专题1.3变量之间的关系（精讲精练）-2021-2022学年七年级数学下学期期中考试高分直通车【北师大版】

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【知识梳理】
1.用表格表示变量之间的关系
（1）变量和常量的定义：
在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．
（2）方法：
①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化；
②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化；
③不要认为字母就是变量，例如π是常量．
（3）函数的表示方法：列表法、解析式法、图象法．
其特点分别是：列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律．
2.用关系式表示变量之间的关系
用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式．
注意：①函数解析式是等式．
②函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数．
③函数的解析式在书写时有顺序性
3.用图象表示变量之间的关系
（1）函数的图象定义
对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．
注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．．
（2）函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．
用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．
【典例剖析】
【考点1】变量与常量
【例1】在圆的面积计算公式S＝πr2，其中r为圆的半径，则变量是（ ）
A．SB．RC．π，rD．S，r
【分析】在圆的面积计算公式S＝πr2中，π是圆周率，是常数，变量为S，r．
【解析】在圆的面积计算公式S＝πr2中，变量为S，r．
故选：D．
【变式1-1】在行进路程s、速度v和时间t的相关计算中，若保持行驶的路程不变，则下列说法正确的是（ ）
A．变量是速度v
B．变量是时间t
C．速度v和时间t都是变量
D．速度v、时间t、路程s都是常量
【分析】利用常量和变量的定义解答即可．
【解析】在行进路程s、速度v和时间t的相关计算中，若保持行驶的路程不变，则速度v和时间t是变量，行进路程s是常量，
故选：C．
【变式1-2】地表以下岩层的温度随着所处深度的变化而变化，在这一问题中因变量是（ ）
A．地表B．岩层的温度C．所处深度D．时间
【分析】地表以下岩层的温度随着所处深度的变化而变化，符合“对于一个变化过程中的两个量x和y，对于每一个x的值，y都有唯一的值和它相对应”的函数定义，自变量是深度，因变量是岩层的温度．
【解析】∵地表以下岩层的温度随着所处深度的变化而变化，
∴自变量是深度，因变量是岩层的温度．
故选：B．
【变式1-3】如果用总长为60m的篱笆围成一个长方形场地，设长方形的面积为S（m2），周长为p（m），一边长为a（m），那么S，p，a中是变量的是（ ）
A．S和pB．S和aC．p和aD．S，p，a
【分析】根据篱笆的总长确定，即可得到周长、一边长及面积中的变量．
【解析】∵篱笆的总长为60米，
∴周长P是定值，而面积S和一边长a是变量，
故选：B．
【变式1-4】圆的周长公式C＝2πR中，下列说法正确的是（ ）
A．π、R是自变量，2是常量
B．C是因变量，R是自变量，2π为常量
C．R为自变量，2π、C为常量
D．C是自变量，R为因变量，2π为常量
【分析】常量就是在变化过程中不变的量，变量是指在变化过程中随时可以发生变化的量．
【解析】圆的周长公式C＝2πR中，C是因变量，R是自变量，2π为常量，
故选：B．
【考点2】函数的表示方法
