专题1.5生活中的轴对称专题（知识梳理+典例剖析+变式训练）-2021-2022学年七年级数学下学期期末考试高分直通车【北师大版】

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【知识梳理】
1.轴对称图形：
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
2.轴对称的性质：
（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
由轴对称的性质得到一下结论：
①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；
②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．
（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
3. 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直
4.线段的垂直平分线的性质：
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．
②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
5.等腰三角形：
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）等腰三角形的判定：
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；
6.等边三角形
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
（3）等边三角形的判定：
由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．
判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
【典例剖析】
考点1 轴对称图形
【例1】（2020秋•甘井子区期末）下列几何图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．平行四边形B．圆
C．等腰三角形D．等边三角形
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解析】A、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
【变式1.1】（（2020秋•南京期末）下列几何图形不一定是轴对称图形的是（ ）
A．线段B．角C．等腰三角形D．直角三角形
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解析】线段、角、等腰三角形一定为轴对称图形，
直角三角形不一定为轴对称图形．
故选：D．
【变式1.2】（（2020秋•永年区期末）如图，与线段a、b可以构成轴对称图形的是（ ）
A．线段cB．线段dC．线段eD．线段f
【分析】利用轴对称图形定义进行解答即可．
【解析】与线段a、b可以构成轴对称图形的是线段f，
故选：D．
【变式1.3】（（2020秋•大兴区期末）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解析】A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
【变式1.4】（（2020秋•江汉区期末）下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念判断．
【解析】A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
故选：C．
【变式1.5】（（2019秋•郯城县期末）下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解析】A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，故此选项正确；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
考点2 轴对称的性质
【例2】（2020秋•武昌区期末）如图，在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的△ABC为格点三角形，在图中与△ABC成轴对称的格点三角形可以画出（ ）
A．6个B．5个C．4个D．3个
【分析】根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解
【解析】如图，最多能画出6个格点三角形与△ABC成轴对称．
故选：A．
【变式2.1】（2019秋•路北区期末）已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB内部，点P1与点P关于OA对称，点P2与点P关于OB对称，则△P1OP2是（ ）
A．含30°角的直角三角形
B．顶角是30°的等腰三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
【分析】根据轴对称的性质，结合等边三角形的判定求解．
【解析】∵P为∠AOB内部一点，点P关于OA、OB的对称点分别为P1、P2，
∴OP＝OP1＝OP2且∠P1OP2＝2∠AOB＝60°，
∴故△P1OP2是等边三角形．
故选：C．
【变式2.2】（2019秋•莆田期末）如图，网格纸上正方形小格的边长为1．图中线段AB和点P沿着某一条直线做同样的轴对称，分别得到线段A'B'和点P'，则点P'所在的单位正方形区域（每块区域为一个正方形小格）是（ ）
A．1区B．2区C．3区D．4区
【分析】作出线段AB，A′B′的对称轴，再寻找点P的对应点P′即可判断．
【解析】如图，点P的对应点P′落在3区．
故选：C．
