专题1.6概率初步精讲精练专题（知识梳理+典例剖析+变式训练）-2021-2022学年七年级数学下学期期末考试高分直通车【北师大版】

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【知识梳理】
随机事件
（1）确定事件：事先能肯定它 的事件称为必然事件，事先能肯定它 的事件称为不可能事件， 都是确定的．
（2）随机事件：在一定条件下，可能发生 的事件，称为 ．
（3）事件分为 和不确定事件（随机事件），确定事件又分为 和 ，其中，①必然事件发生的概率为 ，即 ；
②不可能事件发生的概率为 ，即 ；
③如果A为不确定事件（随机事件），那么 ．
2.可能性的大小：随机事件发生的可能性（概率）的计算方法：
（1）理论计算又分为如下两种情况：
第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的 与 的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种：通过 来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算．
（2）实验估算又分为如下两种情况：
第一种：利用实验的方法进行 估算．要知道当实验次数非常大时， 可作为事件发生的概率的 ，即 实验频率稳定于理论概率．
第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验．
3.频率的稳定性
（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用 的集中趋势来估计概率，这个固定的 就是这个事件的概率．
（2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
（3）当实验的所有可能结果不是 或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性 时，一般通过 来估计概率．
4.概率：
（1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率
会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为 ．
（2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．
（3）概率取值范围： ．
（4）必然发生的事件的概率 ；不可能发生事件的概率 ．
（4）事件发生的可能性越大，概率越接近与 ，事件发生的可能性越小，概率越接近于 ．
（5）通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题．
5.概率公式
【典例剖析】
考点1随机事件
【例1 】（2020秋•紫阳县期末）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．一名运动员跳高的最好成绩是20.1米
B．一人买一张火车票，座位刚好靠窗口
C．通常加热到100℃时，水沸腾
D．购买一张彩票，中奖
【变式1.1】．（2020秋•高平市期末）两个不透明口袋中各有三个相同的小球，将每个口袋的小球分别标号为1，2，3．从这两个口袋中分别摸出一个小球，则下列事件为随机事件的是（ ）
A．两个小球的标号之和等于1
B．两个小球的标号之和大于1
C．两个小球的标号之和等于6
D．两个小球的标号之和大于6
【变式1.2】（2020秋•防城港期末）不透明袋子中有除颜色外完全相同的3个黑球和2个白球，从袋子中随机摸出3个球，下列事件中是必然发生的事件是（ ）
A．2个白球1个黑球B．2个黑球1个白球
C．至少有1个黑球D．3个都是黑球
【变式1.3】．（2020秋•奉化区期末）下列事件中，属于不可能事件的是（ ）
A．明天会下雪
B．抛一枚硬币，正面朝上
C．小明购买一张彩票，一定中奖
D．在一个装有白球的袋子中摸出黑球
【变式1.4】．（2020秋•柳州期末）“任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是偶数”这个事件是（ ）
A．必然事件B．不可能事件C．随机事件D．确定事件
考点2可能性的大小
【例2】（2020春•嘉定区期末）将只有颜色不同的3个白球、2个黑球放在一个不透明的布袋中．下列四个选项，不正确的是（ ）
A．摸到白球比摸到黑球的可能性大
B．摸到白球和黑球的可能性相等
C．摸到红球是确定事件
D．摸到黑球或白球是确定事件
【变式2.1】（2020春•滕州市校级期末）下列事件发生的可能性为0的是（ ）
A．掷两枚骰子，同时出现数字“6”朝上
B．小明从家里到学校用了10分钟，从学校回到家里却用了15分钟
C．今天是星期天，昨天必定是星期六
D．小明步行的速度是每小时50千米
【变式2.2】（2020秋•江北区期末）九年级（1）班与九年级（2）班准备举行拔河比赛，根据双方的实力，小明预测：“九年级（1）班获胜的可能性是80%”下列四句话能正确反映其观点的是（ ）
A．九年级（2）班肯定会输掉这场比赛
B．九年级（1）班肯定会赢得这场比赛
C．若进行10场比赛，九年级（1）班定会赢得8次
