专题1.1整式的乘除（精讲精练）-2021-2022学年七年级数学下学期期中考试高分直通车【北师大版】

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【知识梳理】
幂的运算
1.同底数幂的乘法：
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．（m，n是正整数）
（2）推广：（m，n，p都是正整数）
2.幂的乘方与积的乘方：
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
3.同底数幂的除法：同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
（a≠0，m，n是正整数，m＞n）
4.零指数幂与负整数指数幂：
零指数幂：a0=1（a≠0） 负整数指数幂：（a≠0，p为正整数）
整式的乘法
1.单项式乘单项式：单项式与单项式相乘，把他们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
2.单项式乘多项式：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
注意：单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题：
①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号．
3.多项式乘多项式：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
注意：①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．
三．整式的除法
1.单项式除以单项式，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式．
注意：从法则可以看出，单项式除以单项式分为三个步骤：①系数相除；②同底数幂相除；③对被除式里含有的字母直接作为商的一个因式．
2.多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．
注意：多项式除以单项式实质就是转化为单项式除以单项式．多项式除以单项式的结果仍是一个多项式．
四．乘法公式
1.完全平方公式：
（1）完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．
注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．
2.平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
（a+b）（a-b）=a2-b2
注意：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
【典例剖析】
考点1 同底数幂的乘法
【例1】．若，则 ．
【分析】根据同底数幂的乘法法则计算即可．
【解析】，
，
解得．
故答案为：6．
【变式1-1】若2m•2n＝32，则m+n的值为（ ）
A．6B．5C．4D．3
【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此解答即可．
【解析】∵2m•2n＝2m+n＝32＝25，
∴m+n＝5，
故选：B．
【变式1-2】若3m+1＝243，则3m+2的值为（ ）
A．243B．245C．729D．2187
【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此解答即可．
【解析】∵3m+1＝243，
∴3m+2＝3m+1×3＝243×3＝729．
故选：C．
【变式1-3】已知ax＝3，ay＝9，则ax+y＝（ ）
A．12B．27C．3D．6
【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此计算即可．
【解析】∵ax＝3，ay＝9，
∴ax+y＝ax•ay＝3×9＝27．
故选：B．
【变式1-4】如果10m＝12，10n＝3，那么10m+n＝ 36 ．
【分析】根据幂的乘方和积的乘方的运算法则求解．
【解析】10m+n＝10m•10n＝12×3＝36．
故答案为：36．
考点2 幂的乘方
【例2】计算（102）p＝108，则p＝ 4 ．
【分析】根据幂的乘方法则，先计算（102）p，再根据幂相等列出方程，求解即可．
【解析】∵（102）p＝102p＝108，
∴2p＝8．
∴p＝4．
故答案为：4．
【变式2-1】若xn＝﹣4，则x2n＝ 16 ．
【分析】幂的乘方，底数不变，指数相乘，据此计算即可．
【解析】因为xn＝﹣4，
所以x2n＝（xn）2＝（﹣4）2＝16．
故答案为：16．
【变式2-2】已知：2x+3y+3＝0，计算：4x•8y的值＝ 18 ．