【例2】在《科学》课上，老师讲到温度计的使用方法及液体的沸点时，好奇的王红同学准备测量食用油的沸点，已知食用油的沸点温度高于水的沸点温度（100℃），王红家只有刻度不超过100℃的温度计，她的方法是在锅中倒入一些食用油，用煤气灶均匀加热，并每隔10s测量一次锅中油温，测量得到的数据如下表：
王红发现，烧了110s时，油沸腾了，则下列说法不正确的是（ ）
A．没有加热时，油的温度是10℃
B．加热50s，油的温度是110℃
C．估计这种食用油的沸点温度约是230℃
D．每加热10s，油的温度升高30℃
【分析】从表格可知：t＝0时，y＝10，即没有加热时，油的温度为10℃；每增加10秒，温度上升20℃，则t＝50时，油温度y＝110；t＝110秒时，温度y＝230．
【解析】从表格可知：t＝0时，y＝10，即没有加热时，油的温度为10℃；
每增加10秒，温度上升20℃，则50秒时，油温度110℃；
110秒时，温度230℃；
故选：D．
【变式2-1】弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（cm）与所挂的物体的质量x（kg）间有下面的关系（弹簧的弹性范围x≤10kg）：
下列说法不正确的是（ ）
A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量
B．弹簧不挂重物时的长度为10cm
C．所挂物体质量为5kg时，弹簧长度增加了1.25cm
D．所挂物体质量为9kg时，弹簧长度增加到11.25cm
【分析】根据给出的表格中的数据进行分析，可以确定自变量和因变量以及弹簧伸长的长度，得到答案．
【解析】A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量，故A不符合题意；
B．弹簧不挂重物时的长度为10cm，故B不符合题意；
C．所挂物体质量为5kg时，弹簧长度增加了1.25cm，故C不符合题意；
D．所挂物体质量为9kg时，弹簧长度增加到12.25cm，故D符合题意．
故选：D．
【变式2-2】某烤鸡店在确定烤鸡的烤制时，主要依据的是下表中的数据：
估计当鸡的质量为3.2kg时，烤制时间是（ ）min．
A．138B．140C．148D．160
【分析】由于鸡的质量每增加0.5千克，相应的烤制时间增加20分钟，那么烤制时间y（单位：min）是鸡的质量x（单位：kg）的一次函数，设y＝kx+b，取（1，60），（2，100）代入，运用待定系数法求出函数关系式，将x＝3.2千克代入所求解析式，计算即可求出烤制时间．
【解析】设烤制时间y（单位：min）随鸡的质量x（单位：kg）变化的函数解析式为：y＝kx+b，
则k+b=602k+b=100，
解得k=40b=20，
所以y＝40x+20；
当x＝3.2千克时，y＝40×3.2+20＝148．
即如果要烤制一只质量为3.2kg的鸡，需烤制148min．
故选：C．
【变式2-3】研究表明，当每公顷钾肥和磷肥的施用量一定时，氮肥施用量与土豆的产量有如表所示的关系：
下列说法错误的是（ ）
A．氮肥施用量是自变量，土豆产量是因变量
B．当氮肥的施用量是101千克/公顷时，土豆的产量是32.29吨/公顷
C．如果不施氮肥，土豆的产量是15.18吨/公顷
D．氮肥施用量404千克/公顷比氮肥施用量336千克/公顷时的土豆的产量更高
【分析】根据图表数据可得，土豆产量随氮肥施用量的变化而变化，并且氮肥施用量在小于或等于336千克/公顷时，土豆的产量是逐渐增加的，而氮肥施用量在大于或等于404千克/公顷时，土豆的产量是逐渐减少的，据此解对各选项分析判断即可．
【解析】A、氮肥施用量是自变量，土豆产量是因变量，原说法正确，故选项不符合题意；
B、当氮肥的施用量是101千克/公顷时，土豆的产量是32.29吨/公顷，原说法正确，故选项不符合题意；
C、如果不施氮肥，土豆的产量是15.18吨/公顷，原说法正确，故选项不符合题意；
D、氮肥施用量404千克/公顷比氮肥施用量336千克/公顷时的土豆的产量更低，原说法错误，故选项符合题意．
故选：D．
【变式2-4】科学家就蟋蟀鸣叫的次数与室外温度的数量关系做了如下记录：
如果这种数量关系不变，那么当室外温度为90°F时，蟋蟀每分钟鸣叫的次数是（ ）
A．178B．184C．192D．200
