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初中数学人教版八年级下册第十七章 勾股定理综合与测试测试题
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这是一份初中数学人教版八年级下册第十七章 勾股定理综合与测试测试题，共63页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题二 勾股定理中的方程思想（专项练习）
一、单选题
1．在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面（ ）尺．
A．4 B．3.6 C．4.5 D．4.55
2．如图，高速公路上有两点A，B相距25km，C，D为两个乡镇，已知DA＝10km，CB＝15km，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，现需要在AB上建一个高速收费站E，使得C，D两个乡镇到E站的距离相等，则BE的长为（ ）
A．10km B．15km C．20km D．25km
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC=3，AB=5，则线段DE的长为（ ）
A． B．3 C． D．1
4．小亮想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多2m，当他把绳子的下端拉开8m后，下端刚好接触到地面，则学校旗杆的高度为（ ）
A．m B．m C．m D．m
5． 中， 是垂足，与交于，则．
A． B． C． D．
6．已知直角三角形的斜边长为5cm，周长为12cm，则这个三角形的面积（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是 _____．
8．我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭生其中，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何？”（丈、尺是长度单位，1丈＝10尺）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇AB，它高出水面1尺（即BC＝1尺）．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端B恰好到达池边的水面D处．问水的深度是多少？则水深DE为________尺．
9．如图，已知，直角中，，从直角三角形两个锐角顶点所引的中线的长，，则斜边AB之长为______________．
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C′点，那么△ADC′的面积是________ cm2．
11．如图，在平面直角在坐标系中，四边形OACB的两边OA，OB分别在x轴、y轴的正半轴上，其中，且CO平分，若，，则点C的坐标为______．
12．如图，点A为等边三角形BCD外一点，连接AB、AD且AB＝AD，过点A作AE∥CD分别交BC、BD于点E、F，若3BD＝5AE，EF＝6，则线段AE的长 _____．
三、解答题
13．已知，如图，在△ABC中，∠C＝ 90°，AD平分∠BAC交BC于D，过D作DE∥AC交AB于E．
（1）求证：AE＝DE；
（2）如果AC＝3，，求AE的长．
14．某中学初二年级游同学在学习了勾股定理后对《九章算术》勾股章产生了学习兴趣．今天，他学到了勾股章第7题：“今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”本题大意是：如图，木柱，绳索AC比木柱AB长三尺，BC的长度为8尺，求：绳索AC的长度．
15．如图，在中，，，，，求的长．
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E．若AC＝8，BC＝4，求AE的长．
17．如图（1），是两个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）
（1）用这样的两个三角形构造成如图（2）的图形，利用这个图形，可以证明我们学过的哪个定理，用字母表示：_________；
（2）当a＝3，b＝4时，将其中一个直角三角形放入平面直角坐标系中，使直角顶点与原点重合，两直角边a，b分别与x轴、y轴重合（如图4中Rt△AOB的位置）．点C为线段OA上一点，将△ABC沿着直线BC翻折，点A恰好落在x轴上的D处．
①请写出C、D两点的坐标；
②若△CMD为等腰三角形，点M在x轴上，请直接写出符合条件的所有点M的坐标．
18．已知：如图，有一块Rt△ABC的绿地，量得两直角边AC＝8m，BC＝6m．现在要将这块绿地扩充成等腰△ABD，且扩充部分（△ADC）是以8m为直角边长的直角三角形，求扩充后等腰△ABD的周长．
（1）在图1中，当AB＝AD＝10m时，△ABD的周长为 ；
（2）在图2中，当BA＝BD＝10m时，△ABD的周长为 ；
（3）在图3中，当DA＝DB时，求△ABD的周长．
19．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一点，CD＝3．点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为．连接AP
（1）当t＝3秒时，求AP的长度(结果保留根号)；
（2）当点P在线段AB的垂直平分线上时，求t的值；
（3）过点D作DE⊥AP于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使DE＝CD?
20．数学课上，老师出示了一个题：如图，在中，，，，的平分线交CB于点D，求CD的长．
晓涵同学思索了一会儿，考虑到角平分线所在直线是角的对称轴这一特点，于是构造了一对全等三角形，解决了这个问题．请你在晓涵同学的启发下（或者独立思考后有自己的想法），解答这道题．
21．思维启迪：
（1）如（图1），中，，，，点D是AB的中点，点E在AC上，过B点作AC的平行线，交直线ED于点F，当时，______．
思维探索：
（2）如（图2），中，，点D是AB的中点，点E在AC上，交BC于F，连接EF，请直接写出AE，EF，BF的数量关系，并说明理由；
（3）中，，点D是AB的中点，点E在直线AC上，交直线BC于F，若，，，请直接写出线段BF长．
22．滑撑杆在悬窗中应用广泛．如图，某款滑撑杆由滑道，撑杆、组成，滑道固定在窗台上．悬窗关闭或打开过程中，撑杆、的长度始终保持不变．当悬窗关闭时，如图①，此时点与点重合，撑杆、恰与滑道完全重合；当悬窗完全打开时，如图②，此时撑杆与撑杆恰成直角，即，测量得，撑杆，求滑道的长度．
23．如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，∠ABC的平分线与线段AC交于点D，且有AD＝BD，点E是线段AB上的动点（与A、B不重合），联结DE，设AE＝x，DE＝y．
（1）求∠A的度数；
（2）求y关于x的函数解析式（无需写出定义域）；
（3）当△BDE是等腰三角形时，求AE的长．
24．如图，△ABC中，AB=AC=8厘米，BC=6厘米，点D为AB的中点．动点P在线段BC上以2厘米/秒的速度向点C运动，同时，动点Q在线段CA上由点C向点A运动，连接DP，PQ．设点P运动的时间为t秒，回答下列问题：
（1）当点Q的运动速度为____________厘米/秒时，△BPD和△CPQ全等；
（2）若动点P的速度不变，同时动点Q以5厘米/秒的速度出发，两个点运动方向不变，沿△ABC的三边运动．
①请求出两点首次相遇时的t值，并说明此时两点在△ABC的哪一条边上；
②在P、Q两点首次相遇前，能否得到以PQ为底的等腰△APQ？如果能，请直接写出t值；如果不能，请说明理由．
25．如图，一棵竖直生长的竹子高为8米，一阵强风将竹子从C处吹折，竹子的顶端A刚好触地，且与竹子底端的距离AB是4米．求竹子折断处与根部的距离CB．
26．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC是△ABC中最短的边，边AC的长度比BC长10cm，斜边AB的长度比BC长度的2倍短10cm．
（1）求Rt△ABC的各条边的长．
（2）求AB边上的高．
（3）点D从点B出发在线段AB上以2cm/s的速度向终点A运动，设点D的运动时间为t（s）．
①用含t的代数式表示线段BD的长为 ；
②当△BCD为等腰三角形时，请求出t的值．
27．如图，AB为一棵大树，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴子从D处爬到树顶A处，利用拉在A处的滑绳AC，滑到C处，另一只猴子从D处滑到地面B，再由B跑到C，已知两只猴子所经路程都是16m，求树高AB．
28．如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝5，点D是边AB上的一个动点，连接CD，过C点在上方作CE⊥CD，且CE＝CD，点P是DE的中点．
（1）如图①，连接AP，判断线段AP与线段DE的数量关系并说明理由；
（2）如图②，连接CP并延长交AB边所在直线于点Q，若AQ＝2，求BD的长．
29．如图，在长方形中，，．延长到点，使，连接．动点从点出发，沿着以每秒1个单位的速度向终点运动，点运动的时间为秒．
（1）的长为 ；
（2）连接，求当为何值时，；
（3）连接，求当为何值时，是直角三角形；
（4）直接写出当为何值时，是等腰三角形．
30．如图，在Rt中，，，，动点D从点C出发，沿边向点B运动，到点B时停止，若设点D运动的时间为秒．点D运动的速度为每秒1个单位长度．
（1）当时， ， ；
（2）用含t的代数式表示的长；
（3）当点D在边CA上运动时，求t为何值，是以BD或CD为底的等腰三角形？并说明理由；
（4）直接写出当是直角三角形时，t的取值范围 ．
参考答案
1．D
【分析】
根据题意作出图形，设折断处离地面x尺，则AB＝（10﹣x）尺，勾股定理求解即可
【详解】
如图，由题意得：∠ACB＝90°，BC＝3尺，AC+AB＝10尺，
设折断处离地面x尺，则AB＝（10﹣x）尺，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2，
解得：x＝4.55，
即折断处离地面4.55尺．
故选：D．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理建立方程求解是解题的关键．
2．A
【分析】
根据题意设出的长为，再由勾股定理列出方程求解即可．
【详解】
解：设，则，
由勾股定理得：
在中，
，
在中，
，
由题意可知：，
∴，
解得：，
∴BE=10km．
故选A．
【点拨】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
3．C
【分析】
过点F作FG⊥AB于点G，由∠ACB=90°，CD⊥AB，AF平分∠CAB，可得∠CAF=∠FAD，从而得到CE=CF，再由角平分线的性质定理，可得FC=FG，再证得，可得 ，然后设 ，则 ，再由勾股定理可得 ，然后利用三角形的面积求出 ，即可求解．
【详解】
解：如图，过点F作FG⊥AB于点G，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠CDA=90°，
∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF=∠FAD，
∴∠CFA=∠AED=∠CEF，
∴CE=CF，
∵AF平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°，
∴FC=FG，
∵，
∴，
∴ ，
∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°，
∴BC=4， ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选：C
【点拨】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质定理，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握勾股定理，角平分线的性质定理，等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
4．C
【分析】
根据题意设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+2）m，再利用勾股定理即可求得AB的长，即旗杆的高．
【详解】
解：根据题意画出图形如下所示：
则BC＝8m，
设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+2）m，
在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，
即x2+82＝（x+2）2，
解得x＝15，
故AB＝15m，
即旗杆的高为15m．
故选：C．
【点拨】此题考查了学生利用勾股定理解决实际问题的能力，在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．
5．A
【分析】
根据题意利用含60°的直角三角形性质结合勾股定理进行分析计算即可得出答案.