【分析】根据幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法的计算公式即可得结果．
【解析】∵2x+3y+3＝0，
∴2x+3y＝﹣3，
4x•8y＝22x•23y＝2（2x+3y）＝2﹣3=18．
故答案为：18．
【变式2-3】若a3m+n＝54，am＝3，则an＝ 2 ．
【分析】根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则解答即可．
【解析】∵a3m+n＝（am）3•an＝54，am＝3，
∴an=54(am)3=5433=2．
故答案为：2
考点3 积的乘方
【例3】am＝2，bm＝3，则（ab）m＝________．
【分析】根据积的乘方计算即可．
【解析】因为am＝2，bm＝3，
所以（ab）m＝am•bm＝2×3＝6，
故答案为：6．
【变式3-1】若2x+3y＝4，则4x•8y的值为________．
【分析】先变形，再根据同底数幂的乘法法则进行计算，最后整体代入求出即可．
【解析】∵2x+3y＝4，
∴4x•8y
＝22x•23y
＝22x+3y
＝24
＝16．
故答案为：16．
【变式3-2】﹣2a2b3•（﹣3a）＝ 6a3b3 ；（﹣2xy3z2）4＝ 16x4y12z8 ．
【分析】直接利用单项式乘单项式运算法则以及积的乘方运算法则、幂的乘方运算法则计算得出答案．
【解析】﹣2a2b3•（﹣3a）＝6a3b3；
（﹣2xy3z2）4＝16x4y12z8．
故答案为：6a3b3；16x4y12z8．
【变式3-3】已知2x+3y﹣2＝0，则9x•27y＝ 9 ．
【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法运算法则化简得出答案．
【解析】∵2x+3y﹣2＝0，
∴2x+3y＝2，
则9x•27y＝32x•33y＝32x+3y
＝32
＝9．
故答案为：9．
【变式3-4】计算：（﹣0.25）2020×42020＝ 1 ．
【分析】积的乘方，等于每个因式乘方的积，据此计算即可．
【解析】（﹣0.25）2020×42020=(-14×4)2020=（﹣1）2020＝1．
故答案为：1．
【考点4】同底数幂的除法
【例4】若3x＝5，3y＝15，则3x﹣y＝________．
【分析】根据同底数幂的除法法则计算即可．
【解析】∵3x＝5，3y＝15，
∴3x﹣y=3x÷3y=5÷15=13．
故答案为：13．
【变式4-1】直接写出计算结果：
（1）（﹣0.25）2017×24036＝________．
（2）（﹣ab）5÷（﹣ab）3＝________．
【分析】（1）把24036写成42017×4，再根据积的乘方法则计算即可；
（2）根据同底数幂的除法法则计算即可．
【解析】（1）（﹣0.25）2017×24036＝（﹣0.25）2017×42017×4=(-14×4)2017×4=(-1)2017×4=-4；
故答案为：﹣4；
（2）（﹣ab）5÷（﹣ab）3＝（﹣ab）5﹣3＝（﹣ab）2＝a2b2．
故答案为：a2b2．
【变式4-2】已知，，则 ；
【分析】根据同底数幂的除法法则以及幂的乘方计算即可．
【解析】，，
；
，
．
故答案为：100；81．
【变式4-3】已知：，，试计算： ．
【分析】首先根据同底数幂的除法的运算方法，求出的值是多少；然后根据幂的乘方的运算方法，求出的值是多少即可．
【解析】，，
，
，
．
故答案为：．
【变式4-4】若3x＝4，9y＝7，则3x﹣2y的值为 47 ．
【分析】根据3x﹣2y＝3x÷32y＝3x÷9y即可代入求解．
【解析】3x﹣2y＝3x÷32y＝3x÷9y=47．
故答案是：47．
【考点5】零指数幂与负整数指数幂
【例5】若（2m﹣1）0＝1，则m的值为（ ）
A．0B．≠0C．12D．≠12
【分析】直接利用零指数幂的定义得出答案．
【解析】（2m﹣1）0＝1，
则2m﹣1≠0，
解得：m≠12．
故选：D．
【变式5-1】若a＝（﹣3）﹣1，b＝（﹣0.1）2，c＝（-13）﹣2，d＝（﹣0.3）0，则（ ）
A．a＜b＜c＜dB．a＜b＜d＜cC．b＜c＜d＜aD．b＜d＜a＜c
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案．
【解析】∵a＝（﹣3）﹣1=-13，b＝（﹣0.1）2＝0.01，c＝（-13）﹣2＝9，d＝（﹣0.3）0＝1，
∴a＜b＜d＜c．
故选：B．
【变式5-2】计算：（12）0•2﹣2＝________．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
【解析】原式＝1×14=14．
故答案为：14．