【变式2.3】（2020春•双阳区期末）如图，正方形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．2B．4C．8D．无法确定
【分析】正方形是轴对称图形，根据对称性可以将图形中带阴影的图形面积等于正方形面积的一半，进而得出答案．
【解析】如图所示：图中阴影部分的面积为正方形面积一半：12×22＝2．
故选：A．
【变式2.4】（2020秋•盐都区期末）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B的度数为 100 度．
【分析】根据轴对称的性质先求出∠C等于∠C′，再利用三角形内角和定理即可求出∠B．
【解析】∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，
∴∠C＝∠C′＝20°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C
＝180°﹣50°﹣30°
＝100°．
故答案为：100．
考点3 角平分线的性质
【例3】（2020秋•虎林市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，3DC＝AD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于（ ）
A．4B．3C．2D．1
【分析】过D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得出DE＝CD，求出CD的长，再根据点到直线的距离的定义得出即可．
【解析】过D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，BD平分∠ABC，
∴DE＝CD，
∵AC＝8，3DC＝AD，
∴CD＝2，
∴DE＝2，
即点D到AB的距离是2，
故选：C．
【变式3.1】（2020秋•松山区期末）如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AE+DE＝3cm，那么AC等于（ ）
A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm
【分析】利用角平分线的性质可得DE＝EC，然后再利用线段的和差关系可得答案．
【解析】∵BE平分∠ABC，∠ACB＝90°，DE⊥AB于点D，
∴DE＝EC，
∵AE+DE＝3（cm），
∴AE+EC＝3（cm），
即：AC＝3cm，
故选：B．
【变式3.2】如图，在△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，BC＝10，CD＝6，则点D到AC的距离为（ ）
A．4B．6C．8D．10
【分析】由条件可先求得BD的长，再根据角平分线的性质可知D到AC的距离等于BD，可得到答案．
【解析】∵BC＝10，CD＝6，
∴BD＝BC﹣CD＝10﹣6＝4，
△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，
∴点D到AC的距离＝BD＝4．
故选：A．
【变式3.3】（2020春•南海区期末）如图，射线OC是∠AOB的角平分线，D是射线OC上一点，DP⊥OA于点P，DP＝4，若点Q是射线OB上一点，OQ＝3，则△ODQ的面积是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】作DE⊥OB于E，如图，根据角平分线的性质得DE＝DP＝4，然后根据三角形面积公式计算S△ODQ．
【解析】作DE⊥OB于E，如图，
∵OC是∠AOB的角平分线，DP⊥OA，DE⊥OB，
∴DE＝DP＝4，
∴S△ODQ=12×3×4＝6．
故选：D．
【变式3.4】．（2020秋•马鞍山期末）如图，P是△ABC的三条角平分线的交点，连接PA、PB、PC，若△PAB、△PBC、△PAC的面积分别为S1、S2、S3，则（ ）
A．S1＜S2+S3
B．S1＝S2+S3
C．S1＞S2+S3
D．无法确定S1与（S2+S3）的大小
【分析】过P点作PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，如图，利用角平分线的性质得到PD＝PE＝PF，再利用三角形面积公式得到S1=12•AB•PD，S2=12•BC•PF，S3=12•AC•PE，然后根据三角形三边的关系求解．
【解析】过P点作PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，如图，
∵P是△ABC的三条角平分线的交点，
∴PD＝PE＝PF，
∵S1=12•AB•PD，S2=12•BC•PF，S3=12•AC•PE，
∴S2+S3=12•（AC+BC）•PD，
∵AB＜AC+BC，
∴S1＜S2+S3．
故选：A．
【变式3.5】（2020秋•中山市期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝6，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为（ ）
A．4B．6C．3D．12
【分析】根据垂线段最短得出当DP⊥BC时，DP的长度最小，求出∠ABD＝∠CBD，根据角平分线的性质得出AD＝DP＝6，即可得出选项．
【解析】∵BD⊥CD，
∴∠BDC＝90°，
∴∠C+∠CBD＝90°，
∵∠A＝90°
∴∠ABD+∠ADB＝90°，
∵∠ADB＝∠C，
∴∠ABD＝∠CBD，
当DP⊥BC时，DP的长度最小，
∵AD⊥AB，
∴DP＝AD，
∵AD＝6，
∴DP的最小值是6，
故选：B．
考点4线段垂直平分线的性质
【例4】（2020秋•偃师市期末）元旦联欢会上，同学们玩抢凳子游戏，在与A、B、C三名同学距离相等的位置放一个凳子，谁先抢到凳子谁获胜．如果将A、B、C三名同学所在位置看作△ABC的三个顶点，那么凳子应该放在△ABC的（ ）
A．三边中线的交点B．三条角平分线的交点
C．三边上高的交点D．三边垂直平分线的交点
【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边垂直平分线的交点上．