【分析】根据表中的数据可知，温度每升高2°F，蟋蟀每分钟鸣叫的次数增加8次，据此列式计算即可．
【解析】176+8×90-842=200（次），
即当室外温度为90°F时，蟋蟀每分钟鸣叫的次数是200，
故选：D．
【考点3】函数关系式
【例3】在平面直角坐标系中，点P（x，y）在第一象限内，且x+y＝8，点A的坐标为（6，0）．设△OPA的面积为S，S与x之间的函数关系式是（ ）
A．S＝﹣x+8（0＜x＜8）B．S＝﹣3x+24（0＜x＜8）
C．S＝﹣3x+12（0＜x＜4）D．S=-13x+8（0＜x＜8）
【分析】由点P在第一象限及x+y＝8可得出y＝8﹣x（0＜x＜8），由点P，O的坐标，利用三角形的面积公式即可找出S与x之间的函数关系式．
【解析】∵点P（x，y）在第一象限内，且x+y＝8，
∴y＝8﹣x（0＜x＜8）．
∵点A的坐标为（6，0），点O的坐标为（0，0），
∴S=12OP•y=12×6y＝﹣3x+24（0＜x＜8）．
故选：B．
【变式3-1】按图（1）﹣（3）的方式摆放餐桌和椅子，照这样的方式维续摆放，如果摆放的餐桌为x张，摆放的椅子为y把，则y与x之间的关系式为（ ）
A．y＝6xB．y＝4x﹣2C．y＝5x﹣1D．y＝4x+2
【分析】第一张餐桌上可以摆放6把椅子，进一步观察发现：多一张餐桌，多放4把椅子．第x张餐桌共有6+4（x﹣1）＝4x+2．
【解析】有1张桌子时有6把椅子，
有2张桌子时有10把椅子，10＝6+4×1，
有3张桌子时有14把椅子，14＝6+4×2，
∵多一张餐桌，多放4把椅子，
∴第x张餐桌共有y＝6+4（x﹣1）＝4x+2．
故选：D．
【变式3-2】小军用50元钱去买单价是8元的笔记本，则他剩余的钱Q（元）与他买这种笔记本的本数x之间的函数关系式是（ ）
A．Q＝8xB．Q＝50﹣8xC．Q＝8x﹣50D．Q＝8x+50
【分析】根据函数关系式的性质即可求解．
【解析】∵小军用50元钱去买单价是8元的笔记本，
∴买这种笔记本的本数x花去的钱为：8x，
∴剩余的钱为：50﹣8x，
∴他剩余的钱Q（元）与他买这种笔记本的本数x之间的函数关系式是：Q＝50﹣8x，
故选：B．
【变式3-3】一个边长为2厘米的正方形，如果它的边长增加x（x＞0）厘米，则面积随之增加y平方厘米，那么y关于x的函数解析式为 y＝x2+4x ．
【分析】根据“面积的增加量就是边长增加前后的两个正方形的面积差”可得答案．
【解析】由题意得，
y＝（2+x）2﹣22＝x2+4x，
故答案为：y＝x2+4x．
【变式3-4】如图，三角形ABC的高AD＝4，BC＝6，点E在BC上运动，若设BE的长为x，三角形ACE的面积为y，则y与x的关系式为 y＝﹣2x+12 ．
【分析】根据线段的和差，可得CE的长，根据三角形的面积，可得答案．
【解析】由线段的和差，得CE＝6﹣x，
由三角形的面积，得
y=12×4×（6﹣x）
化简，得y＝﹣2x+12，
故答案为：y＝﹣2x+12．
【考点4】函数的图象
【例4】图①是某公共汽车线路收支差额y（票价总收入减去运营成本）与乘客量x的函数图象，目前这条线路亏损，为了扭亏，有关部门举行提高票价的听证会，乘客代表认为：公交公司应节约能源，改善管理降低运营成本，从而实现扭亏；公交公司认为：运营成本难以下降，公司已尽力，提高票价才能扭亏；根据这两种意见，可以把图①分别改画成图②和图③．下列说法正确的是（ ）
A．点A表示的是公交车公司票价为1元
B．点B表示乘客为0人
C．反映乘客意见的是③
D．反映乘客意见的是②
【分析】A．根据题意观察图象①即可判断；
B..根据题意观察图象即可判断；
C..根据题意观察图象③即可判断；
D..根据题意观察图象②即可判断．
【解析】A．点A表示的是票价总收入减去运营成本为﹣1万元，
所以A选项错误；
B．点B表示乘客为1.5万人，
所以B选项错误；
C．乘客代表认为：公交公司应节约能源，改善管理降低运营成本，从而实现扭亏；
所以反映乘客意见的是③，
所以C选项正确；
D．公交公司认为：运营成本难以下降，公司已尽力，提高票价才能扭亏；
所以反映公交公司意见的是②，
所以D选项错误．
故选：C．
