专题3.6期末全真模拟卷06（压轴卷）-2021-2022学年七年级数学下学期期末考试高分直通车【北师大版】

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班级：______________ 姓名:_______________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间90分钟，试题26题，选择10道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级、座号、准考证号等信息填写在试卷和答题卡规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列微信表情图标属于轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】结合轴对称图形的概念求解即可．
【解析】A、不是轴对称图形，本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，本选项不合题意；
C、是轴对称图形，本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，本选项不合题意．
故选：C．
2．我国北斗公司在2020年发布了一款代表国内卫星导航系统最高水平的芯片，该芯片的制造工艺达到了0.000000022米．用科学记数法表示0.000000022为（ ）
A．22×10﹣10B．2.2×10﹣10C．2.2×10﹣9D．2.2×10﹣8
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解析】0.000000022＝2.2×10﹣8．
故选：D．
3．一个三角形的两边长为2和6，第三边为偶数．则这个三角形的周长为（ ）
A．16B．14C．12D．10
【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．
【解析】第三边的取值范围是大于4且小于8，又第三边是偶数，故第三边是6．
则该三角形的周长是14．
故选：B．
4．下面的计算不正确的是（ ）
A．5a3﹣a3＝4a3B．2m•3n＝6m+n
C．2m•2n＝2m+nD．﹣a2•（﹣a3）＝a5
【分析】根据合并同类项的法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加的性质，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解析】A、5a3﹣a3＝（5﹣1）a3＝4a3，正确；
B、2m与3n与底数不相同，不能进行运算，故本选项错误；
C、2m•2n＝2m+n，正确；
D、﹣a2•（﹣a3）＝a2+3＝a5，正确．
故选：B．
5．下列能判断AB∥CD的是（ ）
A．∠1＝∠4B．∠2＝∠3
C．∠A＝∠CD．∠A+∠ABC＝180°
【分析】根据两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行可得答案．
【解析】A、∵∠1＝∠4，
∴AB∥CD，故A选项符合题意；
B、∵∠2＝∠3，
∴AD∥CB，故B选项不符合题意；
C、∵∠A＝∠C，
无法判断AB∥CD，故C选项不符合题意；
D、∵∠A+∠ABC＝180°，
∴AD∥CB，故D选项不符合题意；
故选：A．
6．下列事件中，是随机事件的是（ ）
A．画一个三角形，其内角和是180°
B．投掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数为5
C．在只装了红色卡片的袋子里，摸出一张白色卡片
D．明天太阳从东方升起
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解析】A、画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件；
B、投掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数为5，是随机事件；
C、在只装了红色卡片的袋子里，摸出一张白色卡片，是不可能事件；
D、明天太阳从东方升起，是必然事件；
故选：B．
7．如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是（ ）
A．甲和乙B．乙和丙C．只有乙D．只有丙
【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据定理逐个判断即可．
【解析】图甲不符合三角形全等的判定定理，即图甲和△ABC不全等；
图乙符合SAS定理，即图乙和△ABC全等；
图丙符合AAS定理，即图丙和△ABC全等；
故选：B．
8．下列整式运算正确的是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣b2B．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣2