【解析】∵三角形的三条垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，
∴凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最合适．
故选：D．
【变式4.1】（2020秋•仓山区期末）如图，△ABC中，∠BAC＝80°，AB的垂直平分线交BC边于点E，AB边于点D，AC的垂直平分线交BC边于点N，AC边于点M，则∠NAE＝ 20° ．
【分析】根据三角形内角和定理可求∠B+∠C，根据垂直平分线性质得到EA＝EB，NA＝NC，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠B，∠NAC＝∠C，从而可得∠BAC＝∠BAE+∠NAC﹣∠EAN＝∠B+∠C﹣∠EAN，即可得到∠EAN＝∠B+∠C﹣∠BAC，通过计算得到答案．
【解析】∵∠BAC＝80°，
∴∠B+∠C＝180°﹣80°＝100°，
∵AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N，
∴EA＝EB，NA＝NC，
∴∠EAB＝∠B，∠NAC＝∠C，
∴∠BAC＝∠BAE+∠NAC﹣∠EAN＝∠B+∠C﹣∠EAN，
∴∠EAN＝∠B+∠C﹣∠BAC，
＝100°﹣80°
＝20°，
故答案为：20°．
【变式4.2】（2020秋•丹徒区期末）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，DE是边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点，且AB＝8，BC＝6，则△BEC的周长是 16 ．
【分析】根据勾股定理求出AC，根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解析】在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，
∴AC=AB2+BC2=82+62=10，
∵DE是边AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴△BEC的周长＝BC+EC+BE＝BC+EC+EA＝BC+AC＝16，
故答案为：16．
【变式4.3】．（2020秋•浦东新区期末）如图，DF垂直平分AB，EG垂直平分AC，若∠BAC＝110°，则∠DAE＝ 40 °．
【分析】根据三角形内角和定理得到∠B+∠C＝70°，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，EA＝EC，根据等腰三角形的性质计算，得到答案．
【解析】∵∠BAC＝110°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝180°﹣110°＝70°，
∵DF垂直平分AB，EG垂直平分AC，
∴DA＝DB，EA＝EC，
∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，
∴∠DAB+∠EAC＝∠B+∠C＝70°，
∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠DAB+∠EAC）＝40°，
故答案为：40．
【变式4.4】（2020秋•丛台区校级期末）如图所示，在△ABC中，DE、MN是边AB、AC的垂直平分线，其垂足分别为D、M，分别交BC于E、N，且DE和MN交于点F．
（1）若∠B＝20°，则∠BAE＝ 20° ；
（2）若∠EAN＝40°，则∠F＝ 70° ；
（3）若AB＝8，AC＝9，设△AEN周长为m，则m的取值范围为 145＜m＜17 ．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据等腰三角形的性质解答即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，AN＝CN，根据三角形内角和定理计算即可；
（3）根据三角形的周长公式得到△AEN的周长＝BC，根据三角形的三边关系、勾股定理计算，得到答案．
【解析】（1）∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴∠BAE＝∠B＝20°；
（2））∵DE、MN是边AB、AC的垂直平分线，
∴AE＝BE，AN＝CN，
∴∠BAE＝∠B，∠CAN＝∠C，
∵∠EAN＝40°，∠B+∠BAE+∠EAN+∠CAN+∠C＝180°，
∴∠BAE+∠CAN＝70°，
∴∠BAC＝∠BAE+∠CAN+∠EAN＝110°，
∵∠ADF＝∠AMF＝90°，
∴∠F＝360°﹣∠ADF﹣∠AMF﹣∠BAC＝360°﹣90°﹣90°﹣110°＝70°；
（3）∵DE、MN是边AB、AC的垂直平分线，
∴AE＝BE，AN＝CN，
∴△AEN的周长＝AE+EN+AN＝BE+EN+CN＝BC，
当∠BAC＝90°时，BC=82+92=145，
在△ABC中，AB＝8，AC＝9，
∴145＜BC＜9+8，
∴145＜m＜17．
故答案为：（1）20°；（2）70°；（3）145＜m＜17．
考点5 等腰三角形的性质
【例5】（2020秋•腾冲市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，点D在BC上，且BD＝AB，连接AD，则∠CAD等于（ ）
A．30°B．36°C．38°D．45°
【分析】根据等腰三角形两底角相等求出∠B，∠BAD，然后根据∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD计算即可得解．
【解析】∵AB＝AC，∠BAC＝108°，
∴∠B=12（180°﹣∠BAC）=12（180°﹣108°）＝36°，
∵BD＝AB，
∴∠BAD=12（180°﹣∠B）=12（180°﹣36°）＝72°，
∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝108°﹣72°＝36°．
