹣t2﹣14t的值是（ ）
A．42B．50C．56D．49
【分析】直接利用平方差公式计算进而得出答案．
【解析】∵s﹣t＝7，
∴s2﹣t2﹣14t
＝（s+t）（s﹣t）﹣14t
＝7（s+t）﹣14t
＝7s+7t﹣14t
＝7s﹣7t
＝7（s﹣t）
＝7×7
＝49．
故选：D．
【变式10-3】（2020秋•鱼台县期末）3（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1的个位数是（ ）
A．4B．5C．6D．8
【分析】原式中的3变形为22﹣1，反复利用平方差公式计算即可得到结果．
【解析】3（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1…＝264﹣1+1＝264，
∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，
∴个位上数字以2，4，8，6为循环节循环，
∵64÷4＝16，
∴264个位上数字为6，即原式个位上数字为6．
故选：C．
【变式10-4】（2020秋•莱州市期末）若m2﹣n2＝3，且m﹣n＝6，则m+n＝ 12 ．
【分析】根据平方差公式进行计算即可．
【解析】∵m2﹣n2＝3，即（m+n）（m﹣n）＝3，
又∵m﹣n＝6，
∴6（m+n）＝3，
∴m+n=12，
故答案为：12．
考点11整式的混合运算
【例11】（2020秋•沂南县期末）计算：
（1）7a（4a2b）2÷7a2；
（2）（a﹣2b+3）（a+2b﹣3）．
【分析】根据整式混合运算的法则进行计算，即可得出答案．
【解析】（1）原式＝16a4b2÷a＝16a3b2；
（2）原式＝[a﹣（2b﹣3）][（a+（2b﹣3）]
＝a2﹣（2b﹣3）2
＝a2﹣4b2+12b﹣9．
【变式11-1】（2020秋•腾冲市期末）计算：
（1）（5x）2•x7﹣（3x3）3+2（x3）2+x3；
（2）（x+2y）（x﹣2y）﹣2x（x+3y）+（x+y）2．
【分析】（1）根据积的乘方、同底数幂的乘法和合并同类项可以解答本题；
（2）根据平方差公式、单项式乘多项式和完全平方公式可以解答本题．
【解析】（1）（5x）2•x7﹣（3x3）3+2（x3）2+x3
＝25x2•x7﹣27x9+2x6+x3
＝25x9﹣27x9+2x6+x3
＝﹣2x9+2x6+x3；
（2）（x+2y）（x﹣2y）﹣2x（x+3y）+（x+y）2
＝x2﹣4y2﹣2x2﹣6xy+x2+2xy+y2
＝﹣3y2﹣4xy．
【变式11-2】（2020秋•泗水县期末）（1）（ab2）2•（﹣a3b）3÷（﹣5ab）；
（2）2（x﹣3）（x+2）﹣（3+x）（﹣x+3）．
【分析】（1）根据积的乘方、同底数幂的乘除法可以解答本题；
（2）根据多项式乘多项式、平方差公式可以解答本题．
【解析】（1）（ab2）2•（﹣a3b）3÷（﹣5ab）
＝a2b4•（﹣a9b3）÷（﹣5ab）
＝a2b4•（﹣a9b3）•（-15ab）
=15a10b6；
（2）2（x﹣3）（x+2）﹣（3+x）（﹣x+3）
＝2x2﹣2x﹣12﹣9+x2
＝3x2﹣2x﹣21．
【变式11-3】（2020秋•襄城区期末）计算：[（2x﹣y）2+（x﹣y）（x+y）﹣2x（x﹣2y）]÷3x．
【分析】根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式和单项式除以单项式可以解答本题．
【解析】[（2x﹣y）2+（x﹣y）（x+y）﹣2x（x﹣2y）]÷3x
＝（4x2﹣4xy+y2+x2﹣y2﹣2x2+4xy）÷3x
＝3x2÷3x
＝x．
【变式11-4】（2020秋•历城区期末）计算：
（1）3×（﹣9）+7×（﹣9）；
（2）（-23）×278÷（32）3；
（3）b•（﹣b）2•（b2）3；
（4）a（3a﹣b）﹣3a4b÷（a2b）．
【分析】（1）根据乘法分配律可以解答本题；
（2）根据有理数的乘方、有理数的乘除法可以解答本题；
（3）根据幂的乘方与同底数幂的乘法可以解答本题；
（4）根据单项式乘多项式和单项式除以单项式可以解答本题．
【解析】（1）3×（﹣9）+7×（﹣9）
＝（3+7）×（﹣9）
＝10×（﹣9）
＝﹣90；
（2）（-23）×278÷（32）3
＝（-23）×278÷278
＝（-23）×278×827
=-23；
（3）b•（﹣b）2•（b2）3；
＝b•b2•b6
＝b9；
（4）a（3a﹣b）﹣3a4b÷（a2b）
＝3a2﹣ab﹣3a2
＝﹣ab．
【变式11-5】（2020秋•达孜区期末）计算：
①3x2y•（﹣2xy3）2；
②（4x2y3﹣2x3y2z）÷2x2y2．
【分析】①根据积的乘方和同底数幂的乘法可以解答本题；