【变式5-3】2018年8月31日，华为麒麟980处理器在IFA2018德国柏林国际电子消费展会中正式发布，这款处理器创造了“六个世界第一”．麒麟980是国内第一款采用台积电7nm工艺制造而成的移动处理器．7nm也就是0.000000007m，把0.000000007这个数据用科学记数法表示为________．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解析】0.000000007＝7×10﹣9．
故答案为：7×10﹣9．
【变式5-4】若（3m﹣2）0＝1有意义，则m的取值范围是 m≠23 ．
【分析】若（3m﹣2）0＝1有意义，则3m﹣2≠0，据此求出m的取值范围即可．
【解析】∵（3m﹣2）0＝1有意义，
∴3m﹣2≠0，
解得：m≠23，
∴若（3m﹣2）0＝1有意义，则m的取值范围：m≠23．
故答案为：m≠23．
【变式5-5】（1）已知m+4n﹣3＝0，求2m•16n的值．
（2）已知n为正整数，且x2n＝4，求（x3n）2﹣2（x2）2n的值．
【分析】（1）先根据幂的乘方变形，再根据同底数幂的乘法进行计算，最后代入求出即可；
（2）先根据幂的乘方法则将原式化为x2n的幂的形式然后代入进行计算即可．
【解析】（1）∵m+4n﹣3＝0
∴m+4n＝3
原式＝2m•24n
＝2m+4n
＝23
＝8．
（2）原式＝（x2n）3﹣2（x2n）2，
＝43﹣2×42，
＝32，
考点6单项式乘单项式
【例6】若单项式﹣6x2ym与12xn﹣1y3是同类项，那么这两个单项式的积是___________．
【分析】根据同类项的概念分别求出m、n，根据单项式乘单项式的运算法则计算，得到答案．
【解析】由题意得，n﹣1＝2，m＝3，
则n＝3，
﹣6x2y3•12x2y3＝﹣3x4y6，
故答案为：﹣3x4y6．
点评：本题考查的是单项式乘单项式、同类项的概念，掌握单项式乘单项式的运算法则是解题的关键．
【变式6-1】若单项式﹣8xay和14x2yb的积为﹣2x5y6，则ab的值为（ ）
A．2B．30C．﹣15D．15
【分析】根据单项式乘单项式的计算法则求出a，b即可，
【解析】﹣8xay×14x2yb＝﹣2xa+2yb+1＝﹣2x5y6，
∴a+2＝5，b+1＝6，
解得a＝3，b＝5，
∴ab＝3×5＝15，
故选：D．
【变式6-2】计算2x3y•3x2的结果是___________．
【分析】单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．依此即可求解．
【解析】2x3y•3x2＝6x5y．
故答案为：6x5y．
【变式6-3】化简：（2m2n）2•3m﹣3n3＝ 12mn5 ．
【分析】直接利用积的乘方运算法则以及单项式乘单项式运算法则计算得出答案．
【解析】原式＝4m4n2•3m﹣3n3
＝4×3m4﹣3•n2+3
＝12mn5．
故答案为：12mn5．
【变式6-4】用科学记数法表示计算结果：（3.5×103）×（﹣4×105）＝ ﹣1.4×109 ．
【分析】直接利用单项式乘单项式运算法则计算得出答案．
【解析】（3.5×103）×（﹣4×105）
＝﹣14×108
＝﹣1.4×109．
故答案为：﹣1.4×109．
考点7单项式乘多项式
【例7】在一次数学课上，学习了单项式乘多项式，小明回家后，拿出课堂笔记本复习，发现这样一道题：﹣3x（﹣2x2+3x﹣1）＝6x3+□+3x，“□”的地方被墨水污染了，你认为“□”内应填写（ ）
A．9x2B．﹣9x2C．9xD．﹣9x
【分析】根据单项式与多项式相乘的运算法则计算可得出答案．
【解析】﹣3x（﹣2x2+3x﹣1）＝6x3﹣9x2+3x，
故选：B．
【变式7-1】要使﹣x3（x2+ax+1）+2x4中不含有x的四次项，则a等于（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】先利用多项式乘以单项式法则及合并同类项法则进行运算，再根据不含x的四次项，确定x的值．
【解析】原式＝﹣x5﹣ax4﹣x3+2x4
＝﹣x5+（2﹣a）x4﹣x3
∵﹣x3（x2+ax+1）+2x4中不含有x的四次项，
∴2﹣a＝0，
解得，a＝2．
故选：B．
【变式7-2】计算（23x2y-6xy）•（-12xy2）＝ -13x3y3+3x2y3 ．
【分析】直接利用单项式乘多项式计算得出答案．
【解析】（23x2y-6xy）•（-12xy2）
=23x2y•（-12xy2）﹣6xy•（-12xy2）
=-13x3y3+3x2y3．
故答案为：-13x3y3+3x2y3．
【变式7-3】若，则 6 ．
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
【解析】，
，，
，
故答案为：6
【变式7-4】一个长方体的长为3x+1，宽为2x，高为3x，则它的表面积为___________．
【分析】直接利用长方体表面积求法以及结合单项式乘以单项式以及单项式乘以多项式运算法则分别计算得出即可．
【解析】∵一个长方体的长为3x+1，宽为2x，高为3x，
∴它的表面积为：