故选：B．
【变式5.1】（2020秋•拱墅区期末）如图，在△ABC中，点D在边BC上，且满足AB＝AD＝DC，过点D作DE⊥AD，交AC于点E．设∠BAD＝α，∠CAD＝β，∠CDE＝γ，则（ ）
A．2α+3β＝180°B．3α+2β＝180°C．β+2γ＝90°D．2β+γ＝90°
【分析】根据AB＝AD＝DC，∠B＝∠ADB，∠C＝∠CAD＝β，再根据三角形外角的性质得出∠AED＝β+γ，然后根据直角三角形的两锐角互余即可得结论．
【解析】∵AB＝AD＝DC，∠BAD＝α，
∴∠B＝∠ADB，∠C＝∠CAD＝β，
∵DE⊥AD，
∴∠ADE＝90°，
∴∠CAD+∠AED＝90°，
∵∠CDE＝γ，∠AED＝∠C+∠CDE，
∴∠AED＝γ+β，
∴2β+γ＝90°，
故选：D．
【变式5.2】（2020秋•南安市期末）在等腰△ABC中，∠A＝80°，则∠B的度数不可能是（ ）
A．80°B．60°C．50°D．20°
【分析】分∠A是顶角和底角两种情况分类讨论求得∠B的度数即可确定正确的选项．
【解析】当∠A为顶角，
∴∠B=180°-∠A2=50°；
当∠B是顶角，则∠A是底角，则∠B＝180°﹣80°﹣80°＝20°；
当∠C是顶角，则∠B与∠A都是底角，则∠B＝∠A＝80°，
综上所述，∠B的度数为50°或20°或80°，
故选：B．
【变式5.3】（2020秋•江汉区期末）等腰三角形中有一个角为100°，则其底角为（ ）
A．50°B．40°C．40°或100°D．50°或100°
【分析】先判断出100°的角是顶角，再根据等腰三角形的两底角相等解答．
【解析】∵等腰三角形的一个角100°，
∴100°的角是顶角，
∴底角是12×（180°﹣100°）＝40°，
故选：B．
【变式5.4】（2020秋•西峰区期末）如图，BE⊥AC于点D，且AB＝BC，BD＝ED，若∠ABC＝54°，则∠E＝（ ）
A．27°B．36°C．40°D．54°
【分析】先根据等腰三角形三线合一的性质得出∠CBD＝27°，再根据线段垂直平分线的性质得出CB＝CE，推出∠E＝∠CBD即可．
【解析】∵AB＝BC，BE⊥AC，∠ABC＝54°，
∴∠CBD＝∠ABD=12∠ABC＝27°，
∵BE⊥AC，BD＝ED，
∴AC是BE的垂直平分线，
∴CB＝CE，
∴∠E＝∠CBD＝27°．
故选：A．
考点6等边三角形的性质
【例6】（2019秋•永城市期末）三个等边三角形的摆放位置如图所示，若∠1+∠2＝120°，则∠3的度数为（ ）
A．90°B．60°C．45°D．30°
【分析】由平角的性质可得∠3+∠6+60°＝180°，∠2+∠4+60°＝180°，∠1+∠5+60°＝180°，可得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝540°﹣180°，将∠1+∠2＝120°代入可求解．
【解析】如图，
∵∠3+∠6+60°＝180°，∠2+∠4+60°＝180°，∠1+∠5+60°＝180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝540°﹣180°，
∴∠3＝180°﹣（∠1+∠2）＝60°，
故选：B．
【变式6.1】（2020秋•承德县期末）如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝1，则B6B7的边长为（ ）
A．63B．123C．323D．643
【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2＝2B1A2，得出A3B3＝4B1A2＝4，A4B4＝8B1A2＝8，A5B5＝16B1A2…进而得到A7B7＝26B1A2＝26＝64，B6A7=12A7B7=32，再根据勾股定理即可解答．
【解析】∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°，
∴∠2＝120°，
∵∠MON＝30°，
∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
又∵∠3＝60°，
∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∵∠MON＝∠1＝30°，
∴OA1＝A1B1＝1，
∴A2B1＝1，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°，
∵∠4＝∠12＝60°，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°，
∴A2B2＝2B1A2＝2，B3A3＝2B2A3，
∴A3B3＝4B1A2＝4，
A4B4＝8B1A2＝8，
A5B5＝16B1A2＝16，
以此类推：A7B7＝26B1A2＝26＝64，B6A7=12A7B7=32，△B7B6A7是直角三角形，∠B7B6A7＝90°，
∴B6B7=A7B72-B6A72=642-322=323．
故选：C．
【变式6.2】（2020秋•北碚区期末）如图，△ABC是等边三角形，AQ＝PQ，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，PR＝PS，则下列结论：①点P在∠A的角平分线上； ②AS＝AR； ③QP∥AR； ④△BRP≌△QSP．正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据到角的两边的距离相等的点在角的平分线上可得AP平分∠BAC，从而判断出①正确，然后证明出△APR与△APS全等，根据全等三角形对应边相等即可得到②正确，然后根据等边对等角的性质可得∠APQ＝∠PAQ，然后得到∠APQ＝∠PAR，然后根据内错角相等两直线平行可得QP∥AB，从而判断出③正确；④由△BPR≌△CPS，△BRP≌△QSP，即可得到④正确．
【解析】∵△ABC是等边三角形，PR⊥AB，PS⊥AC，且PR＝PS，
∴P在∠A的平分线上，故①正确；
∵PA＝PA，PS＝PR，
∴Rt△APR≌Rt△APS（HL），