【详解】
解：如图，
∵,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∵,,
∴,
设,
所以勾股定理可得：，则
解得：或（舍去），
∴.
故选：A.
【点拨】本题考查含60°的直角三角形性质和勾股定理以及等腰直角三角形，熟练掌握相关的性质是解题的关键.
6．C
【分析】
设该直角三角形的两条直角边分别为、，根据勾股定理和周长公式即可列出方程，然后根据完全平方公式的变形即可求出的值，根据直角三角形的面积公式计算即可．
【详解】
解:设该直角三角形的两条直角边分别为、，
根据题意可得：
将②两边平方－①，得
∴
∴该直角三角形的面积为
故选:C
【点拨】此题考查的是直角三角形的性质和完全平方公式，根据勾股定理和周长列出方程是解决此题的关键．
7．101寸
【分析】
取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，根据勾股定理解答即可得到答案．
【详解】
解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示：
由题意得：OA＝OB＝AD＝BC，
设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，
则AB＝2r（寸），DE＝10寸，OE＝CD＝1寸，
∴AE＝OA﹣OE＝（r﹣1）寸，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE2+DE2＝AD2，
即（r﹣1）2+102＝r2，
解得：r＝50.5，
∴AB＝2r＝101（寸），
故答案为：101寸．
【点拨】本题考查了勾股定理，添加辅助线构造出直角三角形再用勾股定理求解是解题的关键．
8．12
【分析】
设水池里水的深度是尺，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
【详解】
设水池里水的深度是尺，则，，
由题意得：，
∴，
解得：，
故答案为：12．
【点拨】本题考查勾股定理的应用，由题意找出等量关系式是解题的关键．
9．8
【分析】
设BC=x，AC=y，根据勾股定理列方程组，从而可求得斜边的平方，即求得斜边的长．
【详解】
设BC=x，AC=y，
∵直角三角形两个锐角顶点所引的中线
∴
在Rt△ADC和Rt△BCE中，由勾股定理得：
∴
∴
∴
故答案为：8
【点拨】注意此题的解题技巧：根据已知条件，在两个直角三角形中运用勾股定理列方程组．求解的时候，注意不必分别求出未知数的值，只需求出两条直角边的平方和，运用勾股定理即可．
10．6
【分析】
先根据勾股定理得到AB＝10cm，再根据折叠的性质得到DC＝DC′，BC＝BC′＝6cm，则AC′＝4cm，在Rt△ADC′中利用勾股定理得（8﹣x）2＝x2＋42，解得x＝3，然后根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】
解：∵∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，
∴AB＝10cm，
∵将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C′点，
∴△BCD≌△BC′D，
∴∠C＝∠BC′D＝90°，DC＝DC′，BC＝BC′＝6cm，
∴AC′＝AB﹣BC′＝4cm，
设DC＝xcm，则AD＝（8﹣x）cm，
在Rt△ADC′中，AD2＝AC′2＋C′D2，
即（8﹣x）2＝x2＋42，解得x＝3，
∵∠AC′D＝90°，
∴△ADC′的面积＝×AC′×C′D＝×4×3＝6（cm2）．
故答案为6．
【点拨】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，对应点的连线段被折痕垂直平分．也考查了勾股定理．
11．
【分析】
取AB的中点E，连接OE，CE并延长交x轴于点F，根据直角三角形斜边 上的中线等于斜边的一半证明CE=OE=AE，再进一步证明；由勾股定理求出AB=，AO=BO=5；过点O作OG⊥OC交CA的延长线于点G，证明△COG访问团等腰直角三角形，可可求出OC=7；过点C作CH⊥x轴，垂足为H，设C（m，n），则OH=m，CH=n，AH=5-m，根据勾股定理可得方程组 ，求出方程组的解，取正值即可．
【详解】
解：取AB的中点E，连接OE，CE并延长交x轴于点F，如图，
∵，OC平分∠ACB，
∴
∵均为直角三角形，
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴是等腰直角三角形，
∴
∵
由勾股定理得，
∴
∴
过点O作OE⊥OC交CA的延长线于点G，
∵∠OCA=45°，
∴∠G=45°，
∴△COG为等腰直角三角形，
∴OC=OG，
∵∠BOC+∠COA=∠COA+∠AOG=90°，
∴∠BOC=∠AOG，
∵∠OCB=∠OEA=45°，
∴△COB≌△GOA（ASA），
∴BC=AG=，
∵CG=AC+AG=
∵△OCE为等腰直角三角形，
∴OC=7
过点C作CH⊥x轴于点H，设C（m，n），
∴OH=m，CH=n，AH=5-m
在Rt△CHO和Rt△CHA中，由勾股定理得，
解得，，（负值舍去）
∴C（）
故答案为：（）
【点拨】本题主要考查了坐标玮图形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
12．9
【分析】
连接AC交BD于点O，可得AC是BD的垂直平分线，设BD=5x，则AE=3x，求出OF=OB-BF=x-6，AF=AE-EF=3x-6，证明△BOE是等边三角形，得，利用AF=2OF列出方程求出x的值，进而可得AE的长．
【详解】
解：如图，连接AC交BD于点O，
∵3BD=5AE，
∴，
设BD=5x，则AE=3x，
∵△BCD是等边三角形，
∴BC=CD=BD=5x，∠DCB=∠DBC=60°，
∵AB=AD，BC=CD，
∴AC是BD的垂直平分线，
∴OB=OD=x，OC平分∠BCD，
∴∠DCO=∠DCB=30°，
∵AE∥CD，
∴∠DCO=30°，
∴，
∵AE∥CD，
∴∠AEB=∠BCD=60°，
∴∠AEB=∠FBE=∠BFE=60°，
∴△BEF是等边三角形，
∴BE=BF=EF=6，
∴OF=OB-BF=x-6，AF=AE-EF=3x-6，
∵
∴
∴
∴
解得x=3，
∴AE=AF+EF=3x-6+6=3x=9．
故答案为：9．
【点拨】本题考查了垂直平分线的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，解决本题的关键是得到AF=2OF列出方程求解．
13．（1）见解析；（2）2
【分析】
（1）利用平行线的性质和角平分线的性质得出∠EAD ＝∠ADE即可；
（2）过点D作DF⊥AB于F，求出DF＝DC＝，设AE＝x，根据勾股定理列方程即可．
【详解】
解：（1）∵DE∥AC，
∴∠CAD＝∠ADE．
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠EAD．
∴∠EAD ＝∠ADE．
∴AE＝DE．
（2）过点D作DF⊥AB于F．
∵∠C ＝ 90°，AC＝3，，
∴在Rt△ACD中，由勾股定理得 ．
∴．
∵AD平分∠BAC，
∴DF＝DC＝．
又∵AD＝ AD，∠C ＝ ∠AFD ＝ 90°，
∴Rt△DAC ≌Rt△DAF．
∴AF＝AC＝3．
∴Rt△DEF中，由勾股定理得 ．
设AE＝x，则DE＝x，，
∴，
∴x＝2．
∴AE＝2．
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定和勾股定理，解题关键是利用角平分线和平行线证明等腰，设未知数，依据勾股定理列方程．
14．绳索长是尺
【分析】
设，则，由勾股定理及即可求解．
【详解】
设，则，
在中，，
∴，
解得：，
答：绳索长是尺．
【点拨】本题考查勾股定理得应用，用题意列出等量关系式是解题的关键．
15．
【分析】
设CD=AD=x，则BD=4－x，在Rt△DBC中由勾股定理建立方程可求得x的值，从而求得CD的长．
【详解】
设CD=AD=x，则BD=AB－AD=4－x
∵BC=3
∴在Rt△DBC中，由勾股定理得：
即
解方程得：
即
【点拨】本题主要考查了勾股定理，关键是通过勾股定理建立方程．
16．5
【分析】
由DE是线段AB的垂直平分线，得到AE=BE，设AE=BE=x，则CE=AC-AE=8-x，在△BCE中利用勾股定理求解即可．
【详解】
解：如图所示，连接BE
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
设AE=BE=x，则CE=AC-AE=8-x，
∵∠C=90°，
∴，
∴，
解得，
∴AE=5．
【点拨】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握线段垂直平分线的性质．
17．（1）c2＝a2＋b2；（2）①C（0，），D（2，0）；②点M的坐标为：（，0）、（，0）；、（－2，0）、（－，0）．
【分析】
（1）根据梯形的面积的两种表示方法即可证明；
（2）①设OC＝a，则AC＝4－a，根据勾股定理求出AB的长度，根据翻折的性质得到BD＝AB＝5，CD＝AC＝4－a，然后在Rt△COD中，根据勾股定理列方程求解即可；
②根据等腰三角形的性质分四种情况讨论，分别列出方程求解即可．
【详解】
解：（1）∵S梯形ABCD＝2×ab＋c2
S梯形ABCD＝（a＋b）（a＋b）
∴2×ab＋c2＝（a＋b）（a＋b）
∴2ab＋c2＝a2＋2ab＋b2
∴c2＝a2＋b2．
（2）①设OC＝a，则AC＝4－a，又，
根据翻折可知：
BD＝AB＝5，CD＝AC＝4－a，
OD＝BD－OB＝5－3＝2．
在Rt△COD中，根据勾股定理，得：，
即（4－a）2＝a2＋4，解得a＝．
∴C（0，），D（2，0）．
答：C、D两点的坐标为C（0，），D（2，0）．
②如图：
当点M在x轴正半轴上时，当CM＝DM，
设CM＝DM＝x，
在中，根据勾股定理得：，
则x2＝（2－x）2＋（）2，解得x＝，
∴2－x＝，
∴M（，0）；
当CD＝MD，＝4－＝，2＋＝，
∴M（，0）；