2（3x+1）•2x+2•2x•3x+2•3x•（3x+1）
＝12x2+4x+12x2+18x2+6x
＝42x2+10x．
故答案为：42x2+10x．
考点8多项式乘多项式
【例8】若（x﹣2）（x+3）＝x2+ax+b，则a，b的值分别为（ ）
A．a＝5，b＝﹣6B．a＝5，b＝6C．a＝1，b＝6D．a＝1，b＝﹣6
【分析】已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出a与b的值即可．
【解析】已知等式整理得：x2+x﹣6＝x2+ax+b，
则a＝1，b＝﹣6，
故选：D．
【变式8-1】如果在计算（x+m）（x﹣6）所得的结果中不含x的一次项，则常数m的值为（ ）
A．m＝0B．m＝6C．m＝﹣6D．m＝1
【分析】根据多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加，然后使一次项的系数为0即可得常数m的值．
【解析】（x+m）（x﹣6）
＝x2﹣6x+mx﹣6m
＝x2+（m﹣6）x﹣6m，
∵（x+m）（x﹣6）所得的结果中不含x的一次项，
∴m﹣6＝0，
∴m＝6．
故选：B．
【变式8-2】若关于x的多项式（2x﹣m）与（3x+5）的乘积中，一次项系数为25，则m的值（ ）
A．5B．﹣5C．3D．﹣3
【分析】先求出两个多项式的积，再根据一次项系数为25，得到关于m的一次方程，求解即可．
【解析】（2x﹣m）（3x+5）
＝6x2﹣3mx+10x﹣5m
＝6x2+（10﹣3m）x﹣5m．
∵积的一次项系数为25，
∴10﹣3m＝25．
解得m＝﹣5．
故选：B．
【变式8-3】计算（a+3）（﹣a+1）的结果是（ ）
A．﹣a2﹣2a+3B．﹣a2+4a+3C．﹣a2+4a﹣3D．a2﹣2a﹣3
【分析】运用多项式乘以多项式法则，直接计算即可．
【解析】（a+3）（﹣a+1）
＝﹣a2﹣3a+a+3
＝﹣a2﹣2a+3．
故选：A．
【变式8-4】小轩计算一道整式乘法的题：（2x+m）（5x﹣4），由于小轩将第一个多项式中的“+m”抄成“﹣m”，得到的结果为10x2﹣33x+20．
（1）求m的值；
（2）请计算出这道题的正确结果．
【分析】（1）根据错误的符号进行计算，即可得出m的值；
（2）将m的值代入正确的式子进行计算即可．
【解析】（1）由题知：（2x﹣m）（5x﹣4）
＝10x2﹣8x﹣5mx+4m
＝10x2﹣（8+5m）x+4m
＝10x2﹣33x+20，
所以8+5m＝33或4m＝20，
解得：m＝5．
故m的值为5；
（2）（2x+5）（5x﹣4）
＝10x2﹣8x+25x﹣20
＝10x2+17x﹣20．
考点9完全平方公式
【例 9】若（x+m）2＝x2+kx+16，则m的值为（ ）
A．4B．±4C．8D．±8
【分析】根据两平方项确定出这两个数即可确定m的值．
【解析】∵（x+m）2＝x2+kx+16＝（x±4）2，
∴m＝±4．
故选：B．
【变式9-1】若a2+b2＝10，ab＝﹣3，则（a﹣b）2＝ 16 ．
【分析】根据完全平方公式解答即可．
【解析】∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，a2+b2＝10，ab＝﹣3，
∴（a﹣b）2＝10﹣2×（﹣3）＝10+6＝16．
故答案为：16．
【变式9-2】已知a﹣b＝2，则a2﹣2ab+b2＝ 4 ．
【分析】根据完全平方公式即可求出答案．
【解析】原式＝（a﹣b）2，
当a﹣b＝2时，
原式＝4．
【变式9-3】若x﹣y＝3，xy＝2，则x2+y2＝ 13 ．
【分析】利用完全平方公式可以求出x2+y2的值．
【解析】∵x﹣y＝3，
∴（x﹣y）2＝9，
∴x2+y2﹣2xy＝9，
∵xy＝2，
∴x2+y2﹣2×2＝9，
∴x2+y2＝13，
故答案为：13．
【变式9-4】计算：（x+2y）2＝ x2+4xy+4y2 ．
【分析】依据完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2即可得到结论．
【解析】由完全平方公式，可得（x+2y）2＝x2+4xy+4y2．
故答案为：x2+4xy+4y2．
考点10平方差公式
【例10】若a+b＝3，则a2﹣b2+6b的值为（ ）
A．3B．6C．9D．12
【分析】将所求的代数式变形处理，将已知条件整体代入即可．
【解析】∵a+b＝3，
∴a2﹣b2+6b
＝（a+b）（a﹣b）+6b
＝3a﹣3b+6b
＝3（a+b）
＝3×3
＝9．
故选：C．
【变式10-1】若x+y＝2a，x﹣y＝2b，则x2﹣y2的值为 4ab ．
【分析】直接利用平方差公式代入求解．
【解析】∵x+y＝2a，x﹣y＝2b，
∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝2a•2b＝4ab．
故答案是：4ab．
【变式10-2】若a2﹣b2=-116，a+b=-14，则a﹣b的值为 14 ．