【变式4-1】匀速地向一个容器注水，最后把容器注满．在注水的过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中OEFG为一折线），那么这个容器的形状可能是下列图中的（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据题意先比较OE、EF、FG三段的变化快慢，再比较三个容器容积的大小，即可得出图形，再根据图形从而画出图象．
【解析】从图中可以看出，OE上升最快，EF上升较慢，FG上升较快，
所以容器的底部容积最小，中间容积最大，上面容积较大，
故选：B．
【变式4-2】如图，甲、乙两汽车从A城出发前往B城，在整个行程中，汽车离开A城的距离y与时间t的对应关系如图所示．下列结论：①A，B两城相距300km；②行程中甲、乙两车的速度比为2：3；③乙车于7：20追上甲车；④9：00时，甲、乙两车相距60km．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据整个行程中，汽车离开A城的距离y与时刻t的对应关系，即可得到正确结论．
【解析】①由题可得，A，B两城相距300千米，故①结论正确；
②甲车的平均速度为：300÷（10﹣5）＝60（千米/时），乙车的平均速度为：300÷（9﹣6）＝100（千米/时），所以行程中甲、乙两车的速度比为3：5，故②结论错误；
③设乙出发x小时后追上了甲，则100x＝60（x+1），解得x＝1.5，即乙车于7：30追上甲车，故③结论错误；
④9：00时甲车所走路程为：60×（9﹣5）＝240（km），300﹣240＝60（km），即9：00时，甲、乙两车相距60km，故④结论正确；
所以正确的有①④共2个．
故选：B．
【变式4-3】如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A（6，0），C（0，4）点D与坐标原点O重合，动点P从点O出发，以每秒2个单位的速度沿O﹣A﹣B﹣C的路线向终点C运动，连接OP、CP，设点P运动的时间为t秒，△CPO的面积为S，下列图象能表示t与S之间函数关系的是（ ）
【分析】根据动点运动的起点位置、关键转折点，结合排除法，可得答案．
【解析】∵动点P从点O出发，以每秒2个单位的速度沿O﹣A﹣B﹣C的路线向终点C运动，△CPO的面积为S
∴当t＝0时，OP＝0，故S＝0
∴选项C、D错误；
当t＝3时，点P和点A重合，
∴当点P在从点A运动到点B的过程中，S的值不变，均为12，故排除A，只有选项B符合题意．
故选：B．
【变式4-4】某通讯公司推出三种上网月收费方式．这三种收费方式每月所收的费用y（元）与上网时间x（小时）的函数关系如图所示，则下列判断错误的是（ ）
A．每月上网不足25小时，选择A方式最省钱
B．每月上网时间为30小时，选择B方式最省钱
C．每月上网费用为60元，选择B方式比A方式时间长
D．每月上网时间超过70小时，选择C方式最省钱
【分析】根据函数图象得出信息解答即可．
【解析】由题意可知：
A、每月上网不足25小时，选择A方式最省钱，故本选项不合题意；
B、每月上网时间为30小时，选择A方式的费用为：30+5×[（120﹣30）÷（50﹣25）]＝48（元），B方式为50元，C方式为120元，所以选择A方式最省钱，故本选项符合题意；
C、每月上网费用为60元，选择B方式比A方式时间长，故本选项不合题意；
D、每月上网时间超过70小时，选择C方式最省钱，故本选项不合题意；
故选：B．
【考点5】有关用表格表示的变量之间关系的解答题
【例5】某超市进了一批优质水果，出售时在进价（进货的价格）的基础上加上一定的利润，其数量x与售价y的关系如下表：
（1）求出售价y与商品数量x之间的关系式；
（2）王阿姨想买这种水果6kg，她应付款多少元？
【分析】（1）根据表格所给数据的规律即可求解；
（2）根据（1）中所得关系式即可求解．
【解析】（1）根据题意，得
售价y与商品数量x之间的关系式为y＝（4+0.5）x＝4.5x
（2）当x＝6时，y＝4.5×6＝27
答：她应付款27元．
点评：本题考查了函数的表示方法，解决本题的关键是利用表格中的数据．
【变式5-1】某地移动公司的通话时间（分）和需要的电话费（元）之间有如下表所示的关系：