当点M在x轴负半轴上时，当CM＝CD，
∵，
∴OM＝OD＝2，
∴M（－2，0）；
当DC＝DM，＝4－＝，
∴OM＝－2＝，
∴M（－，0）．
答：符合条件的所有点M的坐标为：（，0）、（，0）；、（－2，0）、（－，0）．
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，是三角形的综合题，解决本题的关键是分情况讨论思想的运用．
18．（1）32m；（2）（20＋4）m；（3）m．
【分析】
（1）利用勾股定理得出DC的长，进而求出△ABD的周长；
（2）利用勾股定理得出AD的长，进而求出△ABD的周长；
（3）首先利用勾股定理得出DC、AB的长，进而求出△ABD的周长．
【详解】
：（1）如图1，∵AB=AD=10m，AC⊥BD，AC=8m，
∴
则△ABD的周长为：10+10+6+6=32（m）．
故答案为32m；
（2）如图2，当BA=BD=10m时，
则DC=BD-BC=10-6=4（m），
故
则△ABD的周长为：AD+AB+BD=10+4+10=（20+4）m；
故答案为（20+4）m；
（3）如图3，∵DA=DB，
∴设DC=xm，则AD=（6+x）m，
∴DC2+AC2=AD2，
即x2+82=（6+x）2，
解得；x=，
∵AC=8m，BC=6m，
∴
故△ABD的周长为：AD+BD+AB=2
【点拨】此题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理的应用，根据题意熟练应用勾股定理是解题关键．
19．
（1）
（2）5
（3）t为5或11
【分析】
（1）根据动点的运动速度和时间先求出PC，再根据勾股定理即可求解；
（2）当点P在线段AB的垂直平分线上时，则PA=PB，再根据勾股定理列方程即可求解；
（3）根据动点运动的不同位置利用勾股定理即可求解．
（1）
根据题意，得BP=2t，PC=16﹣2t=16﹣2×3=10，AC=8，
在Rt△APC中，根据勾股定理，得：
AP2．
答：AP的长为；
（2）
当点P在线段AB的垂直平分线上时，则PA=PB，
BP=2t，PC=16﹣2t， AC=8，
PA=PB=2t，
∠ACB＝90°，
则，
即，
解得t=5；
答：当点P在线段AB的垂直平分线上时t=5；
（3）
若P在C点的左侧，CP=16﹣2t，DE=DC=3，AD=8-3=5．
∵，
∴AP=，
∵，
∴，
解得：t=5，t=11（舍去）；
若P在C点的右侧，CP=2t﹣16，DE=DC=3，AD=8-3=5．
同理：AP=，
∵，
∴，
解得：t=5（舍去），t=11；
答：当t为5或11时，能使DE=CD．
【点晴】
本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理，根据求一个数的平方根解方程，解决本题的关键是动点运动到不同位置时分类讨论．
20．
【分析】
在AB上截取，连接DE，根据证明，证得，最后利用勾股定理列一元二次方程求解即可．
【详解】
解：在AB上截取，连接DE
∵，，
∴，
∵AD平分，
∴
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴
设，则，
∵
∴即，
解得，
∴CD的长为．
【点拨】本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，解一元二次方程，构造全等三角形是解决本题的关键．
21．（1）2；（2）BF2+AE2=EF2，理由见解析；（3）线段BF长为1或2.2．
【分析】
（1）先利用勾股定理求得AC的长，再证明△ADE≌△BDF，即可求解；
（2）过B点作AC的平行线，交直线ED于点G，连接FG，证明△ADE≌△BDG，得到BG=AE，∠A=∠GBD，再证明EF=FG，在Rt△BFG中利用勾股定理即可求解；
（3）分点E在线段AC上和点E在AC延长线上时，两种情况讨论，利用勾股定理构建方程求解即可，
【详解】
解：（1）Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AB=5，
∴AC=，
∵CE=1，∴AE=AC-CE=2，
∵BF∥AC，
∴∠A=∠FBD，∠AED=∠F，
又点D是AB的中点，则AD=BD，
∴△ADE≌△BDF，
∴BF=AE=2，
故答案为：2；
（2）BF2+AE2=EF2，理由如下：
过B点作AC的平行线，交直线ED于点G，连接FG，
同理可证明△ADE≌△BDF，
∴BF=AE，ED=DG，∠A=∠GBD，
∵DF⊥DE，
∴DF是线段EG的垂直平分线，
∴EF=FG，
∵∠C=90°，
∴∠A+∠ABC=∠GBD+∠ABC=90°，即∠GBF=90°，
∴BF2+BG2=FG2，
∴BF2+AE2=EF2；
（3）Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=，
∴BC=，
当点E在线段AC上时，
∵EC=1，
∴AE=AC-CE=2，
设BF=x，则CF=5-x，
由（2）得EF2= BF2+AE2，
在Rt△ECF中，EF2= CF2+CE2，
∴x2+22= (5-x)2+12，
解得：x=2.2；
当点E在AC延长线上时，
∵EC=1，
∴AE=AC+CE=4，
设BF=x，则CF=5-x，
过B点作AC的平行线，交直线ED于点H，连接FH，
同理可证明△ADE≌△BDH，
∴BH=AE=4，ED=DH，∠A=∠HBD，
∵DF⊥DE，
∴DF是线段EH的垂直平分线，
∴EF=FH，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠ABC=∠HBD+∠ABC=90°，即∠HBF=90°，
∴FH2= BF2+BH2，
在Rt△ECF中，EF2= CF2+CE2，
∴x2+42= (5-x)2+12，
解得：x=1；
综上，线段BF长为1或2.2．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，
22．滑道的长度为51cm．
【分析】
设cm，可得出cm，cm，在在Rt△ABC中，根据勾股定理可得m的值，由此可得结论．
【详解】
解：设cm，则由图①可知 cm，
由图②可知cm，
∵，
∴在Rt△ABC中，根据勾股定理可得，
，
∴，
解得，
∴滑道的长度为51cm．
【点拨】本题考查勾股定理的应用，能结合撑杆、的长度始终保持不变正确表示出BC和AC是解题关键．
23．（1）30°；（2）y＝；（3）12﹣4或8
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质、角平分线的定义得到∠A＝∠DBA＝∠CBD，根据直角三角形的性质求出∠A；
（2）作DF⊥AB于F，根据勾股定理求出DF，再根据勾股定理列式计算求出y关于x的函数解析式；
（3）分BE＝BD、BE＝DE两种情况，根据等腰三角形的性质、勾股定理计算即可．
【详解】
解：（1）∵AD＝BD，
∴∠A＝∠DBA，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠CBD＝∠DBA，
∴∠A＝∠DBA＝∠CBD，
∵∠C＝90°，
∴∠A＝30°；
（2）如图，作DF⊥AB于F，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，∠A＝30°，
∴AB＝2BC＝12，
∵DA＝DB，DF⊥AB，
∴AF＝AB＝6，
∴EF＝|6﹣x|，
在Rt△AFD中，∠A＝30°，
∴DF＝AF＝2，
在Rt△DEF中，，
即，
解得：y＝；
（3）在Rt△AFD中，∠A＝30°，DF＝2，
∴AD＝BD＝4，
当BE＝BD＝4时，AE＝12﹣4；
当BE＝DE时，12﹣x＝，
解得：x＝8，即AE＝8，
∵点E与A、B不重合，
∴DB≠DE，
综上所述：当△BDE是等腰三角形时，AE的长为12﹣4或8．
【点拨】本题考查了角的平分线，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理，灵活运用分类思想是解题的关键．
24．（1）或2厘米/秒时；（2）①，两个点在△ABC的边AC上首次相遇；②0或
【分析】
（1）分当△BPD≌△CPQ时和当△BPD≌△CQP时，利用全等三角形的性质求解即可；
（2）①根据当PQ相遇时，Q点比P点多走的距离为AB+AC，得到，由此求解即可；
②分当P在BC上靠近B一端，Q在AC上时，当P在BC上靠近C一端，Q在AC上时，当P在AC上，Q在AB上时，当P在AC上，Q在BC上时，进行分类讨论求解即可．
【详解】
解：（1）当△BPD≌△CPQ时，
∴，，
∴，
∴Q点的运动速度为；
当△BPD≌△CQP时，
∴，，
∴，
∴
∴，
∴Q点的运动速度为；
综上所述，当点Q的运动速度为或2厘米/秒时，△BPD和△CPQ全等；
（2）①∵当PQ相遇时，Q点比P点多走的距离为AB+AC，
∴，
解得，
∵，
∴两个点在△ABC的边AC上首次相遇；
②如图①所示，当P在BC上靠近B一端，Q在AC上时，过点A作AE⊥BC于E，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
解得或（舍去）；
同理可求出当P在BC上靠近C一端，Q在AC上时，结果与上面相同；
如图②所示，当P在AC上，Q在AB上时，
∴AQ=AP，
∴，
解得；
如图③所示，当P在AC上，Q在BC上时，同图①可知此时不存在t使得AQ=AP，
综上所述，当t=0或，使得△APQ是以PQ为底的等腰三角形．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键在于能够利用分类讨论的思想求解．
25．3米
【分析】
竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面的高度是x米，则斜边为（8x）米．利用勾股定理解题即可．
【详解】
解：由题意知BC＋AC＝8，∠CBA＝90°，
∴设BC长为x米，则AC长为（）米，
∴在Rt△CBA中，有，
即：，
解得：，
∴竹子折断处C与根部的距离CB为3米．
【点拨】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