∴AS＝AR，故②正确；
∵AQ＝PQ，
∴∠PQC＝2∠PAC＝60°＝∠BAC，
∴PQ∥AR，故③正确；
由③得，△PQC是等边三角形，
∴△PQS≌△PCS，
又由②可知，④△BRP≌△QSP，故④也正确，
∵①②③④都正确，
故选：D．
【变式6.3】（2020春•开江县期末）下列说法中，正确的个数有（ ）个
（1）相等的角是对顶角；
（2）两直线被第三条直线所截，同位角相等
（3）平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
（4）等边三角形的三条中线、角平分线、高线都交于一点；
（5）如果∠1与∠3互余，∠2与∠3的余角互补，那么∠1和∠2互补
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】（1）根据相等的角不一定是对顶角，即可判断（1）；
（2）根据两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，即可判断（2）；
（3）根据在同一个平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，即可判断（3）；
（4）根据等边三角形的三条中线、角平分线、高线都交于一点，即可判断（4）；
（5）根据∠1与∠3互余，∠2与∠3的余角互补，那么可得∠1和∠2互补，即可判断（5）．
【解析】（1）相等的角不一定是对顶角，所以（1）错误；
（2）两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，所以（2）错误；
（3）在同一个平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，所以（3）错误；
（4）等边三角形的三条中线、角平分线、高线都交于一点，所以（4）正确；
（5）∵∠1+∠3＝90°，
∠2+（90°﹣∠3）＝180°，即∠2﹣∠3＝90°，
∴∠1+∠2＝180°，
即如果∠1与∠3互余，∠2与∠3的余角互补，那么∠1和∠2互补，所以（5）正确．
所以正确的个数有2个．
故选：B．
考点7作图：轴对称变换
【例7】（2020秋•费县期末）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A，C的坐标分别为（﹣4，5），（﹣1，3）．
（1）请作出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'；
（2）在y轴上找一点P，使PA+PC最小．（保留作图痕迹，在图中标出点P）
【分析】（1）分别作出A，B，C 的对应点A′，B′，C′即可．
（2）连接BA′交y轴于P，连接AP，点P即为所求作．
【解析】（1）如图，△A'B'C'即为所求作．
（2）如图，点P即为所求作．
【变式7.1】（2020秋•泗水县期末）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A，C的坐标分别为A（﹣3，5），C（0，3）．
（1）请在如图所示的网格内作出平面直角坐标系并作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．
（2）写出点B1的坐标并求出△A1B1C1的面积．
【分析】（1）先利用A点和C点坐标画出直角坐标系，再利用关于y轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）由（1）得到点B1的坐标，然后用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△A1B1C1的面积．
【解析】（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）点B1的坐标为（1，1），
△A1B1C1的面积＝3×4-12×2×1-12×2×4-12×2×3＝4．
【变式7.2】（2020秋•紫阳县期末）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格的边长为1，△ABC的三个顶点分别为A（4，3），B（3，﹣3），C（1，1）．请在坐标系中标出A，B，C三点，画出△ABC，并画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，写出点A1，B1，C1的坐标．
【分析】根据关于y轴对称的点的坐标特征写出点A1，B1，C1的坐标，然后描点即可．
【解析】如图所示，△ABC，△A1B1C1为所求，点A1，B1，C1的坐标分别为（﹣4，3），（﹣3，﹣3），（﹣1，1）．
【变式7.3】（2020秋•宝应县期末）图1、图2、图3都是3×3的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，A、B、C均为格点．在给定的网格中，按下列要求画图：
（1）在图1中，画一条不与AB重合的线段MN，使MN与AB关于某条直线对称，且M、N为格点；
（2）在图2中，画一条不与AC重合的线段PQ，使PQ与AC关于某条直线对称，且P、Q为格点；
（3）在图3中，画一个△DEF，使△DEF与△ABC关于某条直线对称，且D、E、F为格点，符合条件的三角形共有 4 个．
【分析】根据要求利用轴对称的性质作出图形即可（答案不唯一）．
【解析】（1）如图，线段MN即为所求作（答案不唯一）．
（2）如图，线段PQ即为所求作（答案不唯一）．
（3）如图，△DEF即为所求作（答案不唯一），符合条件的三角形有4个．
故答案为：4．
【变式7.4】（2020秋•淮南期末）如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点A的坐标是（﹣1，0），B点坐标是（﹣3，1），C点坐标是（﹣2，3）．
（1）作△ABC关于y轴对称的图形△DEF，其中A、B、C的对应点分别为D、E、F；
（2）动点P的坐标为（0，t），当t为何值时，PA+PC的值最小，并画出点P；
（3）在（1）的条件下，点Q为网格格点，当△QDE为等腰三角形，请直接写出Q点的坐标．