C．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4D．（a+2b2）＝a2+2ab+4b2
【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【解析】∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故选项A错误；
∵（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4，故选项B错误；
∵（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4，故选项C正确；
∵（a+2b2）＝a2+4ab+4b2，故选项D错误；
故选：C．
9．如图，某电信公司提供了A，B两种方案的移动通讯费用y（元）与通话时间x（分）之间的关系，则下列结论中正确的有（ ）
（1）若通话时间少于120分，则A方案比B方案便宜20元；
（2）若通话时间超过200分，则B方案比A方案便宜12元；
（3）若通讯费用为60元，则B方案比A方案的通话时间多；
（4）若两种方案通讯费用相差10元，则通话时间是145分或185分．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据图象知道：在通话170分钟收费一样，在通话120时A收费30元，B收费50元，其中A超过120分钟后每分钟加收0.4元，B超过200分钟加收每分钟0.4元，由此即可确定有几个正确．
【解析】依题意得
A：（1）当0≤x≤120，yA＝30，
（2）当x＞120，yA＝30+（x﹣120）×[（50﹣30）÷（170﹣120）]＝0.4x﹣18；
B：（1）当0≤x＜200，yB＝50，
当x＞200，yB＝50+[（70﹣50）÷（250﹣200）]（x﹣200）＝0.4x﹣30，
所以当x≤120时，A方案比B方案便宜20元，故（1）正确；
当x≥200时，B方案比A方案便宜12元，故（2）正确；
当y＝60时，A：60＝0.4x﹣18，∴x＝195，
B：60＝0.4x﹣30，∴x＝225，故（3）正确；
当B方案为50元，A方案是40元或者60元时，两种方案通讯费用相差10元，
将yA＝40或60代入，得x＝145分或195分，故（4）错误；
故选：C．
10．如图，AB∥CD，∠BAE＝120°，∠DCE＝30°，则∠AEC＝（ ）度．
A．70B．150C．90D．100
【分析】延长AE交CD于点F，根据两直线平行同旁内角互补可得∠BAE+∠EFC＝180°，已知∠BAE的度数，不难求得∠EFC的度数，再根据三角形的外角的性质即可求得∠AEC的度数．
【解析】如图，延长AE交CD于点F，
∵AB∥CD，
∴∠BAE+∠EFC＝180°，
又∵∠BAE＝120°，
∴∠EFC＝180°﹣∠BAE＝180°﹣120°＝60°，
又∵∠DCE＝30°，
∴∠AEC＝∠DCE+∠EFC＝30°+60°＝90°．
故选：C．
二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．计算：（a3）2＝ a6 ．
【分析】按照幂的乘方法则：底数不变，指数相乘计算．即（am）n＝amn（m，n是正整数）
【解析】（a3）2＝a6．
故答案为：a6．
12．等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是 40 度．
【分析】首先判断出与80°角相邻的内角是底角还是顶角，然后再结合等腰三角形的性质及三角形内角和定理进行计算．
【解析】与80°角相邻的内角度数为100°；
当100°角是底角时，100°+100°＞180°，不符合三角形内角和定理，此种情况不成立；
当100°角是顶角时，底角的度数＝80°÷2＝40°；
故此等腰三角形的底角为40°．
故答案为：40．
13．已知a＝7﹣3b，则代数式a2+6ab+9b2的值为 49 ．
【分析】先根据完全平方公式变形，再代入，即可求出答案．
【解析】∵a＝7﹣3b，
∴a+3b＝7，
∴a2+6ab+9b2
＝（a+3b）2
＝72
＝49，
故答案为：49．
14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于P，连接AP并延长交BC于点D，则∠ADB＝ 120 度．
【分析】利用角平分线的定义可以推知∠CAD＝30°，根据三角形外角的性质即可得到结论．
【解析】∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠CAB＝60°，
又∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠CAD＝∠BAD=12∠CAB＝30°，
∴∠ADB＝90°+30°＝120°，