26．（1）AB=50cm，BC=30cm，AB=40cm，（2）AB边上的高为24cm；（3）①2t；②当△BCD为等腰三角形时， t的值为15s或18s或s．
【分析】
（1）设，则，，然后利用勾股定理求解即可；
（2）过点C作CE⊥AB于E，然后利用面积法求解即可；
（3）①根据路程=速度×时间即可得到答案；
②分三种情况：当时，当时，当时，讨论求解即可．
【详解】
解：（1）设，则，，
∵∠ACB=90°，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴，则，；
（2）如图所示，过点C作CE⊥AB于E，
∴，
∴，
∴AB边上的高为；
（3）①由题意得：，
故答案为：；
②如图3-1所示，当时，
∴，
解得；
如图3-2所示，当时，过点C作CE⊥AB于E，
由（2）得，
∴，
∴，
解得；
如图3-3所示，当时，过点C作CE⊥AB于E，
由（2）得，
设，
在直角△CEB中，
∴，
在直角△CDE中，，
∴，
解得，
∴，
解得；
综上所述，当的值为15或18或时，△BCD为等腰三角形．
【点拨】本题主要考查了勾股定理，三角形面积，等腰三角形的性质，熟知勾股定理是解题的关键．
27．树高AB为m．
【分析】
设出长为，在中，利用勾股定理，列方程求，最后根据 与AB的长度关系，求出树高AB即可．
【详解】
根据题意表示出AD，AC，BC的长进而利用勾股定理得出AD的长，即可得出答案．
解：由题意可得出：BD＝10m，BC＝6m，设AD ＝xm，则AC＝（16﹣x）m，
在中，有勾股定理可得：AB2+BC2＝AC2，
即（10+x）2+62＝（16﹣x）2，
解得：x＝，
故AB＝（m），
答：树高AB为m．
【点拨】本题主要是考查了勾股定理的应用，将实际问题抽象成几何问题求解，并利用勾股定理列方程，求边长，是解决本题的关键．
28．（1）AP＝DE，理由见解析；（2）BD＝或
【分析】
（1）连接AE，首先根据∠ACB＝∠ECD＝90°，得到∠ECA＝∠DCB，然后证明△BCD≌△ACE（SAS），根据全等三角形对应角相等得到∠EAC＝∠B＝45°，进一步得出∠EAD＝90°，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出AP＝DE；
（2）分两种情况讨论：当Q在线段AB上时和当Q在线段BA延长线上时，连接AE，EQ，根据题意得出CQ垂直平分DE，进而根据垂直平分线的性质得到EQ＝DQ，设BD＝AE＝x，在Rt△AEQ中根据勾股定理列方程求解即可；
【详解】
解：（1）AP＝DE，理由：
连接AE，如图，
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°．
∵∠ACB＝∠ECD＝90°，
∴∠ECA＝∠DCB．
在△BCD和△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS）．
∴∠EAC＝∠B＝45°．
∴∠EAD＝∠EAC+∠BAC＝90°．
又∵P为DE中点，
∴AP＝DE．
（2）情况（一），当Q在线段AB上时，连接AE，EQ，如图，
∵CE⊥CD，且CE＝CD，点P是DE的中点，
∴CP⊥DE．
即CQ垂直平分DE，
∴EQ＝DQ．
设BD＝AE＝x，EQ＝DQ＝AB﹣AQ﹣BD＝3﹣x，
由（1）知：∠EAB＝90°，
∴EA2+AQ2＝EQ2．
∴x2+22＝（3﹣x）2，
解得x＝，即BD＝；
情况（二），当Q在线段BA延长线上时，连接AE，EQ，如图，
∵CE⊥CD，且CE＝CD，点P是DE的中点，
∴CP⊥DE．
即CQ垂直平分DE，
∴EQ＝DQ．
设BD＝AE＝x，
同理可得方程：x2+22＝（7﹣x）2，
解得x＝．
综上：BD＝或．
【点拨】此题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理的运用，垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是根据题意正确作出辅助线．
29．（1）5；（2）秒时，ΔABP≅ΔDCE；（3）当秒或秒时，ΔPDE是直角三角形；（4）当秒或秒或秒时，ΔPDE为等腰三角形．
【分析】
（1）根据长方形的性质及勾股定理直接求解即可；
（2）根据全等三角形的性质可得：，即可求出时间t；
（3）分两种情况讨论：①当时，在两个直角三角形中运用两次勾股定理，然后建立等量关系求解即可；②当时，此时点P与点C重合，得出，即可计算t的值；
（4）分三种情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别结合图形，利用各边之间的关系及勾股定理求解即可得．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD为长方形，
∴，，
在RtΔDCE中，
，
故答案为：5；
（2）如图所示：当点P到如图所示位置时，ΔABP≅ΔDCE，
∵，，
∴ΔABP≅ΔDCE，仅有如图所示一种情况，
此时，，
∴，
∴秒时，ΔABP≅ΔDCE；
（3）①当时，如图所示：
在RtΔPDE中，
，
在RtΔPCD中，
，
∴，
，，
∴，
解得：；
②当时，此时点P与点C重合，
∴，
∴；
综上可得：当秒或秒时，ΔPDE是直角三角形；
（4）若ΔPDE为等腰三角形，分三种情况讨论：
①当时，如图所示：
∵，，
∴，
∴，
∴；
②当时，如图所示：
，
∴；
③当时，如图所示：
，
∴，
在RtΔPDC中，
，
即，
解得：，
，
∴；
综上可得：当秒或秒或秒时，ΔPDE为等腰三角形．
【点拨】题目主要考查勾股定理解三角形，等腰三角形的性质，全等三角形的性质等，理解题意，分类讨论作出相应图形是解题关键．
30．（1）1；3；（2）当时，；当时，；（3）t=3秒或3.6秒时，△CBD是以BD或CD为底的等腰三角形；（4）或秒．
【分析】
（1）由勾股定理先求出的长度，则时，点D在线段AB上，即可求出答案；
（2）由题意，可分为：，两种情况，分别表示出的长度即可；
（3）分①CD=BC时，CD=3；②BD=BC时，过点B作BF⊥AC于F，根据等腰三角形三线合一的性质可得CD=2CF，即可得到答案．
（4）分①∠CDB=90°时，利用△ABC的面积列式计算即可求出BD，然后利用勾股定理列式求解得到CD，再根据时间=路程÷速度计算；②∠CBD=90°时，点D在线段AB上运动，然后即可得解；
【详解】
解：（1）在Rt中，，，，
∴，
∵点D运动的速度为每秒1个单位长度，
∴当，点D在线段CA上；当，点D在线段AB上；
∴当时，点D在线段AB上，
∴，；
故答案为：1；3；
（2）根据题意，
当时，点D在线段CA上，且，
∴；
当时，点D在线段AB上，
∴；
（3）①CD=BC时，CD=3，t=3÷1=3；
②BD=BC时，如图，过点B作BF⊥AC于F，
设，则，
∴，
∴，
∴CD=2CF=1.8×2=3.6，
∴t=3.6÷1=3.6，
综上所述，t=3秒或3.6秒时，△CBD是以BD或CD为底的等腰三角形．
（4）①∠CDB=90°时，S△ABC=AC•BD=AB•BC，
即=×4×3，
解得BD=2.4，
∴CD=，
∴t=1.8÷1=1.8秒；
②∠CBD=90°时，点D在线段AB上运动，
∴
综上所述，t=1.8或秒；
故答案为：或秒；
【点拨】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，（3）（4）难点在于要分情况讨论，作出图形更形象直观．
专题二 勾股定理中的方程思想（专项练习）
一、单选题
1．在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面（ ）尺．
A．4 B．3.6 C．4.5 D．4.55
2．如图，高速公路上有两点A，B相距25km，C，D为两个乡镇，已知DA＝10km，CB＝15km，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，现需要在AB上建一个高速收费站E，使得C，D两个乡镇到E站的距离相等，则BE的长为（ ）
A．10km B．15km C．20km D．25km
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC=3，AB=5，则线段DE的长为（ ）
A． B．3 C． D．1
4．小亮想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多2m，当他把绳子的下端拉开8m后，下端刚好接触到地面，则学校旗杆的高度为（ ）
A．m B．m C．m D．m
5． 中， 是垂足，与交于，则．
A． B． C． D．
6．已知直角三角形的斜边长为5cm，周长为12cm，则这个三角形的面积（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是 _____．
8．我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭生其中，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何？”（丈、尺是长度单位，1丈＝10尺）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇AB，它高出水面1尺（即BC＝1尺）．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端B恰好到达池边的水面D处．问水的深度是多少？则水深DE为________尺．
9．如图，已知，直角中，，从直角三角形两个锐角顶点所引的中线的长，，则斜边AB之长为______________．
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C′点，那么△ADC′的面积是________ cm2．
11．如图，在平面直角在坐标系中，四边形OACB的两边OA，OB分别在x轴、y轴的正半轴上，其中，且CO平分，若，，则点C的坐标为______．
12．如图，点A为等边三角形BCD外一点，连接AB、AD且AB＝AD，过点A作AE∥CD分别交BC、BD于点E、F，若3BD＝5AE，EF＝6，则线段AE的长 _____．