②根据多项式除以单项式的方法可以解答本题．
【解析】①3x2y•（﹣2xy3）2
＝3x2y•4x2y6
＝12x4y7；
②（4x2y3﹣2x3y2z）÷2x2y2
＝4x2y3÷2x2y2﹣2x3y2z÷2x2y2
＝2y﹣xz．
考点12整式的化简求值
【例12】（2020秋•仓山区校级期末）先化简，再求值：（x﹣1）（x+6）﹣（6x4+10x3﹣12x2）÷2x2．其中x＝﹣2．
【分析】根据多项式乘多项式的运算法则、多项式除单项式的运算法则把原式化简，把x的值代入计算即可．
【解析】原式＝x2+6x﹣x﹣6﹣（3x2+5x﹣6）
＝x2+6x﹣x﹣6﹣3x2﹣5x+6
＝﹣2x2，
当x＝﹣2时，原式＝﹣2×（﹣2）2＝﹣8．
【变式12-1】（2020秋•宜宾期末）先化简，再求值：（3a5b3+a4b2）÷（﹣a2b）2﹣（2+a）（2﹣a）﹣（a﹣b）2，其中a=-15，b＝2．
【分析】原式利用积的乘方与幂的乘方运算法则，多项式除以单项式法则，平方差公式，完全平方公式计算得到最简结果，把a、b的值代入计算即可求出值．
【解析】原式＝：（3a5b3+a4b2）÷a4b2﹣（4﹣a2）﹣（a2﹣2ab+b2）
＝3ab+1﹣4+a2﹣a2+2ab﹣b2
＝5ab﹣b2﹣3，
当a=-15，b＝2时，
原式=5×(-15)×2-22-3=-9．
【变式12-2】（2020秋•丘北县期末）先化简，再求值：（a﹣2）2﹣4a（a﹣1）+（2a+1）（2a﹣1），其中a=2-1．
【分析】直接利用整式的混合运算法则化简，再把已知数据代入得出答案．
【解析】原式＝a2﹣4a+4﹣4a2+4a+4a2﹣1
＝a2+3，
∴当a=2-1时，
原式＝（2-1）2+3
＝3﹣22+3
＝6﹣22．
【变式12-3】（2020秋•越秀区期末）（1）化简：3x2﹣y（2y﹣x）﹣2（x2﹣y2）；
（2）先化简，再其值：（3a2﹣3ab+4b2）﹣2（b2+a2﹣2ab+1），其中a＝2，b＝﹣1．
【分析】（1）先根据单项式乘以多项式算乘法，再合并同类项即可；
（2）先去掉括号，再合并同类项，最后求出答案即可．
【解析】（1）3x2﹣y（2y﹣x）﹣2（x2﹣y2）
＝3x2﹣2y2+xy﹣2x2+2y2
＝x2+xy；
（2）（3a2﹣3ab+4b2）﹣2（b2+a2﹣2ab+1）
＝3a2﹣3ab+4b2﹣2b2﹣2a2+4ab﹣2
＝a2+ab+2b2﹣2，
当a＝2，b＝﹣1时，原式＝22+2×（﹣1）+2×（﹣1）2﹣2＝2．
【变式12-4】（2020秋•九龙坡区校级期末）先化简，再求值：ab-12[（2a+b）（a﹣b）﹣2a（a﹣b）]，其中a、b满足：（a+2）2+|b﹣1|＝0．
【分析】先去掉小括号，再合并同类项，算乘法，再合并同类项，最后求出答案即可．
【解析】ab-12[（2a+b）（a﹣b）﹣2a（a﹣b）]
＝ab-12（2a2﹣2ab+ab﹣b2﹣2a2+2ab）
＝ab-12（ab﹣b2）
＝ab-12ab+12b2
=12ab+12b2，
∵（a+2）2+|b﹣1|＝0，
∴a+2＝0且b﹣1＝0，
解得：a＝﹣2，b＝1，
当a＝﹣2，b＝1时，原式=12×（﹣2）×1+12×12=-12．
【变式12-5】（2020秋•偃师市期末）先化简，再求值：
[（x﹣2y）2+（x﹣2y）（x+2y）﹣2x（2x﹣y）]÷2x，其中x＝1，y＝﹣2．
【分析】原式中括号里利用完全平方公式，平方差公式，以及单项式乘多项式法则计算，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
【解析】原式＝（x2﹣4xy+4y2+x2﹣4y2﹣4x2+2xy）÷2x
＝（﹣2x2﹣2xy）÷2x
＝﹣x﹣y，
当x＝1，y＝﹣2时，原式＝﹣1+2＝1．
考点13完全平方公式的几何背景
【例13】（2020秋•西峰区期末）把一个长为2m，宽为2n的长方形沿图1中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后拼成一个正方形（如图2）．
（1）请用两种方法求出图2中阴影部分的面积；（直接用含m，n的式子表示）
方法1： （m﹣n）2 ；方法2： （m+n）2﹣4mn ；
（2）根据（1）中的结论，请你写出下列三个式子（m+n）2，（m﹣n）2，mn间的等量关系；
（3）根据（2）中的等量关系，解决如下问题：已知实数a，b满足a+b=5，a﹣b＝1，请求出ab的值．
【分析】（1）根据拼图可得出正方形的边长，可用面积公式直接表示面积，也可以利用各个部分的面积和等于大正方形的面积，从而得出答案；
（2）由（1）可用得出三个式子（m+n）2，（m﹣n）2，mn间的等量关系；