故答案为：120；
15．已知当x＝1时，2ax2+bx的值为3，则当x＝2时，ax2+bx的值为 6 ．
【分析】将x＝1代入2ax2+bx＝3得2a+b＝3，然后将x＝2代入ax2+bx得4a+2b＝2（2a+b），之后整体代入即可．
【解析】将x＝1代入2ax2+bx＝3得2a+b＝3，
将x＝2代入ax2+bx得4a+2b＝2（2a+b），
∵2a+b＝3，
∴原式＝2×3＝6．
故答案为：6．
16．在开展“全民阅读”活动中，某校为了解全校1500名学生课外阅读的情况，随机调查了50名学生一周的课外阅读时间，并绘制成如图所示的条形统计图．根据图中数据，估计该校1500名学生一周的课外阅读时间不少于7小时的人数是 600 ．
【分析】用所有学生数乘以课外阅读时间不少于7小时的人数所占的百分比即可．
【解析】该校1500名学生一周的课外阅读时间不少于7小时的人数是1500×15+550=600人，
故答案为：600．
17．如图，在△ABC中，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1，∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2，…，∠A2017BC和∠A2017CD的平分线交于点A2018，则∠A2018＝ m22018 度．
【分析】利用角平分线的性质、三角形外角性质，易证∠A1=12∠A，进而可求∠A1，由于∠A1=12∠A，∠A2=12∠A1=122∠A，…，以此类推可知∠A2018即可求得．
【解析】∵A1B平分∠ABC，A1C平分∠ACD，
∴∠A1BC=12∠ABC，∠A1CA=12∠ACD，
∵∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，
即12∠ACD＝∠A1+12∠ABC，
∴∠A1=12（∠ACD﹣∠ABC），
∵∠A+∠ABC＝∠ACD，
∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，
∴∠A1=12∠A，
∠A2=12∠A1=122∠A，…，
以此类推可知∠A2018=122018∠A＝（m22018）°，
故答案为：m22018．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为线段BC上一动点（不与点B、C重合），连接AD，作∠DAE＝∠BAC，且AD＝AE，连接CE．
（1）如图1，当CE∥AB时，若∠BAD＝35°，则∠DEC ＝25 度；
（2）如图2，设∠BAC＝α（90°＜α＜180°），在点D运动过程中，当DE⊥BC时，∠DEC＝ α﹣90° ．（用含α的式子表示）
【分析】（1）根据已知条件得到∠BAD＝∠CAE，根据全等三角形的性质得到∠B＝∠ACE，根据平行线的性质得到∠BAC＝∠ACE，推出△ABC是等边三角形，得到∠BAC＝∠DAE＝∠ACB＝∠ACE＝60°，求得△DAE是等边三角形，于是得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠ACB=12（180°﹣α）＝90°-12α，根据全等三角形的性质得到∠B＝∠ACE＝90°-12α，求得∠DCE＝2（90°-12α）＝180°﹣α，根据三角形的内角和即可得到结论．
【解析】（1）∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠ACE，
∵CE∥AB，
∴∠BAC＝∠ACE，
∴∠BAC＝∠B，
∴AC＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠DAE＝∠ACB＝∠ACE＝60°，
∴△DAE是等边三角形，
∴∠AED＝60°，
∴∠DEC＝180°﹣35°﹣60°﹣60°＝25°，
故答案为：25；
（2）连接CE，
∵∠BAC＝α，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB=12（180°﹣α）＝90°-12α，
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠ACE＝90°-12α，
∴∠DCE＝2（90°-12α）＝180°﹣α，
∵DE⊥BC，
∴∠CDE＝90°，
∴∠DEC＝90°﹣∠DCE＝α﹣90°．
故答案为：α﹣90°．
三．解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算：
（1）﹣20+4﹣1×（﹣1）2008×（12）﹣2；
（2）（2x+1）（2x﹣1）﹣（2x+1）2；
（3）（a+3b﹣2c）（a﹣3b﹣2c）；
（4）103×97（运用公式简算）．
【分析】（1）根据零指数幂、负整数指数幂、有理数的乘方的运算法则进行计算即可；
（2）用平方差公式和完全平方公式将式子展开后进行合并即可；
（3）可用平方差公式和完全平方公式进行计算即可；