【分析】利用平方差公式计算得出答案．
【解析】因为a2﹣b2=-116，
所以（a+b）（a﹣b）=-116，
因为a+b=-14，
所以a﹣b=-116÷（-14）=14．
故答案为：14．
【变式10-3】计算：20192﹣2017×2021＝ 4 ．
【分析】根据平方差公式即可求出答案．
【解析】20192﹣2017×2021
＝20192﹣（2019﹣2）（2019+2）
＝20192﹣20192+22
＝4．
故答案为：4．
【变式10-4】已知x2﹣y2＝6且2x+2y＝3，则3x﹣3y＝ 12 ．
【分析】由2x+2y＝3可得x+y=32，由x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝6，据此可得x﹣y的值，再代入所求式子计算即可．
【解析】由2x+2y＝3可得x+y=32，
∵x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝6，
∴x﹣y=x2-y2x+y=6÷32=4，
∴3x﹣3y＝3（x﹣y）＝3×4＝12．
故答案为：12．
考点11整式的混合运算
【例11】（1）x2（x﹣1）﹣x（x2+x﹣1）
（2）（y+2）（y﹣2）﹣（y﹣1）（y+5）
【分析】（1）直接利用单项式乘以多项式运算法则计算得出答案；
（2）直接利用乘法公式以及多项式乘以多项式计算得出答案．
【解析】（1）x2（x﹣1）﹣x（x2+x﹣1）
＝x3﹣x2﹣x3﹣x2+x
＝﹣2x2+x；
（2）（y+2）（y﹣2）﹣（y﹣1）（y+5）
＝y2﹣4﹣（y2+4y﹣5）
＝y2﹣4﹣y2﹣4y+5
＝﹣4y+1．
【变式11-1】计算：
（1）（12a3﹣6a2+3a）÷3a﹣（2a﹣1）2
（2）（x﹣6）（x+4）+（3x+2）（2﹣3x）
【分析】（1）首先计算多项式除以单项式和完全平方，然后再合并同类项即可；
（2）首先计算多项式乘以多项式，然后再合并同类项即可．
【解析】（1）原式＝4a2﹣2a+1﹣4a2+4a﹣1＝2a；
（2）原式＝x2+4x﹣6x﹣24+4﹣9x2＝﹣8x2﹣2x﹣20．
【变式11-2】（1）（2x3y）2•（﹣2xy）+（﹣2x3y）3÷（2x2）；
（2）（a﹣3b）2﹣（a﹣3b）（a+3b）；
（3）[x（x2y2﹣xy）﹣y（x2﹣x3y）]÷3x2y；
（4）利用整式乘法公式计算（a﹣2b+3c）（a+2b﹣3c）．
【分析】（1）先算积的乘方、再算乘除，最后合并同类项即可求解；
（2）根据完全平方公式和平方差公式计算，再去括号合并同类项即可求解；
（3）先算小括号里面的乘法，再合并同类项，再计算括号外面的除法即可求解；
（4）根据平方差公式和完全平方公式计算即可求解．
【解析】（1）（2x3y）2•（﹣2xy）+（﹣2x3y）3÷（2x2）
＝4x6y2•（﹣2xy）+（﹣8x9y3）÷（2x2）
＝﹣8x7y3﹣4x7y3
＝﹣12x7y3；
（2）（a﹣3b）2﹣（a﹣3b）（a+3b）；
＝a2﹣6ab+9b2﹣a2+9b2
＝18b2﹣6ab；
（3）[x（x2y2﹣xy）﹣y（x2﹣x3y）]÷3x2y
＝（x3y2﹣x2y﹣x2y+x3y2）÷3x2y
＝（2x3y2﹣2x2y）÷3x2y
=23xy-23；
（4）（a﹣2b+3c）（a+2b﹣3c）
＝[a﹣（2b﹣3c）][a+（2b﹣3c）]
＝a2﹣（2b﹣3c）2
＝a2﹣4b2+12bc﹣9c2．
考点12整式的化简求值
【例12】计算：
（1）（﹣4x2）﹣（1+2x）（8x﹣2）
（2）（﹣2x﹣y）（y﹣2x）﹣（2x+y）2
（3）先化简再求值：（12x3y2+x2y﹣x2y3）÷（﹣2x2y）﹣[2（x﹣y）]2，其中x=-12，y＝3
【分析】（1）根据多项式乘多项式和合并同类项的方法可以解答本题；
（2）根据平方差公式和完全平方公式可以解答本题；
（3）根据多项式除以单项式和完全平方公式可以化简题目中的式子，然后将x、y的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解析】（1）（﹣4x2）﹣（1+2x）（8x﹣2）
＝16x2﹣8x+2﹣16x2+4x
＝﹣4x+2；
（2）（﹣2x﹣y）（y﹣2x）﹣（2x+y）2
＝4x2﹣y2﹣4x2﹣4xy﹣y2
＝﹣2y2﹣4xy；
（3）（12x3y2+x2y﹣x2y3）÷（﹣2x2y）﹣[2（x﹣y）]2
＝﹣6xy-12+12y2﹣4x2+8xy﹣4y2
＝2xy﹣4x2-72y2-12，
当x=-12，y＝3时，
原式＝2×（-12）×3﹣4×（-12）2-72×32-12=-36．
【变式12-1】先化简，再求值：x（x+1）+（2+x）（2﹣x），其中x=-12．
【分析】直接利益单项式乘以多项式和乘法公式化简得出答案．
【解析】原式＝x2+x+4﹣x2
＝x+4，
当x=-12时，
原式=-12+4=72．
【变式12-2】计算：