（3）利用（2）的等式，代入可得ab的值．
【解析】（1）由拼图可知，大正方形的边长为（m+n）cm，小正方形的边长为（m﹣n）cm，
图1中的每个小长方形的面积为mncm2，
方法一：利用正方形面积公式可得阴影部分面积为（m﹣n）2cm2，
方法二：利用各个部分面积之间的关系可得阴影部分面积为[（m+n）2﹣4mn]cm2，
故答案为：（m﹣n）2，（m+n）2﹣4mn；
（2）由于（1）中的两种方法表示的都是阴影部分的面积，因此有，
（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；
（3）由（2）可得，（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；
因为a+b=5，a﹣b＝1，
所以12＝（5）2﹣4ab，
解得ab＝1，
答：ab的值为1．
【变式13-1】（2020秋•梁园区期末）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积：方法1： （a+b）2 ；方法2： a2+2ab+b2 ；
（2）观察图2，请你写出代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系 （a+b）2＝a2+2ab+b2 ；
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：a+b＝5，a2+b2＝13，求ab的值；
②已知（2020﹣a）2+（a﹣2019）2＝5，求（2020﹣a）（a﹣2019）的值；
【分析】（1）方法1：图2是边长为（a+b）的正方形，利用正方形的面积公式可得出S正方形＝（a+b）2；
方法2：图2可看成1个边长为a的正方形、1个边长为b的正方形以及2个长为b宽为a的长方形的组合体，根据正方形及长方形的面积公式可得出S正方形＝a2+2ab+b2；
（2）由图2中的图形面积不变，可得出（a+b）2＝a2+2ab+b2；
（3）①由a+b＝5可得出（a+b）2＝25，将其与a2+b2＝13代入（a+b）2＝a2+2ab+b2中即可求出ab的值；
②设2020﹣a＝x，a﹣2019＝y，则x+y＝1，由（2020﹣a）2+（a﹣2019）2＝5可得出x2+y2＝5，将其和（x+y）2＝1代入（x+y）2＝x2+2xy+y2中即可求出xy的值，也即（2020﹣a）（a﹣2019）的值；
【解析】（1）方法1：图2是边长为（a+b）的正方形，
∴S正方形＝（a+b）2；
方法2：图2可看成1个边长为a的正方形、1个边长为b的正方形以及2个长为b宽为a的长方形的组合体，
∴S正方形＝a2+b2+2ab．
故答案为：（a+b）2；a2+b2+2ab；
（2）由（1）可得：（a+b）2＝a2+2ab+b2．
故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2
（3）①∵a+b＝5，
∴（a+b）2＝25，
∴a2+b2+2ab＝25，
又∵a2+b2＝13，
∴ab＝6；
②设2020﹣a＝x，a﹣2019＝y，则x+y＝1，
∵（2020﹣a）2+（a﹣2019）2＝5，
∴x2+y2＝5，
∵（x+y）2＝x2+2xy+y2，
∴xy=(x+y)2-(x2+y2)2=1-52=-2，
即（2020﹣a）（a﹣2019）＝xy＝﹣2；
【变式13-2】（2020秋•崆峒区期末）请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图①中条件，请用两种不同方法表示两个阴影图形的面积的和；
（2）在（1）的条件下，如图②，两个正方形边长分别为a，b，如果a+b＝ab＝9，求阴影部分的面积．
【分析】（1）根据各个部分面积之间的关系得出答案；
（2）表示图②中阴影部分的面积，再代入求值即可．
【解析】（1）方法一：两个正方形的面积和，即a2+b2，
方法二：边长为a+b的正方形的面积减去两个空白的长方形的面积，即（a+b）2﹣2ab，
因此有a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
（2）图②阴影部分的面积是两个边长分别为a、b的正方形的面积和减去两个直角三角形的面积，
即a2+b2-12a×a-12（a+b）×b
=12a2+12b2-12ab
=12（a2+b2﹣ab）
=12[（a+b）2﹣3ab]，
当a+b＝ab＝9时，
原式=12×（81﹣27）＝27，
答：阴影部分的面积为27．
【变式13-3】（2020秋•中山区期末）如图1是一个长为4a，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图2的正方形．