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点D，E，F即可．
（2）连接CD交y轴于点P，连接PC，点P即为所求作．
（3）根据等腰直角三角形的判定画出图形即可．
【解析】（1）如图，△DEF即为所求作．
（2）如图，点P即为所求作．
（3）满足条件的点Q的坐标为（0，2）或（2，3）或（3，﹣1）或（﹣1，1）或（4，3）或（5，0）或（﹣1，0）或（3，﹣1）．
【变式7.5】（2020秋•成都期末）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，A，B，C三点在格点上．
（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
（2）在y轴上作点D，使得AD+BD最小，并求出最小值．
【分析】（1）根据题意和图形，可以画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
（2）根据轴对称和两点之间线段，可以得到使得AD+BD最小时点D所在的位置，然后利用勾股定理求出AD+BD的最小值即可．
【解析】（1）如右图所示，
点A1的坐标是（2，﹣4）；
（2）作点B关于y轴的对称点B′，连接AB′与y轴交于点D，则此时AD+BD最小，
∵AB′=32+32=32，
∴AD+BD最小值是32．
考点8 等腰三角形的综合问题
【例8】（2020秋•朝阳区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AC，若∠A＝30°，求∠BCD的度数．
【分析】由垂直平分线的性质可得DA＝DC，从而可求得∠DCA；由AB＝AC，可得∠B＝∠ACB；利用三角形的内角和定理求得∠ACB的度数，根据∠BCD＝∠ACB﹣∠DCA，可求得答案．
【解析】∵DE垂直平分AC，
∴DA＝DC，
∴∠DCA＝∠A＝30°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，
∴∠ACB＝（180°﹣30°）÷2
＝150°÷2
＝75°，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠DCA
＝75°﹣30°
＝45°．
∴∠BCD的度数为45°．
【变式8.1】（2020秋•河南期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．
（1）若∠B＝39°，求∠CAD的度数；
（2）若点E在边AC上，EF∥AB交AD的延长线于点F．求证：AE＝FE．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠BAD＝∠CAD，根据三角形的内角和即可得到∠BAD＝∠CAD＝90°﹣39°＝51°；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠BAD＝∠CAD根据平行线的性质得到∠F＝∠CAD，等量代换得到∠BAD＝∠F，于是得到结论．
【解析】（1）∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ADC＝90°，
又∠B＝39°，
∴∠BAD＝∠CAD＝90°﹣39°＝51°；
（2）∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵EF∥AC，
∴∠F＝∠CAD，
∴∠BAD＝∠F，
∴AE＝FE．
【变式8.2】（2020春•宁德期末）如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°，CD是△ABC的高，BE是△ABC的角平分线，CD与BE交于点P．当∠A的大小变化时，△EPC的形状也随之改变．
（1）当∠A＝44°时，求∠BPD的度数；
（2）设∠A＝x°，∠EPC＝y°，求变量y与x的关系式；
（3）当△EPC是等腰三角形时，请直接写出∠A的度数．
【分析】（1）根据等边对等角求出等腰△ABC的底角度数，再根据角平分线的定义得到∠ABE的度数，再根据高的定义得到∠BDC＝90°，从而可得∠BPD；
（2）按照（1）中计算过程，即可得到∠A与∠EPC的关系，即可得到结果；
（3）分①若EP＝EC，②若PC＝PE，③若CP＝CE，三种情况，利用∠ABC+∠BCD＝90°，以及y=45+x4解出x即可．
【解析】（1）∵AB＝AC，∠A＝44°，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180﹣44）°÷2＝68°，
∵CD⊥AB，
∴∠BDC＝90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝34°，
∴∠BPD＝90°﹣34°＝56°；
（2）∵∠A＝x°，
∴∠ABC＝（180﹣x）°÷2＝（90-x2）°，
由（1）可得：∠ABP=12∠ABC＝（45-x4）°，∠BDC＝90°，
∴∠EPC＝y°＝∠BPD＝90°﹣（45-x4）°＝（45+x4）°，
即y与x的关系式为y=45+x4，
（3）设∠A＝x°，∠EPC＝y°，
①若EP＝EC，
则∠ECP＝∠EPC＝y°，
而∠ABC＝∠ACB＝（90-x2）°，∠ABC+∠BCD＝90°，
则有：（90-x2）°+（90-x2-y）°＝90°，又y=45+x4，代入，
∴（90-x2）°+（90-x2）°﹣（45+x4）°＝90°，
解得：x＝36；
②若PC＝PE，
则∠PCE＝∠PEC＝（180﹣y）°÷2＝（90-y2）°，
由①得：∠ABC+∠BCD＝90°，
∴（90-x2）°+[（90-x2）°﹣（90-y2）°]＝90°，
又y=45+x4，代入，
解得：x=1807；
③若CP＝CE，
则∠EPC＝∠PEC＝y°，∠PCE＝180°﹣2y°，
由①得：∠ABC+∠BCD＝90°，
∴（90-x2）°+（90-x2）°﹣（180﹣2y）°＝90°，又y=45+x4，代入，
解得：x＝0，不符合，
综上：当△EPC 是等腰三角形时，∠A的度数为36°或（1807）°．