（1）(x4+2x3-12x2)÷(-12x)2；
（2）化简求值：（a﹣3b）2+（3a+b）2﹣（a+5b）2+（a﹣5b）2，其中a＝﹣8，b＝﹣6
【分析】（1）先算乘方，把除法变成乘法，再根据多项式乘以单项式法则求出即可；
（2）先根据完全平方公式进行计算，再合并同类项，最后代入求出即可．
【解析】（1）原式＝（x4+2x3-12x2）•4x2
＝4x2+8x﹣2；
（2）原式＝a2﹣6ab+9b2+9a2+6ab+b2﹣a2﹣10ab﹣25b2+a2﹣10ab+25b2
＝10a2﹣20ab+10b2
＝10（a﹣b）2，
当a＝8，b＝﹣6时，原式＝10×（8﹣6）2＝40．
【变式12-3】化简后求值：（3a﹣4b）2﹣4（3a+4b）（3a﹣4b）+4（3a+4b）2，其中a＝﹣9，b＝2
【分析】原式利用完全平方公式化简，整理后将a与b的值代入计算即可求出值．
【解析】原式＝[（3a﹣4b）﹣2（3a+4b）]2＝（3a﹣4b﹣6a﹣8b）2＝（﹣3a﹣12b）2＝9（a+4b）2，
当a＝﹣9，b＝2时，原式＝9．
考点13完全平方公式的几何背景
【例13】【知识生成】我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，例如由图1可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+b2，请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式________________________________
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：
已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值；
（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）长方形，则x+y+z＝______；
【知识迁移】（4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关系，写出一个数学等式：_______________________．
【分析】（1）依据大正方形的面积＝（a+b+c）2，各部分面积之和＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，从而可得答案；
（2）依据（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，进行计算即可；
（3）依据所拼图形的面积为：xa2+yb2+zab，而（2a+b）（a+2b）＝2a2+2b2+5ab，比较系数可得答案．
（4）根据原几何体的体积＝新几何体的体积，列式可得结论．
【解析】（1）最外层正方形的面积为：（a+b+c）2，
分部分来看，有三个正方形和六个长方形，
其和为：a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
总体看的面积和分部分求和的面积相等．
故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
（2）∵a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，
∴112＝a2+b2+c2+2×38
∴a2+b2+c2＝121﹣76＝45
∴a2+b2+c2的值为45．
（3）∵（2a+b）（a+2b）＝2a2+2b2+5ab
∴x＝2，y＝2，z＝5
∴x+y+z＝9
故答案为：9．
（4）大立方体的体积等于x3，挖去的长方体的体积为x×1×1＝x，从而剩余部分的体积为x3﹣x；
重新拼成的新长方体体积为：x（x﹣1）（x+1）
两者体积相等．
故答案为：x3﹣x＝x（x﹣1）（x+1）．
点评：本题考查了完全平方公式的几何背景，明确相关图形的面积或体积计算公式，数形结合，正确列式是解题的关键．
【变式13-1】动手操作：如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中的虚线剪开分成四个大小相等的长方形，然后按照图②所示拼成一个正方形．
提出问题：
（1）观察图②，请用两种不同的方法表示阴影部分的积：_______________________，_______________________
（2）请写出三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的一个等量关系：_______________________
（3）问题解决：根据上述（2）中得到的等量关系，解决下列问题：已知x+y＝8，xy＝7，求（x﹣y）2的值．
【分析】（1）第一种方法为：大正方形面积﹣4个小长方形面积，第二种表示方法为：阴影部分正方形的面积；
（2）化简后可知：相等；