三、解答题
13．已知，如图，在△ABC中，∠C＝ 90°，AD平分∠BAC交BC于D，过D作DE∥AC交AB于E．
（1）求证：AE＝DE；
（2）如果AC＝3，，求AE的长．
14．某中学初二年级游同学在学习了勾股定理后对《九章算术》勾股章产生了学习兴趣．今天，他学到了勾股章第7题：“今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”本题大意是：如图，木柱，绳索AC比木柱AB长三尺，BC的长度为8尺，求：绳索AC的长度．
15．如图，在中，，，，，求的长．
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E．若AC＝8，BC＝4，求AE的长．
17．如图（1），是两个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）
（1）用这样的两个三角形构造成如图（2）的图形，利用这个图形，可以证明我们学过的哪个定理，用字母表示：_________；
（2）当a＝3，b＝4时，将其中一个直角三角形放入平面直角坐标系中，使直角顶点与原点重合，两直角边a，b分别与x轴、y轴重合（如图4中Rt△AOB的位置）．点C为线段OA上一点，将△ABC沿着直线BC翻折，点A恰好落在x轴上的D处．
①请写出C、D两点的坐标；
②若△CMD为等腰三角形，点M在x轴上，请直接写出符合条件的所有点M的坐标．
18．已知：如图，有一块Rt△ABC的绿地，量得两直角边AC＝8m，BC＝6m．现在要将这块绿地扩充成等腰△ABD，且扩充部分（△ADC）是以8m为直角边长的直角三角形，求扩充后等腰△ABD的周长．
（1）在图1中，当AB＝AD＝10m时，△ABD的周长为 ；
（2）在图2中，当BA＝BD＝10m时，△ABD的周长为 ；
（3）在图3中，当DA＝DB时，求△ABD的周长．
19．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一点，CD＝3．点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为．连接AP
（1）当t＝3秒时，求AP的长度(结果保留根号)；
（2）当点P在线段AB的垂直平分线上时，求t的值；
（3）过点D作DE⊥AP于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使DE＝CD?
20．数学课上，老师出示了一个题：如图，在中，，，，的平分线交CB于点D，求CD的长．
晓涵同学思索了一会儿，考虑到角平分线所在直线是角的对称轴这一特点，于是构造了一对全等三角形，解决了这个问题．请你在晓涵同学的启发下（或者独立思考后有自己的想法），解答这道题．
21．思维启迪：
（1）如（图1），中，，，，点D是AB的中点，点E在AC上，过B点作AC的平行线，交直线ED于点F，当时，______．
思维探索：
（2）如（图2），中，，点D是AB的中点，点E在AC上，交BC于F，连接EF，请直接写出AE，EF，BF的数量关系，并说明理由；
（3）中，，点D是AB的中点，点E在直线AC上，交直线BC于F，若，，，请直接写出线段BF长．
22．滑撑杆在悬窗中应用广泛．如图，某款滑撑杆由滑道，撑杆、组成，滑道固定在窗台上．悬窗关闭或打开过程中，撑杆、的长度始终保持不变．当悬窗关闭时，如图①，此时点与点重合，撑杆、恰与滑道完全重合；当悬窗完全打开时，如图②，此时撑杆与撑杆恰成直角，即，测量得，撑杆，求滑道的长度．
23．如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，∠ABC的平分线与线段AC交于点D，且有AD＝BD，点E是线段AB上的动点（与A、B不重合），联结DE，设AE＝x，DE＝y．
（1）求∠A的度数；
（2）求y关于x的函数解析式（无需写出定义域）；
（3）当△BDE是等腰三角形时，求AE的长．
24．如图，△ABC中，AB=AC=8厘米，BC=6厘米，点D为AB的中点．动点P在线段BC上以2厘米/秒的速度向点C运动，同时，动点Q在线段CA上由点C向点A运动，连接DP，PQ．设点P运动的时间为t秒，回答下列问题：
（1）当点Q的运动速度为____________厘米/秒时，△BPD和△CPQ全等；
（2）若动点P的速度不变，同时动点Q以5厘米/秒的速度出发，两个点运动方向不变，沿△ABC的三边运动．
①请求出两点首次相遇时的t值，并说明此时两点在△ABC的哪一条边上；
②在P、Q两点首次相遇前，能否得到以PQ为底的等腰△APQ？如果能，请直接写出t值；如果不能，请说明理由．
25．如图，一棵竖直生长的竹子高为8米，一阵强风将竹子从C处吹折，竹子的顶端A刚好触地，且与竹子底端的距离AB是4米．求竹子折断处与根部的距离CB．
26．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC是△ABC中最短的边，边AC的长度比BC长10cm，斜边AB的长度比BC长度的2倍短10cm．
（1）求Rt△ABC的各条边的长．
（2）求AB边上的高．
（3）点D从点B出发在线段AB上以2cm/s的速度向终点A运动，设点D的运动时间为t（s）．
①用含t的代数式表示线段BD的长为 ；
②当△BCD为等腰三角形时，请求出t的值．
27．如图，AB为一棵大树，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴子从D处爬到树顶A处，利用拉在A处的滑绳AC，滑到C处，另一只猴子从D处滑到地面B，再由B跑到C，已知两只猴子所经路程都是16m，求树高AB．
28．如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝5，点D是边AB上的一个动点，连接CD，过C点在上方作CE⊥CD，且CE＝CD，点P是DE的中点．
（1）如图①，连接AP，判断线段AP与线段DE的数量关系并说明理由；
（2）如图②，连接CP并延长交AB边所在直线于点Q，若AQ＝2，求BD的长．
29．如图，在长方形中，，．延长到点，使，连接．动点从点出发，沿着以每秒1个单位的速度向终点运动，点运动的时间为秒．
（1）的长为 ；
（2）连接，求当为何值时，；
（3）连接，求当为何值时，是直角三角形；
（4）直接写出当为何值时，是等腰三角形．
30．如图，在Rt中，，，，动点D从点C出发，沿边向点B运动，到点B时停止，若设点D运动的时间为秒．点D运动的速度为每秒1个单位长度．
（1）当时， ， ；
（2）用含t的代数式表示的长；
（3）当点D在边CA上运动时，求t为何值，是以BD或CD为底的等腰三角形？并说明理由；
（4）直接写出当是直角三角形时，t的取值范围 ．
参考答案
1．D
【分析】
根据题意作出图形，设折断处离地面x尺，则AB＝（10﹣x）尺，勾股定理求解即可
【详解】
如图，由题意得：∠ACB＝90°，BC＝3尺，AC+AB＝10尺，
设折断处离地面x尺，则AB＝（10﹣x）尺，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2，
解得：x＝4.55，
即折断处离地面4.55尺．
故选：D．
【点拨】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理建立方程求解是解题的关键．
2．A
【分析】
根据题意设出的长为，再由勾股定理列出方程求解即可．
【详解】
解：设，则，
由勾股定理得：
在中，
，
在中，
，
由题意可知：，
∴，
解得：，
∴BE=10km．
故选A．
【点拨】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
3．C
【分析】
过点F作FG⊥AB于点G，由∠ACB=90°，CD⊥AB，AF平分∠CAB，可得∠CAF=∠FAD，从而得到CE=CF，再由角平分线的性质定理，可得FC=FG，再证得，可得 ，然后设 ，则 ，再由勾股定理可得 ，然后利用三角形的面积求出 ，即可求解．
【详解】
解：如图，过点F作FG⊥AB于点G，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠CDA=90°，
∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF=∠FAD，
∴∠CFA=∠AED=∠CEF，
∴CE=CF，
∵AF平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°，
∴FC=FG，
∵，
∴，
∴ ，
∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°，
∴BC=4， ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选：C
【点拨】本题主要考查了勾股定理，角平分线的性质定理，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握勾股定理，角平分线的性质定理，等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
4．C
【分析】
根据题意设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+2）m，再利用勾股定理即可求得AB的长，即旗杆的高．
【详解】
解：根据题意画出图形如下所示：
则BC＝8m，
设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+2）m，
在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，
即x2+82＝（x+2）2，
解得x＝15，
故AB＝15m，
即旗杆的高为15m．
故选：C．
【点拨】此题考查了学生利用勾股定理解决实际问题的能力，在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．
5．A
【分析】
根据题意利用含60°的直角三角形性质结合勾股定理进行分析计算即可得出答案.