【变式8.3】（2019秋•两江新区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC的中点，连接AD，点E是BC延长线上一点，CF平分∠ACE，连接AF，且AF＝AC．
（1）若∠CAD＝36°，求∠B的度数；
（2）求证：AF∥BE．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论；
（2）根据角平分线的定义和等腰三角形的性质以及平行线的判定定理即可得到结论．
【解析】（1）∵AB＝AC，D是边BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACB＝90°﹣∠DAC＝90°﹣36°＝54°，
∴∠B＝∠ACB＝54°；
（2）∵CF平分∠ACE，
∴∠ACF＝∠ECF，
∵AF＝AC，
∴∠ACF＝∠F，
∴∠ECF＝∠F，
∴AF∥BE．
【变式8.4】（2020秋•利通区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是三角形内一点，连接AD，BD，CD，∠BDC＝90°，∠DBC＝45°．
（1）求证：∠BAD＝∠CAD；
（2）求∠ADB的度数．
【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出∠BCD＝180°﹣∠BDC﹣∠DBC＝45°，利用等角对等边得出DB＝DC．再根据SSS证明△ABD≌△ACD，那么∠BAD＝∠CAD；
（2）根据全等三角形的对应角相等得出∠ADB＝∠ADC，再利用周角的定义即可求出∠ADB的度数．
【解答】（1）证明：∵∠BDC＝90°，∠DBC＝45°，
∴∠BCD＝180°﹣∠BDC﹣∠DBC＝45°，
∴∠DBC＝∠BCD，
∴DB＝DC．
在△ABD与△ACD中，
AB=ACDB=DCAD=AD，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠BAD＝∠CAD；
（2）解：∵△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠ADB＝∠ADC，
∵∠ADB+∠ADC+∠BDC＝360°，∠BDC＝90°，
∴∠ADB=12（360°﹣90°）＝135°．
【变式8.5】（2020春•叙州区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，E为BC边上一点，以E为顶点作∠AEF，∠AEF的一边交AC于点F，使∠AEF＝∠B．
（1）如果∠ABC＝40°，则∠BAC＝ 100° ；
（2）判断∠BAE与∠CEF的大小关系，并说明理由；
（3）当△AEF为直角三角形时，求∠AEF与∠BAE的数量关系．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质解答即可；
（2）根据三角形内角与外角的关系可得∠B+∠BAE＝∠AEC＝∠AEF+∠FEC，再由条件∠AEF＝∠B可得∠BAE＝∠FEC；
（3）分别根据当∠AFE＝90°时，以及当∠EAF＝90°时利用外角的性质得出即可．
【解析】（1）∵在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，∠ABC＝40°，
∴∠ACB＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
故答案为：100°．
（2）∠BAE＝∠FEC；
理由如下：
∵∠B+∠BAE＝∠AEC，∠AEF＝∠B，
∴∠BAE＝∠FEC；
（3）如图1，当∠AFE＝90°时，
∵∠B+∠BAE＝∠AEF+∠CEF，
∠B＝∠AEF＝∠C，
∴∠BAE＝∠CEF，
∵∠C+∠CEF＝90°，
∴∠BAE+∠AEF＝90°，
即∠AEF与∠BAE的数量关系是互余；
如图2，当∠EAF＝90°时，
∵∠B+∠BAE＝∠AEF+∠1，
∠B＝∠AEF＝∠C，
∴∠BAE＝∠1，
∵∠C+∠1+∠AEF＝90°，
∴2∠AEF+∠1＝90°，
即2∠AEF与∠BAE的数量关系是互余．
考点9 等边三角形的综合问题
【例9】（2019秋•永安市期末）已知，△ABC是等边三角形，D、E、F分别是AB、BC、AC上一点，且∠DEF＝60°．
（1）如图1，若∠1＝50°，求∠2；
（2）如图2，连接DF，若∠1＝∠3，求证：DF∥BC．
【分析】（1）根据等边三角形的性质和三角形的内角和解答即可；
（2）根据三角形的内角和和平角的定义以及平行线的判定解答即可．
【解析】（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠A＝∠C＝60°，
∵∠B+∠1+∠DEB＝180°，
∠DEB+∠DEF+∠2＝180°，
∵∠DEF＝60°，
∴∠1+∠DEB＝∠2+∠DEB，
∴∠2＝∠1＝50°；
（2）∵∠B+∠1+∠DEB＝180°，∠FDE+∠3+∠DEF＝180°，
又∵∠B＝60°，∠DEF＝60°，∠1＝∠3，
∴∠FDE＝∠DEB，
∴DF∥BC．
【变式9.1】（2019秋•和平区期末）如图，△ABC是等边三角形，△ACE是等腰三角形，∠AEC＝120°，AE＝CE，F为BC中点，连接AF．
（1）直接写出∠BAE的度数为 90° ；
（2）判断AF与CE的位置关系，并说明理由．
【分析】（1）分别求出∠BAC，∠CAE即可解决问题．
（2）证明AF⊥BCEC⊥BC即可判断．
【解析】（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ACB＝60°，
∵EA＝EC，∠AEC＝120°，
∴∠EAC＝∠ECA＝30°，
∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝90°．
故答案为90°．
（2）结论：AF∥EC．
理由：∵AB＝AC，BF＝CF，
∴AF⊥BC，
∵∠ACB＝60°，∠ACE＝30°，
∴∠BCE＝90°，
∴EC⊥BC，
∴AF∥EC．