（3）利用（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2可求解．
【解析】（1）（a+b）2﹣4ab或（a﹣b）2，
故答案为：（a+b）2﹣4ab，
（2）∵（a+b）2﹣4ab＝a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2；
故答案为：（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2；
（3）由（2）知：（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy，
∵x+y＝8，xy＝7，
∴（x﹣y）2＝64﹣28＝36．
【变式13-2】如图，正方形ABCD是由两个小正方形和两个小长方形组成的，根据图形解答下列问题：
（1）请用两种不同的方法表示正方形ABCD的面积，并写成一个等式；
（2）运用（1）中的等式，解决以下问题：
①已知a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值；
②已知x+z﹣y＝11，（x﹣y）z＝9，求（x﹣y）2+z2的值．
【分析】（1）正方形的面积为（a+b）2或a2+b2+2ab，则有（a+b）2＝a2+b2+2ab；
（2）①由（a+b）2＝a2+b2+2ab，将a+b＝5，ab＝3代入即可；②由（x﹣y）2+z2＝（x﹣y+z）2﹣2（x﹣y）z，将x+z﹣y＝11，（x﹣y）z＝9代入即可求解．
【解析】（1）正方形的面积为（a+b）2或a2+b2+2ab，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab；
（2）①∵（a+b）2＝a2+b2+2ab，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
∵a+b＝5，ab＝3，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝25﹣6＝19；
②∵（x﹣y）2+z2＝（x﹣y+z）2﹣2（x﹣y）z，
∵x+z﹣y＝11，（x﹣y）z＝9，
∴（x﹣y）2+z2＝（x﹣y+z）2﹣2（x﹣y）z＝121﹣18＝103．
【变式13-3】请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图①中条件，请用两种不同方法表示两个阴影图形的面积的和；
（2）在（1）的条件下，如图②，两个正方形边长分别为a，b，如果a+b＝ab＝9，求阴影部分的面积．
【分析】（1）根据各个部分面积之间的关系得出答案；
（2）表示图②中阴影部分的面积，再代入求值即可．
【解析】（1）方法一：两个正方形的面积和，即a2+b2，
方法二：边长为a+b的正方形的面积减去两个空白的长方形的面积，即（a+b）2﹣2ab，
因此有a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
（2）图②阴影部分的面积是两个边长分别为a、b的正方形的面积和减去两个直角三角形的面积，
即a2+b2-12a×a-12（a+b）×b
=12a2+12b2-12ab
=12（a2+b2﹣ab）
=12[（a+b）2﹣3ab]，
当a+b＝ab＝9时，
原式=12×（81﹣27）＝27，
答：阴影部分的面积为27．
【变式13-4】如图1，是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．
（1）图2中的阴影部分的边长为 b﹣a ；
（2）观察图2请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是 （a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab ；
（3）根据（2）中的结论，若x+y＝5，xy＝3，则（x﹣y）2＝ 13 ．
（4）实际上通过图形的面积可以探求相应的等式，通过观察图3写出一个等式 （a+b）（3a+b）＝3a2+4ab+b2 ．
【分析】（1）观察图象即可得到结果；
（2）由图可知，图1的面积为4ab，图2中白色部分的面积为（a+b）2﹣（b﹣a）2＝（a+b）2﹣（a﹣b）2，根据图1的面积和图2中白色部分的面积相等可得答案；
（3）根据（1）中的结论，可知（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy，将x+y＝5，x•y＝3代入计算即可得出答案；
（4）依据长方形的面积＝（a+b）（3a+b），长方形的面积＝3a2+4ab+b2，即可得到（a+b）（3a+b）＝3a2+4ab+b2．
【解析】（1）由图象可知：阴影部分的边长为b﹣a，
故答案为：b﹣a；
（2）由图可知，图1的面积为4ab，图2中白色部分的面积为（a+b）2﹣（b﹣a）2＝（a+b）2﹣（a﹣b）2，