（1）上面表格反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）用x表示通话时间，用y表示电话费，请写出随着x的变化，y的变化趋势是什么？
【分析】（1）根据观察表格，可得变量，根据变量间的关系，可得自变量、因变量；
（2）根据单价、时间、话费间的关系，可得函数关系式，根据正比例函数的性质，可得答案．
【解析】（1）上表反映了通话时间与电话费之间的关系；通话时间是自变量，电话费是因变量；
（2）由表格数据可知y＝0.4x，y随着x的增大而增大．
【变式5-2】王师傅非常喜欢自驾游，为了解他新买轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油实验，得到下表中的数据：
（1）在这个问题中，自变量是 行驶的路程 ，因变量是 油箱剩余油量 ；
（2）该轿车油箱的容量为 50 L，行驶150km时，估计油箱中的剩余油量为 38 L；
（3）王师傅将油箱加满后驾驶该轿车从A地前往B地，到达B地时油箱中的剩余油量为22L，请直接写出A，B两地之间的距离是 350 km．
【分析】（1）通过观察统计表可知：轿车行驶的路程s（km）是自变量，油箱剩余油量Q（L）是因变量；
（2）由表格可知，开始油箱中的油为50L，每行驶100km，油量减少8L，据此可得答案；
（3）由表格可知，开始油箱中的油为50L，每行驶100km，油量减少8L，据此可得Q与s的关系式，把Q＝22代入函数关系式求得相应的s值即可．
【解析】（1）上表反映了轿车行驶的路程s（km）和油箱剩余油量Q（L）之间的关系，其中轿车行驶的路程s（km）是自变量，油箱剩余油量Q（L）是因变量；
故答案是：行驶的路程；油箱剩余油量；
（2）由表格可知，开始油箱中的油为50L，每行驶100km，油量减少8L，据此可得Q与s的关系式为Q＝50﹣0.08s，当s＝150时，Q＝50﹣0.08×150＝38（L）；
故答案是：50，38；
（3）由（2）得Q＝50﹣0.08s，
当Q＝22时，
22＝50﹣0.08s
解得s＝350．
答：A，B两地之间的距离为350km．
故答案是：350．
【变式5-3】世界上大部分国家都使用摄氏温度（℃），但美国、英国等国家的天气预报仍然使用华氏温度（F）．两种计量之间有如下对应：
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）由上表可得：摄氏温度（℃）每提高10度，华氏温度（F）提高 18 度；
（3）摄氏温度100度时华氏温度为 212 度；
（4）华氏温度﹣4度时摄氏温度为 ﹣20 度；
（5）华氏温度的值与对应的摄氏温度的值有相等的可能吗？如果有，求出这个值．如果没有，请说明理由．
【分析】（1）反映摄氏温度（℃）和华氏温度（℉）之间的关系，摄氏温度是自变量，华氏温度是因变量；
（2）观察表格可得结果；
（3）运用待定系数法求出反映摄氏温度（℃）和华氏温度（℉）之间的函数关系式即可求解；
（4）代入函数关系式即可求解；
（5）当y＝x时，代入解析式求出x的值就可以得出结论．
【解析】（1）反映摄氏温度（℃）和华氏温度（℉）之间的关系，摄氏温度是自变量，华氏温度是因变量；
（2）由上表可得：摄氏温度（℃）每提高10度，华氏温度（F）提高18度；
故答案为：18；
（3）设摄氏温度为x（℃）与华氏温度为y（℉）之间的函数关系式为y＝kx+b，由题意，得
b=3210k+b=50，解得k=1.8b=32，
即y＝1.8x+32，
当x＝100时，y＝1.8×100+32＝212．
摄氏温度100度时华氏温度为212度．
故答案为：212；
（4）由（3）得，当y＝﹣4时，1.8x+32＝﹣4，解得x＝﹣20．
故华氏温度﹣4度时摄氏温度为﹣20度．
故答案为：﹣20；
（5）有；
当y＝x时，x＝1.8x+32，
解得：x＝﹣40．
因此当华氏﹣40度时，摄氏也是﹣40度．
【考点6】有关用关系式表示的变量之间关系的解答题
【例6】如图，甲、乙两地打电话需付的电话费y（元）是随时间t（分钟）的变化而变化的，试根据下表列出的几组数据回答下列问题：
（1）自变量是 通话时间 ，因变量是 电话费 ；