【详解】
解：如图，
∵,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∵,,
∴,
设,
所以勾股定理可得：，则
解得：或（舍去），
∴.
故选：A.
【点拨】本题考查含60°的直角三角形性质和勾股定理以及等腰直角三角形，熟练掌握相关的性质是解题的关键.
6．C
【分析】
设该直角三角形的两条直角边分别为、，根据勾股定理和周长公式即可列出方程，然后根据完全平方公式的变形即可求出的值，根据直角三角形的面积公式计算即可．
【详解】
解:设该直角三角形的两条直角边分别为、，
根据题意可得：
将②两边平方－①，得
∴
∴该直角三角形的面积为
故选:C
【点拨】此题考查的是直角三角形的性质和完全平方公式，根据勾股定理和周长列出方程是解决此题的关键．
7．101寸
【分析】
取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，根据勾股定理解答即可得到答案．
【详解】
解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示：
由题意得：OA＝OB＝AD＝BC，
设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，
则AB＝2r（寸），DE＝10寸，OE＝CD＝1寸，
∴AE＝OA﹣OE＝（r﹣1）寸，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE2+DE2＝AD2，
即（r﹣1）2+102＝r2，
解得：r＝50.5，
∴AB＝2r＝101（寸），
故答案为：101寸．
【点拨】本题考查了勾股定理，添加辅助线构造出直角三角形再用勾股定理求解是解题的关键．
8．12
【分析】
设水池里水的深度是尺，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
【详解】
设水池里水的深度是尺，则，，
由题意得：，
∴，
解得：，
故答案为：12．
【点拨】本题考查勾股定理的应用，由题意找出等量关系式是解题的关键．
9．8
【分析】
设BC=x，AC=y，根据勾股定理列方程组，从而可求得斜边的平方，即求得斜边的长．
【详解】
设BC=x，AC=y，
∵直角三角形两个锐角顶点所引的中线
∴
在Rt△ADC和Rt△BCE中，由勾股定理得：
∴
∴
∴
故答案为：8
【点拨】注意此题的解题技巧：根据已知条件，在两个直角三角形中运用勾股定理列方程组．求解的时候，注意不必分别求出未知数的值，只需求出两条直角边的平方和，运用勾股定理即可．
10．6
【分析】
先根据勾股定理得到AB＝10cm，再根据折叠的性质得到DC＝DC′，BC＝BC′＝6cm，则AC′＝4cm，在Rt△ADC′中利用勾股定理得（8﹣x）2＝x2＋42，解得x＝3，然后根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】
解：∵∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，
∴AB＝10cm，
∵将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C′点，
∴△BCD≌△BC′D，
∴∠C＝∠BC′D＝90°，DC＝DC′，BC＝BC′＝6cm，
∴AC′＝AB﹣BC′＝4cm，
设DC＝xcm，则AD＝（8﹣x）cm，
在Rt△ADC′中，AD2＝AC′2＋C′D2，
即（8﹣x）2＝x2＋42，解得x＝3，
∵∠AC′D＝90°，
∴△ADC′的面积＝×AC′×C′D＝×4×3＝6（cm2）．
故答案为6．
【点拨】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，对应点的连线段被折痕垂直平分．也考查了勾股定理．
11．
【分析】
取AB的中点E，连接OE，CE并延长交x轴于点F，根据直角三角形斜边 上的中线等于斜边的一半证明CE=OE=AE，再进一步证明；由勾股定理求出AB=，AO=BO=5；过点O作OG⊥OC交CA的延长线于点G，证明△COG访问团等腰直角三角形，可可求出OC=7；过点C作CH⊥x轴，垂足为H，设C（m，n），则OH=m，CH=n，AH=5-m，根据勾股定理可得方程组 ，求出方程组的解，取正值即可．
【详解】
解：取AB的中点E，连接OE，CE并延长交x轴于点F，如图，
∵，OC平分∠ACB，
∴
∵均为直角三角形，
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴是等腰直角三角形，
∴
∵
由勾股定理得，
∴
∴
过点O作OE⊥OC交CA的延长线于点G，
∵∠OCA=45°，
∴∠G=45°，
∴△COG为等腰直角三角形，
∴OC=OG，
∵∠BOC+∠COA=∠COA+∠AOG=90°，
∴∠BOC=∠AOG，
∵∠OCB=∠OEA=45°，
∴△COB≌△GOA（ASA），
∴BC=AG=，
∵CG=AC+AG=
∵△OCE为等腰直角三角形，
∴OC=7
过点C作CH⊥x轴于点H，设C（m，n），
∴OH=m，CH=n，AH=5-m
在Rt△CHO和Rt△CHA中，由勾股定理得，
解得，，（负值舍去）
∴C（）
故答案为：（）
【点拨】本题主要考查了坐标玮图形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
12．9
【分析】
连接AC交BD于点O，可得AC是BD的垂直平分线，设BD=5x，则AE=3x，求出OF=OB-BF=x-6，AF=AE-EF=3x-6，证明△BOE是等边三角形，得，利用AF=2OF列出方程求出x的值，进而可得AE的长．
【详解】
解：如图，连接AC交BD于点O，
∵3BD=5AE，
∴，
设BD=5x，则AE=3x，
∵△BCD是等边三角形，
∴BC=CD=BD=5x，∠DCB=∠DBC=60°，
∵AB=AD，BC=CD，
∴AC是BD的垂直平分线，
∴OB=OD=x，OC平分∠BCD，
∴∠DCO=∠DCB=30°，
∵AE∥CD，
∴∠DCO=30°，
∴，
∵AE∥CD，
∴∠AEB=∠BCD=60°，
∴∠AEB=∠FBE=∠BFE=60°，
∴△BEF是等边三角形，
∴BE=BF=EF=6，
∴OF=OB-BF=x-6，AF=AE-EF=3x-6，
∵
∴
∴
∴
解得x=3，
∴AE=AF+EF=3x-6+6=3x=9．
故答案为：9．
【点拨】本题考查了垂直平分线的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，解决本题的关键是得到AF=2OF列出方程求解．
13．（1）见解析；（2）2
【分析】
（1）利用平行线的性质和角平分线的性质得出∠EAD ＝∠ADE即可；
（2）过点D作DF⊥AB于F，求出DF＝DC＝，设AE＝x，根据勾股定理列方程即可．
【详解】
解：（1）∵DE∥AC，
∴∠CAD＝∠ADE．
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠EAD．
∴∠EAD ＝∠ADE．
∴AE＝DE．
（2）过点D作DF⊥AB于F．
∵∠C ＝ 90°，AC＝3，，
∴在Rt△ACD中，由勾股定理得 ．
∴．
∵AD平分∠BAC，
∴DF＝DC＝．
又∵AD＝ AD，∠C ＝ ∠AFD ＝ 90°，
∴Rt△DAC ≌Rt△DAF．
∴AF＝AC＝3．
∴Rt△DEF中，由勾股定理得 ．
设AE＝x，则DE＝x，，
∴，
∴x＝2．
∴AE＝2．
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定和勾股定理，解题关键是利用角平分线和平行线证明等腰，设未知数，依据勾股定理列方程．
14．绳索长是尺
【分析】
设，则，由勾股定理及即可求解．
【详解】
设，则，
在中，，
∴，
解得：，
答：绳索长是尺．
【点拨】本题考查勾股定理得应用，用题意列出等量关系式是解题的关键．
15．
【分析】
设CD=AD=x，则BD=4－x，在Rt△DBC中由勾股定理建立方程可求得x的值，从而求得CD的长．
【详解】
设CD=AD=x，则BD=AB－AD=4－x
∵BC=3
∴在Rt△DBC中，由勾股定理得：
即
解方程得：
即
【点拨】本题主要考查了勾股定理，关键是通过勾股定理建立方程．
16．5
【分析】
由DE是线段AB的垂直平分线，得到AE=BE，设AE=BE=x，则CE=AC-AE=8-x，在△BCE中利用勾股定理求解即可．
【详解】
解：如图所示，连接BE
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
设AE=BE=x，则CE=AC-AE=8-x，
∵∠C=90°，
∴，
∴，
解得，
∴AE=5．
【点拨】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握线段垂直平分线的性质．
17．（1）c2＝a2＋b2；（2）①C（0，），D（2，0）；②点M的坐标为：（，0）、（，0）；、（－2，0）、（－，0）．
【分析】
（1）根据梯形的面积的两种表示方法即可证明；
（2）①设OC＝a，则AC＝4－a，根据勾股定理求出AB的长度，根据翻折的性质得到BD＝AB＝5，CD＝AC＝4－a，然后在Rt△COD中，根据勾股定理列方程求解即可；