（1）图2中的阴影正方形边长表示正确的序号为 ② ；
①a+b；②b﹣a；③（a+b）（b﹣a）．
（2）由图2可以直接写出（a+b）2，（b﹣a）2，ab之间的一个等量关系是 （a+b）2＝（b﹣a）2+4ab ；
（3）根据（2）中的结论，解决下列问题：
①x+y＝8，xy＝2，求（x﹣y）2的值；
②两个正方形ABCD，AEFG如图3摆放，边长分别为x，y，若x2+y2＝16，BE＝2，直接写出图中阴影部分面积和．
【分析】（1）根据拼图可得阴影正方形的边长为b﹣a，作出选择即可；
（2）用不同的方法表示阴影正方形的面积可得出关系式；
（3）①利用（2）的结论可得（x+y）2＝（y﹣x）2+4xy，再代入求值即可，
②BE＝2，即x﹣y＝2，根据上述关系可求出答案．
【解析】（1）阴影部分的正方形的边长为b﹣a，
故答案为：②；
（2）大正方形的边长为a+b，面积为（a+b）2，
小正方形的边长为b﹣a，面积为（b﹣a）2，
四块长方形的面积为4ab，
所以有（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab，
故答案为：（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab；
（3）①由（2）的结论可得（x+y）2＝（y﹣x）2+4xy，
把x+y＝8，xy＝2代入得，64＝（y﹣x）2+8，
所以（y﹣x）2＝56，
②由BE＝2，即x﹣y＝2，y＝x﹣2
由拼图可得，阴影部分的面积为12（x2﹣y2），即12（x+y）（x﹣y）＝x+y＝2x﹣2，
∵x2+y2＝16，即x2+（x﹣2）2＝16，也就是x2﹣2x﹣6＝0，
解得x1＝1+7，x2＝1-7＜0（舍去），
∴2x﹣2＝2+27-2＝27，
答：阴影部分的面积和为27．
【变式13-4】（2020春•三明期末）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．
（1）请写出图1，图2，图3阴影部分的面积分别能解释的乘法公式．
图1 （a+b）（a+b）＝a2+2ab+b2 ，
图2 （a﹣b）（a﹣b）＝a2﹣2ab+b2 ，
图3 （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 ．
（2）用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图4的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，写出这三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系．
（3）根据（2）中你探索发现的结论，计算：当x+y＝3，xy＝﹣10时，求x﹣y的值．
【分析】根据正方形得面积计算公式，解决问题．
【解析】（1）图1、S阴=(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2；
图2、S阴=(a-b)(a-b)=a2-2ab+b2；
图3、S阴=(a+b)(a-b)=a2-b2．
（2）由题意可知，阴影部分的面积＝大正方形面积﹣4×小长方形面积，
大正方边长为（a+b），面积为（a+b）2，小长方形长为a，宽为b，面积为ab，
则S阴=(a+b)2-4ab
＝a2+2ab+b2﹣4ab
＝a2﹣2ab+b2
＝（a﹣b）2，
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab．
（3）由（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy，
∴（x﹣y）2＝32﹣4×（﹣10）＝49，
∴x﹣y＝±7．
考点14平方差公式的几何背景
【例14】（2020秋•西山区期末）如图①所示，边长为a的正方形中有一个边长为b（b＜a）的小正方形，如图②所示是由图①中的阴影部分拼成的一个长方形．
（1）设图①中阴影部分的面积为S1，图②中阴影部分的面积为S2，请直接用含a，b的式子表示S1，S2；
（2）请写出上述过程所揭示的公式；
（3）试利用这个公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）+1．
【分析】（1）根据面积的计算方法，用含有a、b的代数式表示S1、S2即可；
（2）由图①和图②阴影部分的面积相等得出答案；
（3）配上因式（2﹣1）之后，连续利用平方差公式进行计算即可．
【解析】（1）图①的阴影部分的面积为边长为a的正方形与边长为b的正方形的面积差，即S1＝a2﹣b2，