（4）利用平方差公式计算即可．
【解析】（1）原式＝﹣1+0.25×1×4
＝﹣1+1
＝0；
（2）原式＝4x2﹣1﹣（4x2+4x+1）
＝4x2﹣1﹣4x2﹣4x﹣1
＝﹣4x﹣2；
（3）原式＝（a﹣2c）2﹣9b2
＝a2﹣4ac+4c2﹣9b2；
（4）原式＝（100+3）×（100﹣3）
＝1002﹣32
＝10000﹣9
＝9991．
20．化简求值：[（xy+2）（xy﹣2）﹣2x2y2+4]÷（xy），其中x＝10，y=-125．
【分析】原式被除数括号中第一项利用平方差公式化简，合并后利用多项式除以单项式法则计算，得到最简结果，将x与y的值代入计算即可求出值．
【解析】原式＝（x2y2﹣4﹣2x2y2+4）÷（xy）＝（﹣x2y2）÷（xy）＝﹣xy，
当x＝10，y=-125时，原式＝﹣10×（-125）=25．
21．如图，点D是线段CE上一点，且AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．
（1）求证：BD＝CE；
（2）若∠B＝40°，∠E＝80°，求∠CAD的度数．
【分析】（1）证明△ABD≌△ACE（SAS），由全等三角形的性质可得出BD＝CE；
（2）由全等三角形的性质及三角形内角和定理求出∠CAE＝60°，由等腰三角形的性质求出∠DAE＝20°，则可求出答案．
【解析】（1）证明∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）∵△ABD≌△ACE，
∴∠B＝∠C＝40°，
∵∠E＝80°，
∴∠CAE＝180°﹣∠C﹣∠E＝180°﹣40°﹣80°＝60°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠E，
∴∠DAE＝180°﹣2∠E＝180°﹣160°＝20°，
∴∠CAD＝∠CAE﹣∠DAE＝60°﹣20°＝40°．
22．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，△ABC的三个顶点A、B、C都在格点上．
（1）在图中画出与△ABC关于直线y成轴对称的△A1B1C1；
（2）求△ABC的面积；
（3）在x轴上找出一点P，使得PB+PC的值最小．（不需计算，在图上直接标记出点P的位置）
【分析】（1）依据轴对称的性质，即可得到与△ABC关于直线y成轴对称的△A1B1C1；
（2）依据割补法进行计算，即可得出△ABC的面积；
（3）作点B关于x轴的对称点B'，连接B'C交x轴于P，则PB+PC的值最小．
【解析】（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）△ABC的面积＝3×3-12×2×3-12×1×2-12×1×3=72；
（3）如图所示，点P即为所求．
23．一次抽奖活动设置如下的翻奖牌，翻奖牌的正面、背面如下，如果你只能在9个数字中选中一个翻牌，请解决下面的问题：
（1）直接写出抽到“手机”奖品的可能性的大小；
（2）每个奖牌只能翻一次，翻过的奖牌不能再翻．若第一次没有抽到“手机”奖品，请求出第二次抽到“手机”奖品的可能性的大小；
（3）请你根据题意设计翻奖牌反面的奖品，包含（手机、微波炉、球拍、电影票，谢谢参与）使得最后抽到“球拍”的可能性大小是49．
【分析】（1）用“手机”的数量除以总数量即可；
（2）第二次的抽取机会一共有8种可能，第二次抽到“手机”奖品的结果有2种，根据概率公式求解即可；
（3）根据概率公式求解即可．
【解析】（1）由图可得，抽到“手机”奖品的可能性是：29；
（2）由题意可得，第二次的抽取机会一共有8种可能，第二次抽到“手机”奖品的结果有2种，
即第二次抽到“手机”奖品的可能性是29-1=28=14；
（3）设计九张牌中有四张写着球拍，其它的五张牌中手机、微波炉、电影票各一张，谢谢参与两张．（答案不唯一）．
24．我市一水果批发市场某商家批发苹果采取分段计价的方式，其价格如下表：
（1）小刚购买苹果40千克，应付多少元？
（2）若小刚购买苹果x千克，用去了y元．分别写出当0≤x≤50和x＞50时，y与x的关系式；
（3）计算出小刚若一次性购买80千克所付的费用比分两次共购买80千克（每次都购买40千克）所付的费用少多少元？
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以计算出小刚购买苹果40千克，应付多少元；
（2）根据表格中的数据，可以分别写出当0≤x≤50和x＞50时，y与x的关系式；
（3）根据（2）中的函数关系式，可以求得两种情况下的花费，然后作差即可解答本题．
【解析】（1）由表格可得，
40×10＝400（元），
答：小刚购买苹果40千克，应付400元；
（2）由题意可得，
当0≤x≤50时，y与x的关系式是y＝10x，
当x＞50时，y与x的关系式是y＝10×50+8（x﹣50）＝8x+100，
即当x＞50时，y与x的关系式是y＝8x+100；
（3）小刚若一次性购买80千克所付的费用为：8×80+100＝740（元），