（2）写出电话费y（元）与通话时间t（分钟）之间的关系式；
（3）若小明通话10分钟，则需付话费多少元；
（4）若小明某次通话后，需付话费4.8元，则小明通话多少分钟．
【分析】（1）根据函数的定义解答即可；
（2）根据表格可知，通话每增加1分钟，电话费增加0.15元，可得电话费y（元）与通话时间t（分钟）之间的关系式；
（3）把x＝10代入（2）的结论即可；
（4）把y＝4.8代入（2）的结论即可
【解析】（1）自变量是通话时间，因变量是电话费．
故答案为：通话时间；电话费；
（2）y＝0.15t；
（3）当t＝10时，
y＝0.15t
＝0.15×10
＝1.5．
所以小明通话10分钟，则需付话费1.5元；
（4）把y＝4.8代入y＝0.15t中得：
4.8＝0.15t，∴t＝32．
所以当付话费为4.8元，小明通话32分钟．
【变式6-1】为了解某品牌轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油试验，得到如表数据：
（1）该轿车油箱的容量为 50 L，行驶150km时，油箱剩余油量为 38 L；
（2）根据上表的数据，写出油箱剩余油量Q（L）与轿车行驶的路程s（km）之间的表达式；
（3）某人将油箱加满后，驾驶该轿车从A地前往B地，到达B地时邮箱剩余油量为26L，求A，B两地之间的距离．
【分析】（1）由表格可知，开始油箱中的油为50L，每行驶100km，油量减少8L，由此填空；
（2）由表格可知，开始油箱中的油为50L，每行驶100km，油量减少8L，据此可得Q与s的关系式；
（3）把Q＝26代入函数关系式求得相应的s值即可．
【解析】（1）由表格中的数据可知，该轿车油箱的容量为50L，行驶150km时，油箱剩余油量为：50-150100×8＝38（L）．
故答案是：50；38；
（2）由表格可知，开始油箱中的油为50L，每行驶100km，油量减少8L，据此可得Q与s的关系式为Q＝50﹣0.08s；
故答案是：Q＝50﹣0.08s；
（3）令Q＝26，得s＝300．
答：A，B两地之间的距离为300km．
【变式6-2】“十一”期间，小华约同学一起开车到距家100千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油35升，当行驶80千米时，发现油箱余油量为25升（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）．
（1）求该车平均每干米的耗油量，并写出行驶路程x（千米）与剩余油量Q（升）的关系式；
（2）当x＝60（千米）时，求剩余油量Q的值；
（3）当油箱中剩余油量低于3升时，汽车将自动报警，如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？请说明理由．
【分析】（1）单位耗油量＝耗油量÷行驶里程，剩余油量＝油箱内油的升数﹣行驶路程的耗油量；
（2）把x＝60千米代入剩余油量公式，计算即可；
（3）计算出35﹣3＝32升油能行驶的距离，与200千米比较大小即可得．
【解析】（1）该汽车平均每千米的耗油量为（35﹣25）÷80＝0.125（升/千米），
∴行驶路程x（千米）与剩余油量Q（升）的关系式为Q＝35﹣0.125x；
（2）当x＝60时，Q＝35﹣0.125×60＝27.5（升），
答：当x＝60（千米）时，剩余油量Q的值为27.5升；
（3）他们能在汽车报警前回到家，
（35﹣3）÷0.125＝256（千米），
由256＞200知他们能在汽车报警前回到家．
【变式6-3】如图所示，在△ABC中，底边BC＝8cm，高AD＝6cm，E为AD上一动点，当点E从点D向点A运动时，△BEC的面积发生了变化．
（1）在这个变化过程中，自变量和因变量各是什么？
（2）若设DE长为x（cm），△BEC的面积为y，求y与x之间的关系式．
（3）当DE长度为3cm时，△BEC的面积y是多少？
【分析】（1）利用函数的关系求解；
（2）利用三角形的面积公式得到y与x的关系式；
（3）计算自变量为3对应的函数值即可．
【解析】（1）在这个变化过程中，自变量为DE的长，因变量是△BEC的面积；