②根据等腰三角形的性质分四种情况讨论，分别列出方程求解即可．
【详解】
解：（1）∵S梯形ABCD＝2×ab＋c2
S梯形ABCD＝（a＋b）（a＋b）
∴2×ab＋c2＝（a＋b）（a＋b）
∴2ab＋c2＝a2＋2ab＋b2
∴c2＝a2＋b2．
（2）①设OC＝a，则AC＝4－a，又，
根据翻折可知：
BD＝AB＝5，CD＝AC＝4－a，
OD＝BD－OB＝5－3＝2．
在Rt△COD中，根据勾股定理，得：，
即（4－a）2＝a2＋4，解得a＝．
∴C（0，），D（2，0）．
答：C、D两点的坐标为C（0，），D（2，0）．
②如图：
当点M在x轴正半轴上时，当CM＝DM，
设CM＝DM＝x，
在中，根据勾股定理得：，
则x2＝（2－x）2＋（）2，解得x＝，
∴2－x＝，
∴M（，0）；
当CD＝MD，＝4－＝，2＋＝，
∴M（，0）；
当点M在x轴负半轴上时，当CM＝CD，
∵，
∴OM＝OD＝2，
∴M（－2，0）；
当DC＝DM，＝4－＝，
∴OM＝－2＝，
∴M（－，0）．
答：符合条件的所有点M的坐标为：（，0）、（，0）；、（－2，0）、（－，0）．
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，是三角形的综合题，解决本题的关键是分情况讨论思想的运用．
18．（1）32m；（2）（20＋4）m；（3）m．
【分析】
（1）利用勾股定理得出DC的长，进而求出△ABD的周长；
（2）利用勾股定理得出AD的长，进而求出△ABD的周长；
（3）首先利用勾股定理得出DC、AB的长，进而求出△ABD的周长．
【详解】
：（1）如图1，∵AB=AD=10m，AC⊥BD，AC=8m，
∴
则△ABD的周长为：10+10+6+6=32（m）．
故答案为32m；
（2）如图2，当BA=BD=10m时，
则DC=BD-BC=10-6=4（m），
故
则△ABD的周长为：AD+AB+BD=10+4+10=（20+4）m；
故答案为（20+4）m；
（3）如图3，∵DA=DB，
∴设DC=xm，则AD=（6+x）m，
∴DC2+AC2=AD2，
即x2+82=（6+x）2，
解得；x=，
∵AC=8m，BC=6m，
∴
故△ABD的周长为：AD+BD+AB=2
【点拨】此题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理的应用，根据题意熟练应用勾股定理是解题关键．
19．
（1）
（2）5
（3）t为5或11
【分析】
（1）根据动点的运动速度和时间先求出PC，再根据勾股定理即可求解；
（2）当点P在线段AB的垂直平分线上时，则PA=PB，再根据勾股定理列方程即可求解；
（3）根据动点运动的不同位置利用勾股定理即可求解．
（1）
根据题意，得BP=2t，PC=16﹣2t=16﹣2×3=10，AC=8，
在Rt△APC中，根据勾股定理，得：
AP2．
答：AP的长为；
（2）
当点P在线段AB的垂直平分线上时，则PA=PB，
BP=2t，PC=16﹣2t， AC=8，
PA=PB=2t，
∠ACB＝90°，
则，
即，
解得t=5；
答：当点P在线段AB的垂直平分线上时t=5；
（3）
若P在C点的左侧，CP=16﹣2t，DE=DC=3，AD=8-3=5．
∵，
∴AP=，
∵，
∴，
解得：t=5，t=11（舍去）；
若P在C点的右侧，CP=2t﹣16，DE=DC=3，AD=8-3=5．
同理：AP=，
∵，
∴，
解得：t=5（舍去），t=11；
答：当t为5或11时，能使DE=CD．
【点晴】
本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理，根据求一个数的平方根解方程，解决本题的关键是动点运动到不同位置时分类讨论．
20．
【分析】
在AB上截取，连接DE，根据证明，证得，最后利用勾股定理列一元二次方程求解即可．
【详解】
解：在AB上截取，连接DE
∵，，
∴，
∵AD平分，
∴
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴
设，则，
∵
∴即，
解得，
∴CD的长为．
【点拨】本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，解一元二次方程，构造全等三角形是解决本题的关键．
21．（1）2；（2）BF2+AE2=EF2，理由见解析；（3）线段BF长为1或2.2．
【分析】
（1）先利用勾股定理求得AC的长，再证明△ADE≌△BDF，即可求解；
（2）过B点作AC的平行线，交直线ED于点G，连接FG，证明△ADE≌△BDG，得到BG=AE，∠A=∠GBD，再证明EF=FG，在Rt△BFG中利用勾股定理即可求解；
（3）分点E在线段AC上和点E在AC延长线上时，两种情况讨论，利用勾股定理构建方程求解即可，
【详解】
解：（1）Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AB=5，
∴AC=，
∵CE=1，∴AE=AC-CE=2，
∵BF∥AC，
∴∠A=∠FBD，∠AED=∠F，
又点D是AB的中点，则AD=BD，
∴△ADE≌△BDF，
∴BF=AE=2，
故答案为：2；
（2）BF2+AE2=EF2，理由如下：
过B点作AC的平行线，交直线ED于点G，连接FG，
同理可证明△ADE≌△BDF，
∴BF=AE，ED=DG，∠A=∠GBD，
∵DF⊥DE，
∴DF是线段EG的垂直平分线，
∴EF=FG，
∵∠C=90°，
∴∠A+∠ABC=∠GBD+∠ABC=90°，即∠GBF=90°，
∴BF2+BG2=FG2，
∴BF2+AE2=EF2；
（3）Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=，
∴BC=，
当点E在线段AC上时，
∵EC=1，
∴AE=AC-CE=2，
设BF=x，则CF=5-x，
由（2）得EF2= BF2+AE2，
在Rt△ECF中，EF2= CF2+CE2，
∴x2+22= (5-x)2+12，
解得：x=2.2；
当点E在AC延长线上时，
∵EC=1，
∴AE=AC+CE=4，
设BF=x，则CF=5-x，
过B点作AC的平行线，交直线ED于点H，连接FH，
同理可证明△ADE≌△BDH，
∴BH=AE=4，ED=DH，∠A=∠HBD，
∵DF⊥DE，
∴DF是线段EH的垂直平分线，
∴EF=FH，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠ABC=∠HBD+∠ABC=90°，即∠HBF=90°，
∴FH2= BF2+BH2，
在Rt△ECF中，EF2= CF2+CE2，
∴x2+42= (5-x)2+12，
解得：x=1；
综上，线段BF长为1或2.2．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，
22．滑道的长度为51cm．
【分析】
设cm，可得出cm，cm，在在Rt△ABC中，根据勾股定理可得m的值，由此可得结论．
【详解】
解：设cm，则由图①可知 cm，
由图②可知cm，
∵，
∴在Rt△ABC中，根据勾股定理可得，
，
∴，
解得，
∴滑道的长度为51cm．
【点拨】本题考查勾股定理的应用，能结合撑杆、的长度始终保持不变正确表示出BC和AC是解题关键．
23．（1）30°；（2）y＝；（3）12﹣4或8
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质、角平分线的定义得到∠A＝∠DBA＝∠CBD，根据直角三角形的性质求出∠A；
（2）作DF⊥AB于F，根据勾股定理求出DF，再根据勾股定理列式计算求出y关于x的函数解析式；
（3）分BE＝BD、BE＝DE两种情况，根据等腰三角形的性质、勾股定理计算即可．
【详解】
解：（1）∵AD＝BD，
∴∠A＝∠DBA，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠CBD＝∠DBA，
∴∠A＝∠DBA＝∠CBD，
∵∠C＝90°，
∴∠A＝30°；
（2）如图，作DF⊥AB于F，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，∠A＝30°，
∴AB＝2BC＝12，
∵DA＝DB，DF⊥AB，
∴AF＝AB＝6，
∴EF＝|6﹣x|，
在Rt△AFD中，∠A＝30°，
∴DF＝AF＝2，
在Rt△DEF中，，
即，
解得：y＝；
（3）在Rt△AFD中，∠A＝30°，DF＝2，
∴AD＝BD＝4，
当BE＝BD＝4时，AE＝12﹣4；
当BE＝DE时，12﹣x＝，
解得：x＝8，即AE＝8，
∵点E与A、B不重合，
∴DB≠DE，
综上所述：当△BDE是等腰三角形时，AE的长为12﹣4或8．
【点拨】本题考查了角的平分线，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理，灵活运用分类思想是解题的关键．
24．（1）或2厘米/秒时；（2）①，两个点在△ABC的边AC上首次相遇；②0或
【分析】
（1）分当△BPD≌△CPQ时和当△BPD≌△CQP时，利用全等三角形的性质求解即可；
（2）①根据当PQ相遇时，Q点比P点多走的距离为AB+AC，得到，由此求解即可；