【变式9.2】（2020秋•涪城区校级期末）如图，在等边△ABC中，AB＝12cm，现有M，N两点分别从点A，B同时出发，沿△ABC的边按顺时针方向运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s，当点N第一次到达B点时，M，N同时停止运动，设运动时间为t（s）．
（1）当t为何值时，M，N两点重合？两点重合在什么位置？
（2）当点M，N在BC边上运动时，是否存在使AM＝AN的位置？若存在，请求出此时点M，N运动的时间；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）首先根据M、N两点重合，表示出M，N的运动路程，N的运动路程比M的运动路程多12cm，列出方程求解即可；
（2）首先假设△AMN是等腰三角形，可证出△ACM≌△ABN，可得CM＝BN，设出运动时间，表示出CM，NB，NM的长，列出方程，可解出未知数的值．
【解析】（1）由题意，t×1+12＝2t，
解得：t＝12，
∴当t＝12时，M，N两点重合，
此时两点在点C处重合；
（2）结论：当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形．
理由：由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处，
如图，假设△AMN是等腰三角形，
∴AN＝AM，
∴∠AMN＝∠ANM，
∴∠AMC＝∠ANB，
∵△ACB是等边三角形，
∴∠C＝∠B，
在△ACM和△ABN中，
∠C=∠B∠AMC=∠ANBAC=AB，
∴△ACM≌△ABN（AAS），
∴CM＝BN，
设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，
∴CM＝y﹣12，NB＝36﹣2y，
∵CM＝NB，
∴y﹣12＝36﹣2y，
解得：y＝16．故假设成立．
∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时M、N运动的时间为16秒．
【变式9.3】（2020秋•番禺区期末）如图△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE＝CD．求证：DB＝DE．
【分析】根据等边三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB＝60°，∠DBC＝30°，再根据角之间的关系求得∠DBC＝∠CED，根据等角对等边即可得到DB＝DE．
【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，BD是中线，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°．
∠DBC＝30°（等腰三角形三线合一）．
又∵CE＝CD，
∴∠CDE＝∠CED．
又∵∠BCD＝∠CDE+∠CED，
∴∠CDE＝∠CED=12∠BCD＝30°．
∴∠DBC＝∠DEC．
∴DB＝DE（等角对等边）．
【变式9.4】（2019秋•洛阳期末）如图，△ABC是等边三角形，延长BC到E，使CE=12BC．点D是边AC的中点，连接ED并延长ED交AB于F求证：
（1）EF⊥AB；
（2）DE＝2DF．
【分析】（1）根据等边三角形的性质得出AC＝BC，∠ACB＝∠B＝60°，求出CD＝CE，根据三角形外角性质和等腰三角形的性质求出∠E＝30°，求出∠BFE即可；
（2）连接BD，求出BD＝DE，根据含30°角的直角三角形的性质得出BD＝2DF，即可得出答案．
【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝∠B＝60°，
∵D为AC的中点，
∴AD＝CD=12AC，
∵CE=12BC，
∴CD＝CE，
∵∠E+∠CDE＝∠ACB＝60°，
∴∠E＝∠CDE＝30°，
∵∠B＝60°，
∴∠EFB＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
即EF⊥AB；
（2）连接BD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝60°，
∵D为AC的中点，
∴∠DBC＝∠ABD=12∠ABC＝30°，
∵∠E＝30°，
∴∠DBC＝∠E，
∴DE＝BD，
∵∠BFE＝90°，∠ABD＝30°，
∴BD＝2DF，
即DE＝2DF．
【变式9.5】（2020春•广丰区期末）在同一平面内，将两块正三角形的纸板的两个顶点重合在一起．
（1）如图1重叠部分∠AOD＝30°，求∠COB的大小；
（2）如图2重叠部分∠AOD＝15°，求∠COB的大小；
（3）如图3，若两图形除O外没有重叠，∠AOD＝10°，求∠COB的大小；
（4）求∠AOD和∠COB的数量关系．
【分析】（1）结合图1，由等边三角形的内角均等于60°及∠AOD＝30°，则∠COB＝∠COD+∠AOB﹣∠AOD，将相关度数代入计算即可；
（2）结合图2，方法同（1）；
（3）结合图3，由等边三角形的内角均等于60°及∠AOD＝10°，则∠COB＝∠COD+∠AOB+∠AOD，将相关度数代入计算即可；
（4）分三种情况计算即可：当∠AOD是两个角的重叠的角；当∠AOD是两个角的相离时的角；当∠AOD是两个角的相离时的角．
【解析】（1）∵△COD和△AOB为正三角形，∠AOD＝30°，
∴∠COB＝∠COD+∠AOB﹣∠AOD
＝60°+60°﹣30°
＝90°；
（2）∵△COD和△AOB为正三角形，∠AOD＝15°，
∴∠COB＝∠COD+∠AOB﹣∠AOD
＝60°+60°﹣15°
＝105°；
（3）∵△COD和△AOB为正三角形，∠AOD＝10°，
∴∠COB＝∠COD+∠AOB+∠AOD
＝60°+60°+10°
＝130°；
（4）当∠AOD是两个角的重叠的角，则∠COB＝120°﹣∠AOD；
当∠AOD是两个角的相离时的角，且∠AOD≤60°，则∠COB＝120°+∠AOD；
当∠AOD是两个角的相离时的角，且∠AOD＞60°，则∠COB＝360°﹣（120°+∠AOD）＝240°﹣∠AOD．