D．九年级（2）班也有可能会赢得这场比赛
【变式2.3】．（2020秋•拱墅区期末）任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，发生可能性最大的事件是（ ）
A．朝上一面的点数大于2
B．朝上一面的点数为3
C．朝上一面的点数是2的倍数
D．朝上一面的点数是3的倍数
【变式2.4】（2020春•洪泽区期中）一个不透明的盒子中装有2个红球、3个白球和2个黄球，它们除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，摸到哪种颜色的球的可能性最大（ ）
A．红色B．黄色C．白色D．红色和黄色
考点3利用频率估计概率
【例3】（2020秋•东阳市期末）只有颜色不同的15个红球和若干个白球装在不透明的袋子里，从袋子里摸出一个球记录下颜色后放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.4，则袋中白球有（ ）
A．10个B．16个C．24个D．40个
【变式3.1】（2020秋•市北区期末）在一个不透明的口袋中，装有除颜色外其他都相同的4个白球和n个黄球．某同学进行如下试验：从袋中随机摸出1个球记下它的颜色，放回、摇匀，为一次摸球试验．记录摸球的次数与摸出白球的次数的列表如下：
根据列表可以估计出n的值为（ ）
A．4B．16C．20D．24
【变式3.2】（2020秋•承德县期末）甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，并绘出了如下折线统计图，则最有可能符合这一结果的试验的是（ ）
A．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率
B．抛一枚硬币，出现正面的概率
C．任意写一个整数，它能被3整除的概率
D．从一副去掉大小王的扑克牌中，任意抽取一张，抽到黑桃的概率
【变式3.3】（2020秋•越城区期末）一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的9个红球、3个白球，若干个绿球，每次摇均匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经大量实验，发现摸到绿球的概率稳定在0.2，则袋中的绿球数为（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【变式3.4】（2020秋•南宁期末）如图1所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为8m，宽为5m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（小球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图，由此可估计不规则图案的面积大约是（ ）
A．12m2B．14m2C．16m2D．18m2
考点4概率公式
【例4】（2020秋•潢川县期末）在一只不透明的口袋中放入5个红球，4个黑球，n个黄球，这些球除颜色不同外，其他无任何差别．搅匀后随机从中摸出一个球恰好是黄球的概率为25，则放入口袋中的黄球的个数n是（ ）
A．6B．5C．4D．3
【变式4.1】（2020秋•朝阳区期末）如图，一个可以自由转动的转盘被分为8个大小相同的扇形，颜色标注为红，黄，绿，指针的位置固定，转动转盘停后，其中某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），则下列说法正确的是（ ）
A．指针指向黄色的概率为23
B．指针不指向红色的概率为34
C．指针指向红色或绿色的概率为12
D．指针指向绿色的概率大于指向黄色的概率
【变式4.2】（2020秋•南平期末）在一个不透明的袋子中装有5个小球，小球除颜色外完全相同，其中黑球2个，红球3个，从中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红色的概率是（ ）
A．32B．23C．25D．35
【变式4.3】（2020秋•涪城区期末）如图，是一个质地均匀的转盘，转盘分成7个大小相同的扇形，颜色分为红、绿、黄三种颜色．指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止；其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．则指针指向绿色或黄色的概率为（ ）
A．37B．47C．57D．67
【变式4.4】（2020秋•广安期末）“彩缕碧筠粽，香粳白玉团”．端午佳节，小明妈妈准备了豆沙粽5个、红枣粽3个、腊肉粽3个、鲜肉粽4个，其中豆沙粽和红枣粽是甜粽．小明任意选取一个，选到甜粽的概率是（ ）
A．15B．815C．715D．12
考点5几何概率
【例5】（2020秋•文登区期末）将一枚飞镖投掷到如图所示的正六边形镖盘上，飞镖落在白色区域的概率为（ ）
A．12B．25C．35D．23