分两次共购买80千克（每次都购买40千克）所付的费用为：40×10×2＝800（元），
800﹣740＝60（元），
答：小刚若一次性购买80千克所付的费用比分两次共购买80千克（每次都购买40千克）所付的费用少60元．
25．【阅读材料】把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）经过适当变形配成完全平方式的方法叫配方法，配方法在因式分解、证明恒等式、利用a2≥0求代数式最值等问题中都有广泛应用．
例如：利用配方法将x2﹣6x+8变形为a（x+m）2+n的形式，并把二次三项式分解因式．
配方：x2﹣6x+8
＝x2﹣6x+32﹣32+8
＝（x﹣3）2﹣1
分解因式：x2﹣6x+8
＝（x﹣3）2﹣1
＝（x﹣3+1）（x﹣3﹣1）
＝（x﹣2）（x﹣4）
【解决问题】根据以上材料，解答下列问题：
（1）利用配方法将多项式x2﹣4x﹣5化成a（x+m）2+n的形式．
（2）利用配方法把二次三项式x2﹣2x﹣35分解因式．
（3）若a、b、c分别是△ABC的三边，且a2+2b2+3c2﹣2ab﹣2b﹣6c+4＝0，试判断△ABC的形状，并说明理由．
（4）求证：无论x，y取任何实数，代数式x2+y2+4x﹣6y+15的值恒为正数．
【分析】（1）根据常数项等于一次项系数一半的平方进行变形即可配方法．
（2）先利用配方法把二次三项式x2﹣2x﹣35变形，再利用平方差公式分解即可．
（3）△ABC为等边三角形，将a2+2b2+3c2﹣2ab﹣2b﹣6c+4＝0利用配方法变形，再根据偶次方的非负性可得答案．
（4）分别对含x和含y的式子进行配方，再利用偶次方的非负性可得答案．
【解析】（1）x2﹣4x﹣5
＝x2﹣4x+22﹣22﹣5
＝（x﹣2）2﹣9．
（2）x2﹣2x﹣35
＝x2﹣2x+1﹣1﹣35
＝（x﹣1）2﹣62
＝（x﹣1+6）（x﹣﹣6）
＝（x+5）（x﹣7）．
（3）△ABC为等边三角形，理由如下：
∵a2+2b2+3c2﹣2ab﹣2b﹣6c+4＝0，
∴（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2b+1）+3（c2﹣2c+1）＝0，
∴（a﹣b）2+（b﹣1）2+3（c﹣1）2＝0，
∵（a﹣b）2≥0，（b﹣1）2≥0，3（c﹣1）2≥0，
∴a﹣b＝0，b﹣1＝0，c﹣1＝0，
∴a＝b，b＝1，c＝1，
∴a＝b＝c，
∴△ABC为等边三角形．
（4）证明：x2+y2+4x﹣6y+15
＝x2+4x+4+y2﹣6y+9+2
＝（x+2）2+（y﹣3）2+2，
∵（x+2）2≥0，（y﹣3）2≥0，
∴（x+2）2+（y﹣3）2+2≥2，
∴代数式x2+y2+4x﹣6y+15的值恒为正数．
26．已知：△ABC为等边三角形．
（1）如图1，点D、E分别为边BC、AC上的点，且BD＝CE．
i）求证：△ABD≌△BCE；
ii）求∠AFE的度数；
（2）如图2，点D为△ABC外一点，BA、CD的延长线交于点E，连接AD，已知∠BDC＝60°，且AD＝2，CD＝5，求BD的长；
（3）如图3，线段DB的长为3，线段DC的长为2，连接BC，以BC为边作等边△ABC，连接AD，直接写出当线段AD取最大值与最小值时∠BDC的度数．
【分析】（1）i）根据SAS证明三角形全等即可．
ii）利用全等三角形的性质以及三角形的外角的性质即可解决问题．
（2）如图2中，在DB上取一点J，使得CJ＝CD，利用全等三角形的性质证明BD＝AD+DC即可．
（3）如图3中，以CD为边向外作等边△CDT，连接BT．构造全等三角形，证明BT＝AD，求出BT的取值范围即可解决问题．
【解析】（1）i）证明：如图1中，∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠C＝60°，
∵BD＝CE，
∴△ABD≌△BCE（SAS）．
ii）解：如图1中，∵△ABD≌△BCE，
∴∠BAD＝∠CBE，
∴∠AFE＝∠FBA+∠BAD＝∠FBA+∠CBE＝∠CBA＝60°．
（2）解：如图2中，在DB上取一点J，使得CJ＝CD，
∵∠CDJ＝60°，CJ＝CD，
∴△CDJ是等边三角形，
∴∠JCD＝∠ACB＝60°，DJ＝DC＝CJ，
∴∠BCJ＝∠ACD，
∵CB＝CA，
∴△BCJ≌△ACD（SAS），
∴BJ＝AD，
∴BD＝BJ+DJ＝AD+DC＝2+5＝7．
（3）解：如图3中，以CD为边向外作等边△CDT，连接BT．
∵CT＝CD，CB＝CA，∠TCD＝∠BCA＝60°，
∴∠TCB＝∠DCA，
∴△TCB≌△DCA（SAS），
∴BT＝AD，
∵CT＝CD＝2，BD＝3，
∴3﹣2≤BT≤3+2，
∴1≤BT≤5，
∴1≤AD≤5．
∴AD的最小值为1，最大值为5．
AD最大时∠BDE＝120（C在BD上方），AD最小时∠BDC＝60（C在BD下方）．
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