（2）y=12×BC×DE＝4x（0≤x≤6）；
（3）当x＝3时，y＝4×3＝12（cm2）．
【变式6-4】织金县某学校团支部书记暑假带领该校“优等生”去旅游，甲旅游社说：“若团支部书记买全票一张，则学生可享受半价优惠”．乙旅行社说：“包括团支部书记在内都6折优惠”．若全票价是1200元，设学生人数为x，甲旅行社收费为y甲、乙旅行社收费为y乙．求：
（1）分别写出两家旅行社的收费与学生人数的关系式．
（2）当学生人数是多少时，两家旅行社的收费是一样的？
（3）就学生人数讨论哪家旅行社更优惠．
【分析】（1）根据题意得出两个旅行社的收费关系式即可；
（2）利用（1）中所求进而得出两关系式相等时的学生数；
（3）分别利用y甲＞y乙时，故当x＜4时，得出答案即可．
【解析】（1）设学生人数为x人，由题意，得
y甲＝0.5×1200x+1200＝600x+1200，
y乙＝0.6×1200x+0.6×1200＝720x+720；
（2）当y甲＝y乙时，
600x+1200＝720x+720，
解得：x＝4，
故当x＝4时，两旅行社一样优惠；
（3）y甲＞y乙时，
600x+1200＞720x+720，
解得：x＜4
故当x＜4时，乙旅行社优惠．
当y甲＜y乙时，
600x+1200＜720x+720，
解得：x＞4，
故当x＞4时，甲旅行社优惠．
【考点7】有关用图象表示的变量之间关系的解答题
【例7】张华上午8点骑自行车外出办事，如图表示他离家的距离S（千米）
与所用时间（小时）之间的函数图象．根据这个图象回答下列问题：
（1）在这个过程中自变量、因变量各指什么？
（2）张华何时体息？休息了多少时间？这时离家多远？
（3）他何时到达目的地？在那里逗留了多长时间？目的地离家多远？
（4）他何时返回？何时到家？返回的平均速度是多少？
【分析】（1）根据自变量、因变量的定义，即可求解；
（2）9：30﹣10：00休息了30分钟，即可求解；
（3）11：00到达目的地，逗留了1个小时，即可求解；
（4）12：00开始返回，14：00到家，即可求解．
【解析】（1）时间是自变量、距离是因变量；
（2）9：30﹣10：00休息了30分钟，这时距甲15千米；
（3）11：00到达目的地，逗留了1个小时，目的地距家30千米；
（4）12：00开始返回，14：00到家，速度为30÷（14﹣12）＝15，
即返回的平均速度为每小时15千米．
【变式7-1】周末，小明乘坐家门口的公交车到和平公园游玩，他先乘坐公交车0.8小时后达到书城，逗留一段时间后继续坐公交车到和平公园，小明出发一段时间后，小明的妈妈不放心，于是驾车沿相同的路线前往和平公园，如图是他们离家的路程y（km）与离家时间x（h）的关系图，请根据图回答下列问题：
（1）小明家到和平公园的路程为 30 km，他在书城逗留的时间为 1.7 h；
（2）图中A点表示的意义是 小明离开书城，继续坐公交到公园 ；
（3）求小明的妈妈驾车的平均速度（平均速度=路程时间）．
【分析】（1）、（2）看图象即可求解；
（3）用平均速度=路程时间，即可求解．
【解析】（1）从图象可以看出，小明距离公园的路程为30千米，小明逗留的时间为：2.5﹣0.8＝1.7，
故答案为30，1.7；
（2）表示小明离开书城，继续坐公交到公园，
故答案为：小明离开书城，继续坐公交到公园；
（3）30÷（3.5﹣2.5）＝30（km/h），
即：小明的妈妈驾车的平均速度为30km/h．
【变式7-2】某天早晨，小王从家出发步行前往学校，途中在路边一饭店吃早餐，如图所示是小王从家到学校这一过程中所走的路程s（米）与时间t（分）之间的关系．
（1）小王从家到学校的路程共 1000 米，从家出发到学校，小明共用了 25 分钟；
（2）小王吃早餐用了 10 分钟；
（3）小王吃早餐以前和吃完早餐后的平均速度分别是多少米/分钟？
【分析】（1）看图象即可求解；
（2）小王吃早餐时，s的值为常数，即可求解；
（3）确定该时段学生走的距离和时间，即可求解．
【解析】（1）从图象看，小王从家到学校的路程共 1000米，从家出发到学校，小明共用了 25分钟；
故答案为1000，25；
（2）小王吃早餐时，s的值为常数，故从10分钟到20分钟，共10分钟，
故答案为：10；