【变式5.1】（2020秋•潮州期末）小华把如图所示的4×4的正方形网格纸板挂在墙上玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在阴影区域的概率是（ ）
A．316B．516C．716D．916
【变式5.1】（2020秋•喀什地区期末）如图，在正六边形转盘中，有两个正三角形涂有阴影，OA为可绕O点自由转动的指针，转动指针（若指针恰好停在分界线上，则重新转动），指针落在有阴影的区域内的概率为（ ）
A．16B．13C．12D．23
【变式5.1】（2020秋•香洲区期末）一枚飞镖任意投掷到如图所示的同心圆镖盘上，此镖盘上有两个同心圆，三条直径把大圆分成六等份，飞镖落在白色区域的概率为（ ）
A．16B．13C．12D．23
【变式5.1】（2020秋•抚顺期末）在如图所示的正方形和圆形组成的盘面上投掷飞镖，飞镖未落在阴影区域的概率是 ．
考点6关于概率初步的解答题
【例6】（2019秋•青川县期末）某商店在四个月的试销期内，只销售A、B两个品牌的电视机，共售出400台．如图1和图2为经销人员正在绘制的两幅统计图，请根据图中信息回答下列问题．
（1）第四个月两品牌电视机的销售量是多少台？
（2）先通过计算，再在图2中补全表示B品牌电视机月销量的折线：
（3）为跟踪调查电视机的使用情况，从该商店第四个月售出的电视机中，随机抽取一台，抽到A品牌和抽到B品牌电视机的可能性哪个大？请说明理由．
【变式6.1】（2020春•高淳区期末）手机是现代入生活中不可或缺的工具．某校“小记者”为了了解市民使用手机的品牌，随机调查了我区部分市民的手机品牌，并对调查结果进行整理．绘制了如图所示的不完整的统计图表．
请根据图表中提供的信息解答下列问题：
（1）填空：m＝ ，扇形统计图中E组所占的百分比为 ；
（2）我区拥有30万手机用户，请估计其中使用华为手机的用户数量；
（3）若在这次接受调查的市民中，随机抽查一人，则此人用小米手机的概率是 ．
【变式6.2】（2020春•镇江期末）小张同学学完统计知识后，随机调查了她所在辖区若干名居民的年龄，将调查数据绘制成如图所示的扇形统计图和条形统计图：
请根据以上不完整的统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）小张同学共调查了 名居民的年龄，扇形统计图中a＝ ；
（2）补全条形统计图，并注明人数；
（3）若在该辖区中随机抽取一人，那么这个人年龄是60岁及以上的概率为 ；
（4）若该辖区年龄在0～14岁的居民约有2400人，请估计该辖区居民有多少人？
【变式6.3】（2019秋•江北区期末）中华文明，源远流长，中华汉字，寓意深广．为传承中华优秀传统文化，某校团委组织了一次全校1500名学生参加的“汉字听写”大赛．为了解本次大赛的成绩，校团委随机抽取了其中200名学生的成绩作为样本进行统计，制成如下不完整的统计图表：
频数、频率分布表
根据所给信息，解答下列问题：
（1）m＝ ，n＝ ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）若成绩在90分以上（包括90分）为“优”等，请你估计该校参加本次比赛的1500名学生中成绩是“优”等的为多少人？
（4）优等生中有20名女生，现随机抽取一名同学接受采访，求抽到女生的概率是多少？
【变式6.4】（2020秋•青羊区期末）中国式过马路，是网友对部分中国人集体闯红灯现象的一种调侃，即“凑够一撮人就可以走了，和红绿灯无关”，针对这种现象某媒体记者在多个路口采访闯红灯的行人，得出形成这种现象的四个基本原因：①马路红灯时间长，交通管理混乱占2%；②侥幸心态，只图自己节省时间；③对行人闯红灯违规行为惩罚措施不够严厉占8%；④从众心理．该记者将这次调查情况整理并绘制了如图尚不完整的统计图，请根据相关信息，解答下列问题．
（1）该记者本次一共调查了 名行人；
（2）求图1中②所在扇形的圆心角度数，并补全图2；
（3）在本次调查中，记者随机采访其中的一名行人，求这名行人属于第④种情况的概率．
【变式6.5】（2020春•锦江区期末）2020年6月14日是第17个世界献血者日，今年的活动主题是“安全血液拯救生命”，使用的活动口号为“献血，让世界更健康”，意在关注个人献血为改善社区其他人的健康所做的贡献．为此，成都市采取自愿报名的方式组织市民义务献血．献血时要对献血者的血型进行检测，检测结果有“A型”，“B型”，“AB型”，“O型”4种类型．在献血者人群中，随机抽取了部分献血者的血型结果进行统计，并根据这个统计结果制作了两幅不完整的图表：
（1）这次随机抽收的献血者人数为 人，m＝ ；
（2）求x，y的值；
（3）请你根据抽样结果回答：从献血者人群中任抽取一人．其血型是O型的概率是多少？若这次活动中有8000人义务献血，大约有多少人是O型血？

摸球试验的次数
100
200
500
1000
摸出白球的次数
21
39
102
199
组别
手机品牌
频数（人数）
A
OPPO
80
B
VIVO
m
C
小米
100
D
华为
120
E
其他
60
成绩x（分）
频数（人）
频率
50≤x＜60
10
0.05
60≤x＜70
30
0.15
70≤x＜80
40
n
80≤x＜90
m
0.35
90≤x≤100
50
0.25
血型
A
B
AB
O
人数
x
20
10
y