∵图1的面积和图2中白色部分的面积相等，
∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，
故答案为：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；
（3）根据（1）中的结论，可知（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy，
∵x+y＝5，x•y＝3，
∴52﹣（x﹣y）2＝4×3，
∴（x﹣y）2＝13，
故答案为：13；
（4）由图可得，长方形的面积＝（a+b）（3a+b），
长方形的面积＝3a2+4ab+b2，
∴（a+b）（3a+b）＝3a2+4ab+b2．
故答案为：（a+b）（3a+b）＝3a2+4ab+b2．
考点14平方差公式的几何背景
【例14】图①所示是边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形．图②是由图①中阴影部分拼成的一个长方形．
（1）设图①中阴影部分的面积为S1，图②中阴影部分的面积为S2，请用含a，b的式子表示：S1＝ ，S2＝ ；（不必化简）
（2）以上结果可以验证的乘法公式是 ；
（3）利用（2）中得到的公式，计算：20192﹣2020×2018．
【分析】（1）由正方形的面积公式可得两个图形的面积分别为a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）；
（2）由面积相等可得（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（3）20192﹣2020×2018＝20192﹣（2019+1）（2019﹣1）＝1．
【解析】（1）a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）；
（2）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；
（3）20192﹣2020×2018＝20192﹣（2019+1）（2019﹣1）＝20192﹣（20192﹣1）＝20192﹣20192+1＝1．
【变式14-1】如图①，在边长为a的大正方形右下方剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），所得到的图形的面积可以表示为____________，把它沿虚线剪下一个长方形，如图②拼成一个大长方形，这个大长方形的图形的面积可以表示为_______________________，由此可以得到一个等式_______________________．
运用得到的等式计算：12.52﹣7.52．
【分析】利用正方形的面积公式和长方形的面积公式分别表示出剪拼前后图形的面积，然后根据面积相等列出等式即可，再运用得到的等式计算：12.52﹣7.52．
【解析】剪去一个边长为b的小正方形的图形的面积是a2﹣b2，
拼图后的图形的面积是（a+b）（a﹣b）．
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
∴12.52﹣7.52＝（12.5+7.5）（12.5﹣7.5）＝20×5＝100．
故答案为：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b），a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
【变式14-2】如图①所示，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿虚线AB剪开，把剪成的两张纸片拼成如图②所示的等腰梯形．
（1）设图①中阴影部分的面积为S1，图②中阴影部分面积为S2，请直接用含a，b的式子表示S1和S2．
（2）请写出上述过程中所揭示的乘法公式；
（3）用这个乘法公式计算：
①（x-12）（x+12）（x2+14）；
②107×93．
【分析】（1）图①中的阴影部分的面积为两个正方形的面积差，图②中的阴影部分是上底为2b，下底为2a，高为a﹣b的梯形，利用梯形面积公式可得答案；
（2）图①、图②面积相等可得等式；
（3）①连续两次利用平方差公式可求结果；②将107×93转化为（100+7）（100﹣7），即可利用平方差公式求出结果．
【解析】（1）S1＝a2﹣b2，S2=12（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b）；
（2）a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
（3）①原式＝（x2-14）（x2+14）＝x4-116；
②107×93
＝（100+7）（100﹣7）
＝1002﹣72
＝10000﹣49
＝9951．