（3）小王吃早餐以前的平均速度为：500÷10＝50米/分钟；
小王吃早餐后的平均速度为：（1000﹣500）÷5＝100米/分钟．
【变式7-3】如图是甲、乙两人从同一地点出发后，路程随时间变化的图象．
（1）在此变化过程中， t 是自变量；
（2）甲的速度 小于 乙的速度；（填“大于”、“等于”、或“小于”）
（3）甲出发后 6时 与乙相遇；
（4）甲比乙先走 3 小时；
（5）9时甲在乙的 后面 （填“前面”、“后面”、“相同位置”）；
（6）路程为150千米，甲行驶了 9 小时，乙行驶了 4.5 小时．
【分析】（1）根据自变量与因变量的含义得到时间是自变量，路程是因变量；
（2）甲走6行驶100千米，乙走3小时行驶了100千米，则可得到它们的速度的大小；
（3）6时两图象相交，说明他们相遇；
（4）甲比乙先走3小时；
（5）观察图象得到t＝9时，乙的图象在甲的上方，即乙行驶的路程远些；
（6）路程为150千米，甲行驶了9时，根据乙的速度可得乙行驶的时间．
【解析】（1）函数图象反映路程随时间变化的图象，则t是自变量，s为因变量；
（2）甲的速度=1006=503千米/小时，所以甲的速度小于乙的速度；
（3）6时表示他们相遇，即乙追赶上了甲；
（4）甲比乙先走3小时；
（5）t＝9时，乙的图象在甲的上方，即乙行驶的路程远些，所以9时甲在乙的后面；
（6）路程为150千米，甲行驶了9时，乙行驶的时间为：150÷（100÷3）＝4.5（小时）．
故答案为：（1）t；（2）小于；（3）6时；（4）3；（5）后面；（6）9；4.5．
【变式7-4】某种车的油箱加满油后，油箱中的剩余油量y（升）与车行驶路程x（千米）之间的关系，如图所示，根据图象回答下列问题：
（1）这种车的油箱最多能装 50 升油．
（2）加满油后可供该车行驶 1000 千米．
（3）该车每行驶200千米消耗汽油 10 升．
（4）油箱中的剩余油量小于10升时，车辆将自动报警，行驶 800 千米后，车辆将自动报警？
【分析】（1）当x＝0时，y的值就是这种车的油箱的最大容量；
（2）当y＝0时，x的值就是该车行驶的行驶里程；
（3）观察图象可知，该车每行驶200千米消耗汽油10升．
（4）观察图象可知，行驶800千米后，车辆将自动报警．
【解析】（1）这种车的油箱最多能装50升油．
（2）加满油后可供该车行驶1000千米．
（3）该车每行驶200千米消耗汽油10升．
（4）油箱中的剩余油量小于10升时，车辆将自动报警，行驶800千米后，车辆将自动报警．
故答案为：（1）50；（2）1000；（3）10；（4）800．
时间t/s
0
10
20
30
40
油温y/℃
10
30
50
70
90
x
0
2
4
6
8
10
y
10
10.5
11
11.5
12
12.5
鸡的质量（千克）
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
烤制时间（分）
40
60
80
100
120
140
160
180
氮肥施用量/千克
0
34
67
101
135
202
259
336
404
471
土豆产量/吨
15.18
21.36
25.72
32.29
34.05
39.45
43.15
43.46
40.83
30.75
蟋蟀每分钟鸣叫的次数
温度/°F
144
76
152
78
160
80
168
82
176
84
数量x（kg）
1
2
3
4
5
…
售价y（元）
4+0.5
8+1.0
12+1.5
16+2.0
20+2.5
…
通话时间/分
1
2
3
4
5
6
7
…
电话费/元
0.4
0.8
1.2
1.6
2.0
2.4
2.8
…
行驶的路程s（km）
0
100
200
300
400
…
油箱剩余油量Q（L）
50
42
34
26
18
…
摄氏温度（℃）
0
10
20
30
40
50
华氏温度（°F）
32
50
68
86
104
122
通话时间t（分钟）
1
2
3
4
5
6
…
电话费y（元）
0.15
0.30
0.45
0.6
0.75
0.9
…
轿车行驶的路程s（km）
0
100
200
300
400
…
油箱剩余油量Q（L）
50
42
34
26
18
…