图②是长为（a+b），宽为（a﹣b）的长方形，因此面积为：S2＝（a+b）（a﹣b），
所以S1＝a2﹣b2，S2＝（a+b）（a﹣b）；
（2）a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（3）原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）+1
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）+1
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）（216+1）+1
＝（28﹣1）（28+1）（216+1）+1
＝（216﹣1）（216+1）+1
＝232﹣1+1
＝232．
【变式14-1】（2020秋•恩施市期末）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是 B ；（请选择正确的一个）
A、a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
B、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C、a2+ab＝a（a+b）
（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x﹣2y的值．
②计算：（1-122）（1-132）（1-142）…（1-1492）（1-1502）．
【分析】（1）观察图1与图2，根据两图形阴影部分面积相等验证平方差公式即可；
（2）①已知第一个等式左边利用平方差公式化简，将第二个等式代入求出所求式子的值即可；②原式利用平方差公式变形，约分即可得到结果．
【解析】（1）根据图形得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
上述操作能验证的等式是B，
故答案为：B；
（2）①∵x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）＝12，x+2y＝4，
∴x﹣2y＝3；
②原式＝（1-12）（1+12）（1-13）（1+13）…（1-149）（1+149）（1-150）（1+150）=12×32×23×43×34×54×⋯×4849×5049×4950×5150=12×5150=51100．
【变式14-2】（2020秋•前郭县期末）如图①所示，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿虚线AB剪开，把剪成的两张纸片拼成如图②所示的等腰梯形．
（1）设图①中阴影部分的面积为S1，图②中阴影部分面积为S2，请直接用含a，b的式子表示S1和S2．
（2）请写出上述过程中所揭示的乘法公式；
（3）用这个乘法公式计算：
①（x-12）（x+12）（x2+14）；
②107×93．
【分析】（1）图①中的阴影部分的面积为两个正方形的面积差，图②中的阴影部分是上底为2b，下底为2a，高为a﹣b的梯形，利用梯形面积公式可得答案；
（2）图①、图②面积相等可得等式；
（3）①连续两次利用平方差公式可求结果；②将107×93转化为（100+7）（100﹣7），即可利用平方差公式求出结果．
【解析】（1）S1＝a2﹣b2，S2=12（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b）；
（2）a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（3）①原式＝（x2-14）（x2+14）＝x4-116；
②107×93
＝（100+7）（100﹣7）
＝1002﹣72
＝10000﹣49
＝9951．
【变式14-3】（2020秋•朝阳区校级期中）从边长为a的正方形中减掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是 a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） ；
（2）运用你从（1）写出的等式，完成下列各题：
①已知：a﹣b＝3，a2﹣b2＝21，求a+b的值；
②计算：（1-122）×（1-132）×（1-142）×…×（1-120192）×（1-120202）．
【分析】（1）分别表示出图1阴影部分的面积和图2阴影部分的面积，由二者相等可得等式；
（2）①将已知条件代入（1）中所得的等式，计算即可；②利用平方差公式将原式的各个因式进行拆分，计算即可．