②分当P在BC上靠近B一端，Q在AC上时，当P在BC上靠近C一端，Q在AC上时，当P在AC上，Q在AB上时，当P在AC上，Q在BC上时，进行分类讨论求解即可．
【详解】
解：（1）当△BPD≌△CPQ时，
∴，，
∴，
∴Q点的运动速度为；
当△BPD≌△CQP时，
∴，，
∴，
∴
∴，
∴Q点的运动速度为；
综上所述，当点Q的运动速度为或2厘米/秒时，△BPD和△CPQ全等；
（2）①∵当PQ相遇时，Q点比P点多走的距离为AB+AC，
∴，
解得，
∵，
∴两个点在△ABC的边AC上首次相遇；
②如图①所示，当P在BC上靠近B一端，Q在AC上时，过点A作AE⊥BC于E，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
解得或（舍去）；
同理可求出当P在BC上靠近C一端，Q在AC上时，结果与上面相同；
如图②所示，当P在AC上，Q在AB上时，
∴AQ=AP，
∴，
解得；
如图③所示，当P在AC上，Q在BC上时，同图①可知此时不存在t使得AQ=AP，
综上所述，当t=0或，使得△APQ是以PQ为底的等腰三角形．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键在于能够利用分类讨论的思想求解．
25．3米
【分析】
竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面的高度是x米，则斜边为（8x）米．利用勾股定理解题即可．
【详解】
解：由题意知BC＋AC＝8，∠CBA＝90°，
∴设BC长为x米，则AC长为（）米，
∴在Rt△CBA中，有，
即：，
解得：，
∴竹子折断处C与根部的距离CB为3米．
【点拨】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
26．（1）AB=50cm，BC=30cm，AB=40cm，（2）AB边上的高为24cm；（3）①2t；②当△BCD为等腰三角形时， t的值为15s或18s或s．
【分析】
（1）设，则，，然后利用勾股定理求解即可；
（2）过点C作CE⊥AB于E，然后利用面积法求解即可；
（3）①根据路程=速度×时间即可得到答案；
②分三种情况：当时，当时，当时，讨论求解即可．
【详解】
解：（1）设，则，，
∵∠ACB=90°，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴，则，；
（2）如图所示，过点C作CE⊥AB于E，
∴，
∴，
∴AB边上的高为；
（3）①由题意得：，
故答案为：；
②如图3-1所示，当时，
∴，
解得；
如图3-2所示，当时，过点C作CE⊥AB于E，
由（2）得，
∴，
∴，
解得；
如图3-3所示，当时，过点C作CE⊥AB于E，
由（2）得，
设，
在直角△CEB中，
∴，
在直角△CDE中，，
∴，
解得，
∴，
解得；
综上所述，当的值为15或18或时，△BCD为等腰三角形．
【点拨】本题主要考查了勾股定理，三角形面积，等腰三角形的性质，熟知勾股定理是解题的关键．
27．树高AB为m．
【分析】
设出长为，在中，利用勾股定理，列方程求，最后根据 与AB的长度关系，求出树高AB即可．
【详解】
根据题意表示出AD，AC，BC的长进而利用勾股定理得出AD的长，即可得出答案．
解：由题意可得出：BD＝10m，BC＝6m，设AD ＝xm，则AC＝（16﹣x）m，
在中，有勾股定理可得：AB2+BC2＝AC2，
即（10+x）2+62＝（16﹣x）2，
解得：x＝，
故AB＝（m），
答：树高AB为m．
【点拨】本题主要是考查了勾股定理的应用，将实际问题抽象成几何问题求解，并利用勾股定理列方程，求边长，是解决本题的关键．
28．（1）AP＝DE，理由见解析；（2）BD＝或
【分析】
（1）连接AE，首先根据∠ACB＝∠ECD＝90°，得到∠ECA＝∠DCB，然后证明△BCD≌△ACE（SAS），根据全等三角形对应角相等得到∠EAC＝∠B＝45°，进一步得出∠EAD＝90°，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出AP＝DE；
（2）分两种情况讨论：当Q在线段AB上时和当Q在线段BA延长线上时，连接AE，EQ，根据题意得出CQ垂直平分DE，进而根据垂直平分线的性质得到EQ＝DQ，设BD＝AE＝x，在Rt△AEQ中根据勾股定理列方程求解即可；
【详解】
解：（1）AP＝DE，理由：
连接AE，如图，
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°．
∵∠ACB＝∠ECD＝90°，
∴∠ECA＝∠DCB．
在△BCD和△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS）．
∴∠EAC＝∠B＝45°．
∴∠EAD＝∠EAC+∠BAC＝90°．
又∵P为DE中点，
∴AP＝DE．
（2）情况（一），当Q在线段AB上时，连接AE，EQ，如图，
∵CE⊥CD，且CE＝CD，点P是DE的中点，
∴CP⊥DE．
即CQ垂直平分DE，
∴EQ＝DQ．
设BD＝AE＝x，EQ＝DQ＝AB﹣AQ﹣BD＝3﹣x，
由（1）知：∠EAB＝90°，
∴EA2+AQ2＝EQ2．
∴x2+22＝（3﹣x）2，
解得x＝，即BD＝；
情况（二），当Q在线段BA延长线上时，连接AE，EQ，如图，
∵CE⊥CD，且CE＝CD，点P是DE的中点，
∴CP⊥DE．
即CQ垂直平分DE，
∴EQ＝DQ．
设BD＝AE＝x，
同理可得方程：x2+22＝（7﹣x）2，
解得x＝．
综上：BD＝或．
【点拨】此题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理的运用，垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是根据题意正确作出辅助线．
29．（1）5；（2）秒时，ΔABP≅ΔDCE；（3）当秒或秒时，ΔPDE是直角三角形；（4）当秒或秒或秒时，ΔPDE为等腰三角形．
【分析】
（1）根据长方形的性质及勾股定理直接求解即可；
（2）根据全等三角形的性质可得：，即可求出时间t；
（3）分两种情况讨论：①当时，在两个直角三角形中运用两次勾股定理，然后建立等量关系求解即可；②当时，此时点P与点C重合，得出，即可计算t的值；
（4）分三种情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别结合图形，利用各边之间的关系及勾股定理求解即可得．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD为长方形，
∴，，
在RtΔDCE中，
，
故答案为：5；
（2）如图所示：当点P到如图所示位置时，ΔABP≅ΔDCE，
∵，，
∴ΔABP≅ΔDCE，仅有如图所示一种情况，
此时，，
∴，
∴秒时，ΔABP≅ΔDCE；
（3）①当时，如图所示：
在RtΔPDE中，
，
在RtΔPCD中，
，
∴，
，，
∴，
解得：；
②当时，此时点P与点C重合，
∴，
∴；
综上可得：当秒或秒时，ΔPDE是直角三角形；
（4）若ΔPDE为等腰三角形，分三种情况讨论：
①当时，如图所示：
∵，，
∴，
∴，
∴；
②当时，如图所示：
，
∴；
③当时，如图所示：
，
∴，
在RtΔPDC中，
，
即，
解得：，
，
∴；
综上可得：当秒或秒或秒时，ΔPDE为等腰三角形．
【点拨】题目主要考查勾股定理解三角形，等腰三角形的性质，全等三角形的性质等，理解题意，分类讨论作出相应图形是解题关键．
30．（1）1；3；（2）当时，；当时，；（3）t=3秒或3.6秒时，△CBD是以BD或CD为底的等腰三角形；（4）或秒．
【分析】
（1）由勾股定理先求出的长度，则时，点D在线段AB上，即可求出答案；
（2）由题意，可分为：，两种情况，分别表示出的长度即可；
（3）分①CD=BC时，CD=3；②BD=BC时，过点B作BF⊥AC于F，根据等腰三角形三线合一的性质可得CD=2CF，即可得到答案．
（4）分①∠CDB=90°时，利用△ABC的面积列式计算即可求出BD，然后利用勾股定理列式求解得到CD，再根据时间=路程÷速度计算；②∠CBD=90°时，点D在线段AB上运动，然后即可得解；
【详解】
解：（1）在Rt中，，，，
∴，
∵点D运动的速度为每秒1个单位长度，
∴当，点D在线段CA上；当，点D在线段AB上；
∴当时，点D在线段AB上，
∴，；
故答案为：1；3；
（2）根据题意，
当时，点D在线段CA上，且，
∴；
当时，点D在线段AB上，
∴；
（3）①CD=BC时，CD=3，t=3÷1=3；
②BD=BC时，如图，过点B作BF⊥AC于F，
设，则，
∴，
∴，
∴CD=2CF=1.8×2=3.6，
∴t=3.6÷1=3.6，
综上所述，t=3秒或3.6秒时，△CBD是以BD或CD为底的等腰三角形．
（4）①∠CDB=90°时，S△ABC=AC•BD=AB•BC，
即=×4×3，
解得BD=2.4，
∴CD=，
∴t=1.8÷1=1.8秒；
②∠CBD=90°时，点D在线段AB上运动，
∴
综上所述，t=1.8或秒；
故答案为：或秒；
【点拨】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，（3）（4）难点在于要分情况讨论，作出图形更形象直观．
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