【解析】（1）图1阴影部分的面积为a2﹣b2，图2阴影部分的面积为（a+b）（a﹣b），二者相等，从而能验证的等式为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（2）①∵a﹣b＝3，a2﹣b2＝21，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
∴21＝（a+b）×3，
∴a+b＝7；
②（1-122）×（1-132）×（1-142）×…×（1-120192）×（1-120202）
＝（1-12）（1+12）（1-13）（1+13）（1-14）（1+14）…（1-12019）（1+12019）（1-12020）（1+12020）
=12×32×23×43×34×54×⋯×20182019×20202019×20192020×20212020
=12×20212020
=20214040．
【变式14-4】（2020春•滨江区期末）已知正方形ABCD的边长为b，正方形EFGH的边长为a（b＞a）．
（1）如图1，点H与点A重合，点E在边AB上，点G在边AD上，请用两种不同方法求出阴影部分S1的面积（结果用a，b表示）．
（2）如图2，在图1正方形位置摆放的基础上，在正方形ABCD的右下角又放了一个和正方形EFGH一样的正方形，使一个顶点和点C重合，两条边分别落在BC和DC上，若题（1）中S1＝4，图2中S2＝1，求阴影部分S3的面积．
（3）如图3，若正方形EFGH的边GF和正方形ABCD的边CD在同一直线上，且两个正方形均在直线CD的同侧，若点D在线段GF上，满足DF=14GF，连接AH，HF，AF，当三角形AHF的面积为3时，求三角形EFC的面积，写出求解过程．
【分析】（1）根据面积等于大正方形面积﹣小正方形面积或等于两个长方形面积之和即可得出结论；
（2）用a，b表示S1和S2，根据S1＝4，S2＝1，求求出a和b的值，将a和b的值代入S3=(2a-b)2即可；
（3）见解答．
【解析】（1）①S1=b2-a2；②S1＝（a+b）（b﹣a）；
（2）S1＝4＝（a+b）（b﹣a），又因为S2＝1，所以BE＝1，即b﹣a＝1，所以a+b＝4；所以a+b=4b-a=1，解得：a=32b=52．
S3表示边长为（2a﹣b）的正方形的面积，所以S3=(2a-b)2=(3-52)2=14，所以S3=14．
（3）如图，记AD与HF的交点为M，AD与HE交于点N．
GFEH为正方形，HF为对角线，
∴∠ADF＝90°∠DFM＝45°
∴△DMF为等腰直角三角形，
则NE＝DF＝DM=14a，
FC＝b-14a，
S△AHF=12AM⋅HN+12AH⋅DF
=12AM(HN+DF)
=12(b-14a)⋅a
＝3．
S△EFC=12FC⋅EF=12(b-14a)⋅a=3．
；
【变式14-5】（2020春•新昌县期末）某同学利用若干张正方形纸片进行以下操作：
（1）从边长为a的正方形纸片中减去一个边长为b的小正方形，如图1，再沿线段AB把纸片剪开，最后把剪成的两张纸片拼成如图2的等腰梯形，这一过程所揭示的公式是 a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） ．
（2）先剪出一个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片，再剪出两张边长分别为a和b的长方形纸片，如图3，最后把剪成的四张纸片拼成如图4的正方形．这一过程你能发现什么代数公式？
（3）先剪出两个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片，再剪出三张边长分，别为a和b的长方形纸片，如图5，你能否把图5中所有纸片拼成一个长方形？如果可以，请画出草图，并写出相应的等式，如果不能，请说明理由．
【分析】（1）图1的面积为a2﹣b2，图2的面积为12（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b），可得等式；
（2）拼图前的面积为a2+2ab+b2，拼图后的面积为（a+b）2，可得等式；
（3）拼图前的面积为2a2+3ab+b2，因此可以拼成长（2a+b），宽为（a+b）的长方形．
【解析】（1）图1的面积为a2﹣b2，图2的面积为12（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b），因此有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（2）拼图前的面积为a2+2ab+b2，拼图后的面积为（a+b）2，因此可得a2+2ab+b2＝（a+b）2，即完全平方公式；
（3）拼图前的面积为2a2+3ab+b2，因此可以拼成长（2a+b），宽为（a+b）的长方形，拼图如图所示：